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Cauchy Formel für mehrfache Integration Mit der benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy 1 2 kö

Cauchy-Formel für mehrfache Integration

Mit der Cauchy-Formel für mehrfache Integration, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, können gewisse -te iterierte Integrale einer Funktion in einem einzigen Integral ausgedrückt werden.

Cauchys Formel Bearbeiten

Sei eine stetige Funktion auf der reellen Achse.

Dann ist das -te iterierte Integral von am Punkt

durch das folgende Integral gegeben:

Beweis Bearbeiten

Den Beweis erreicht man durch vollständige Induktion. Da stetig ist, kann man den Induktionsanfang mit dem Fundamentalsatz der Analysis herleiten.

;

wobei

.

Nehmen wir an, die Formel ist richtig für . Nun gilt es zu beweisen, dass die Formel für stimmt.

Die Ableitung des Integrals kann man mit der Leibniz-Regel herleiten.

Der Beweis ist damit abgeschlossen.

Riemann-Liouville-Integral Bearbeiten

Cauchys Formel gilt nur für natürliche Zahlen, weil die Fakultät nur für diese definiert ist. Das Riemann-Liouville-Integral erlaubt die mehrfache Integration nicht nur für die reellen, sondern auch für die komplexen Zahlen, indem man durch ersetzt, wobei die Gammafunktion bezeichnet:

.

Der Name wurde von Marcel Riesz in Anerkennung der Pionierarbeiten von Joseph Liouville und Bernhard Riemann gewählt.

Anwendungen Bearbeiten

Mit ein paar Umformungsschritten ist es möglich auch eine Formel für die -te Ableitung zu finden.

Hier finden sich auch unter anderem Anwendungen wie zum Beispiel in der:

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Augustin Louis Cauchy: Trente-Cinquième Leçon. In: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Imprimerie Royale, Paris 1823, S. 133–140. Nachdruck in: Œuvres complètes II(4), Gauthier-Villars, Paris, S. 5–261.
  2. ↑ Stéphane Dugowson: Élaboration par Riemann d'une définition de la dérivation d'ordre non entier. In: Revue d’histoire des mathématiques 3, 1997, S. 49–97.
  3. Gerald B. Folland: Advanced Calculus. Prentice Hall 2002, S. 193, ISBN 0-13-065265-2.
  4. Marcel Riesz: L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy. In: Acta Mathematica 81(1), 1949, S. 1–223, doi:10.1007/BF02395016.
  5. Joseph Liouville: Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions. Journal de l'École Polytechnique 13, S. 71–162, Paris 1832.
  6. Georg Friedrich Bernhard Riemann: Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation. 1847. In: Heinrich Weber (Hrsg.): Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig 1896.
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Veröffentlichungsdatum:
Mit der Cauchy Formel fur mehrfache Integration benannt nach dem franzosischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy 1 2 konnen gewisse n displaystyle n te iterierte Integrale einer Funktion in einem einzigen Integral ausgedruckt werden Inhaltsverzeichnis 1 Cauchys Formel 2 Beweis 3 Riemann Liouville Integral 4 Anwendungen 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseCauchys Formel BearbeitenSei f displaystyle f nbsp eine stetige Funktion auf der reellen Achse Dann ist das n displaystyle n nbsp te iterierte Integral von f displaystyle f nbsp am Punkt x displaystyle x nbsp I n x a x a s 1 a s n 1 f s n d s n d s 2 d s 1 displaystyle I n x int a x int a sigma 1 cdots int a sigma n 1 f sigma n mathrm d sigma n cdots mathrm d sigma 2 mathrm d sigma 1 nbsp durch das folgende Integral gegeben 3 I n x 1 n 1 a x x t n 1 f t d t displaystyle I n x frac 1 n 1 int a x left x t right n 1 f t mathrm d t nbsp Beweis BearbeitenDen Beweis erreicht man durch vollstandige Induktion Da f displaystyle f nbsp stetig ist kann man den Induktionsanfang mit dem Fundamentalsatz der Analysis herleiten d d x I 1 x d d x a x f t d t f x displaystyle frac mathrm d mathrm d x I 1 x frac mathrm d mathrm d x int a x f t mathrm d t f x nbsp wobeiI 1 a a a f t d t 0 displaystyle I 1 a int a a f t mathrm d t 0 nbsp Nehmen wir an die Formel ist richtig fur n displaystyle n nbsp Nun gilt es zu beweisen dass die Formel fur n 1 displaystyle n 1 nbsp stimmt d d x 1 n a x x t n f t d t 1 n 1 a x x t n 1 f t d t displaystyle frac mathrm d mathrm d x left frac 1 n int a x left x t right n f t mathrm d t right frac 1 n 1 int a x left x t right n 1 f t mathrm d t nbsp Die Ableitung des Integrals kann man mit der Leibniz Regel herleiten I n 1 x a x a s 1 a s n f s n 1 d s n 1 d s 2 d s 1 a x 1 n 1 a s 1 s 1 t n 1 f t d t d s 1 a x d d s 1 1 n a s 1 s 1 t n f t d t d s 1 1 n a x x t n f t d t displaystyle begin aligned I n 1 x amp int a x int a sigma 1 cdots int a sigma n f sigma n 1 mathrm d sigma n 1 cdots mathrm d sigma 2 mathrm d sigma 1 amp int a x frac 1 n 1 int a sigma 1 left sigma 1 t right n 1 f t mathrm d t mathrm d sigma 1 amp int a x frac mathrm d mathrm d sigma 1 left frac 1 n int a sigma 1 left sigma 1 t right n f t mathrm d t right mathrm d sigma 1 amp frac 1 n int a x left x t right n f t mathrm d t end aligned nbsp Der Beweis ist damit abgeschlossen Riemann Liouville Integral BearbeitenCauchys Formel gilt nur fur naturliche Zahlen weil die Fakultat nur fur diese definiert ist Das Riemann Liouville Integral erlaubt die mehrfache Integration nicht nur fur die reellen sondern auch fur die komplexen Zahlen indem man n 1 displaystyle n 1 nbsp durch G n displaystyle Gamma n nbsp ersetzt wobei G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion bezeichnet I a f x 1 G a a x f t x t a 1 d t displaystyle I alpha f x frac 1 Gamma alpha int a x f t x t alpha 1 dt nbsp Der Name wurde von Marcel Riesz 4 in Anerkennung der Pionierarbeiten von Joseph Liouville 5 und Bernhard Riemann 6 gewahlt 2 Anwendungen BearbeitenMit ein paar Umformungsschritten ist es moglich auch eine Formel fur die a displaystyle alpha nbsp te Ableitung zu finden Hier finden sich auch unter anderem Anwendungen wie zum Beispiel in der Elektrochemie Rheologie Physik Tautochron Problem Weblinks BearbeitenAlan Beardon Fractional calculus II University of Cambridge 2000 abgerufen im 1 Januar 1 https www math uni bielefeld de emmrich studenten dimitri pdf https www inm uni stuttgart de institut mitarbeiter hinze papers Diplomarbeit hinze pdfEinzelnachweise Bearbeiten Augustin Louis Cauchy Trente Cinquieme Lecon In Resume des lecons donnees a l Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitesimal Imprimerie Royale Paris 1823 S 133 140 Nachdruck in Œuvres completes II 4 Gauthier Villars Paris S 5 261 a b Stephane Dugowson Elaboration par Riemann d une definition de la derivation d ordre non entier In Revue d histoire des mathematiques 3 1997 S 49 97 Gerald B Folland Advanced Calculus Prentice Hall 2002 S 193 ISBN 0 13 065265 2 Marcel Riesz L integrale de Riemann Liouville et le probleme de Cauchy In Acta Mathematica 81 1 1949 S 1 223 doi 10 1007 BF02395016 Joseph Liouville Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique et sur un nouveau genre de calcul pour resoudre ces questions Journal de l Ecole Polytechnique 13 S 71 162 Paris 1832 Georg Friedrich Bernhard Riemann Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation 1847 In Heinrich Weber Hrsg Gesammelte Mathematische Werke Leipzig 1896 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cauchy Formel fur mehrfache Integration amp oldid 208134941