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Aharonov Bohm Effekt Der ist ein Phänomen in der Quantenmechanik bei dem geladene Teilchen von einem elektromagnetischen

Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt ist ein Phänomen in der Quantenmechanik, bei dem geladene Teilchen von einem elektromagnetischen Feld beeinflusst werden, obwohl sie sich ausschließlich im feldfreien Raum bewegen. Zum Beispiel beeinflusst ein Magnetfeld die Interferenz von Elektronenstrahlen auch dann, wenn diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt und nicht durch das Magnetfeld selbst.

Der Aharonov-Bohm-Effekt wurde vom Magazin New Scientist als eines der „Sieben Wunder in der Quantenwelt“ ausgewählt.

Der Effekt wurde nach David Bohm und Yakir Aharonov benannt, die 1959 dazu eine Arbeit veröffentlichten. Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday konnten den Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen. Offenbar hat aber Walter Franz den Effekt bereits 1939 – also 20 Jahre vor Aharonov und Bohm – in einem Seminar der Physikalischen Gesellschaft, Gauverein Ostland in Danzig vorgestellt.

Experiment Bearbeiten

Schematische Darstellung des Experiments. Ein von links kommender Elektronen­strahl passiert die Schlitze S1 und S2 in der Barriere X, wodurch sich auf dem Beobachtungs­schirm ein Interferenz­muster bildet (Doppelspalt­experiment). Die Wege e1 und e2 führen um den Zylinder W herum, und das Magnet­feld B besteht nur im Inneren des Zylinders. Trotzdem ändert sich das Interferenz­muster, je nachdem ob das Magnet­feld ein- oder ausgeschaltet ist.

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld herrscht. Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation und damit das Magnetfeld ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist das Vektorpotential selbst nirgends Null.

Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster, das vom Vektorpotential beeinflusst wird, da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten.

Experimente dieser Art wurden Anfang der 1960er Jahre u. a. von Möllenstedt und Robert G. Chambers durchgeführt.

Theorie Bearbeiten

Klassisch erfolgt die Beeinflussung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch die Lorentzkraft des Magnetfeldes, nach der Bewegungsgleichung:

mit

Klassisch ist ein Effekt also nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld , das hier unwesentlich ist).

In der Quantenmechanik dagegen beschreibt man das Verhalten des Teilchens durch den Hamilton-Operator:

mit

Vektorpotential und Magnetfeld hängen durch den Rotationsoperator zusammen:

Das Vektorpotential ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion bestimmt, da die Rotation eines Gradientenfeldes für zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet (siehe Eichtransformation).

Interpretation Bearbeiten

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft jedoch nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss entscheidend, der durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden kann:

Der Integrationsweg muss geschlossen sein, was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird, darf sich aber außerhalb des Bereiches mit befinden.

Nach dem Satz von Stokes

mit

  • dem Normalenvektor auf der Fläche
  • dem zweidimensionalen Flächenelement .

ist das Linienintegral über die geschlossene Kurve identisch mit dem Fluss der magnetischen Flussdichte durch die eingeschlossene Fläche :

Insbesondere zeigt der Satz von Stokes, weswegen die gewählte Eichung des Vektorpotentials irrelevant ist, da das Kurvenintegral über als Flächenintegral über geschrieben werden kann und die Rotation des zur Eichung verwendeten Gradientenfeldes verschwindet.

Man kann den Effekt als Folge der nichttrivialen Topologie des Eichfeldes interpretieren: Wegen des nicht einfach zusammenhängenden Raumes (der Zylinderinnenraum ist "ein Loch im Raum") verschwinden auch die Wegintegrale über geschlossene Kurven nicht (notwendigerweise).

Literatur Bearbeiten

Fachartikel Bearbeiten

  • G. Möllenstedt, Werner Bayh: Messung der kontinuierlichen Phasenschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreien Raum durch das magnetische Vektorpotential einer Luftspule. In: Die Naturwissenschaften. 49. Jahrgang, 1962, S. 81 (digizeitschriften.de).
  • Yoseph Imry, Richard A. Webb: Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect. In: Scientific American. 260, Nr. 4, 1989, S. 56.

Fachbücher Bearbeiten

  • Holger Lyre: Aharonov—Bohm Effect. In: Daniel Greenberger, Klaus Hentschel, Friedel Weinert (Hrsg.): Compendium of Quantum Physics. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-70622-9, S. 1–3, doi:10.1007/978-3-540-70626-7_1.
  • M. Peshkin, A. Tonomura (Hrsg.): The Aharonov-Bohm Effect (= Lecture Notes in Physics. Band 340). Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1989, ISBN 3-540-51567-4, doi:10.1007/BFb0032076 (englisch).
  • Franz Schwabl: Motion in an Electromagnetic Field. In: Quantum Mechanics. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-71932-8, S. 143–157, doi:10.1007/978-3-540-71933-5_7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Quantum wonders: The field that isn't there. In: New Scientist. New Scientist Ltd, 5. Mai 2010, abgerufen am 1. Februar 2023 (amerikanisches Englisch).
  2. Y. Aharonov, D. Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: Physical Review. Band 115, Nr. 3, 1. August 1959, ISSN 0031-899X, S. 485–491, doi:10.1103/PhysRev.115.485 (englisch).
  3. Y. Aharonov, D. Bohm: Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. In: Physical Review. Band 123, Nr. 4, 15. August 1961, ISSN 0031-899X, S. 1511–1524, doi:10.1103/PhysRev.123.1511 (englisch).
  4. W Ehrenberg, R E Siday: The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics. In: Proceedings of the Physical Society. Section B. Band 62, Nr. 1, 1. Januar 1949, ISSN 0370-1301, S. 8–21, doi:10.1088/0370-1301/62/1/303 (englisch, Aharonov und Bohm erfuhren erst nach ihrer Veröffentlichung von dieser Arbeit und wiesen in ihrem Aufsatz von 1961 darauf hin.).
  5. Basil J. Hiley: The Early History of the Aharonov-Bohm Effect. In: arXiv:1304.4736 [physics]. 17. April 2013, arxiv:1304.4736 [abs] (englisch).
  6. Typische Versuchsanordnung
  7. (Memento vom 26. April 2016 im Internet Archive) (pdf; 26 kB)
  8. Chambers Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Physical Review Letters, Band 5 1960, S. 3–5
  9. Hier wird das SI-System verwendet; im CGS-System müsste durchgehend und durch und ersetzt werden.
  10. Bohm-Aharonov effect - Encyclopedia of Mathematics. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 1. Februar 2023 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Aharonov Bohm Effekt ist ein Phanomen in der Quantenmechanik bei dem geladene Teilchen von einem elektromagnetischen Feld beeinflusst werden obwohl sie sich ausschliesslich im feldfreien Raum bewegen Zum Beispiel beeinflusst ein Magnetfeld B displaystyle vec B die Interferenz von Elektronenstrahlen auch dann wenn diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von B displaystyle vec B befinden Hauptursache des Effekts ist dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt und nicht durch das Magnetfeld selbst Der Aharonov Bohm Effekt wurde vom Magazin New Scientist als eines der Sieben Wunder in der Quantenwelt ausgewahlt 1 Der Effekt wurde nach David Bohm und Yakir Aharonov benannt die 1959 dazu eine Arbeit veroffentlichten 2 3 Werner Ehrenberg und Raymond E Siday konnten den Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen 4 Offenbar hat aber Walter Franz den Effekt bereits 1939 also 20 Jahre vor Aharonov und Bohm in einem Seminar der Physikalischen Gesellschaft Gauverein Ostland in Danzig vorgestellt 5 Inhaltsverzeichnis 1 Experiment 2 Theorie 3 Interpretation 4 Literatur 4 1 Fachartikel 4 2 Fachbucher 5 EinzelnachweiseExperiment Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung des Experiments Ein von links kommender Elektronen strahl passiert die Schlitze S1 und S2 in der Barriere X wodurch sich auf dem Beobachtungs schirm ein Interferenz muster bildet Doppelspalt experiment Die Wege e1 und e2 fuhren um den Zylinder W herum und das Magnet feld B besteht nur im Inneren des Zylinders Trotzdem andert sich das Interferenz muster je nachdem ob das Magnet feld ein oder ausgeschaltet ist Im Experiment laufen geladene Teilchen Elektronen auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei in dem ein Magnetfeld B displaystyle B nbsp herrscht 6 Der Zylinder ist von einer Wand umgeben die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann ausserhalb ist das Magnetfeld Null Trotzdem hangt der Ausgang des Experiments davon ab ob das Magnetfeld ein oder ausgeschaltet ist denn das Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp ist im ersten Fall auch ausserhalb des Zylinders vorhanden Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor Dessen Rotation r o t A displaystyle mathrm rot vec A nbsp und damit das Magnetfeld ist ausserhalb des Zylinders Null dennoch ist das Vektorpotential selbst nirgends Null Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster 7 das vom Vektorpotential beeinflusst wird da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten Experimente dieser Art wurden Anfang der 1960er Jahre u a von Mollenstedt und Robert G Chambers 8 durchgefuhrt Theorie BearbeitenKlassisch erfolgt die Beeinflussung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch die Lorentzkraft des Magnetfeldes nach der Bewegungsgleichung 9 m a q v B E displaystyle m vec a q cdot left vec v times vec B vec E right nbsp mit der Masse m displaystyle m nbsp des Teilchens seiner Beschleunigung a displaystyle vec a nbsp seiner elektrischen Ladung q displaystyle q nbsp seiner Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp der magnetischen Flussdichte B displaystyle vec B nbsp dem Vektorprodukt displaystyle times nbsp Klassisch ist ein Effekt also nur dort zu erwarten wo das Magnetfeld B displaystyle vec B nbsp von Null verschieden ist abgesehen vom elektrischen Feld E displaystyle vec E nbsp das hier unwesentlich ist In der Quantenmechanik dagegen beschreibt man das Verhalten des Teilchens durch den Hamilton Operator H 1 2 m p q A r t 2 q F r t displaystyle H frac 1 2m left vec p q vec A vec r t right 2 q Phi vec r t nbsp mit dem kanonischen Impulsoperator p ℏ i displaystyle vec p tfrac hbar i vec nabla nbsp dem kinetischen Impulsoperator P p q A r t displaystyle vec Pi vec p q vec A vec r t nbsp dem Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp dem Ort r displaystyle vec r nbsp der Zeit t dem skalaren elektrischen Potential F displaystyle Phi nbsp das hier unwesentlich ist Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp und Magnetfeld B displaystyle vec B nbsp hangen durch den Rotationsoperator zusammen B r o t A A displaystyle vec B mathrm rot vec A vec nabla times vec A nbsp Das Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten f displaystyle vec nabla f nbsp einer beliebigen skalaren Funktion f displaystyle f nbsp bestimmt da die Rotation eines Gradientenfeldes fur zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet siehe Eichtransformation Interpretation BearbeitenManchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehorige Kraftfeld Das trifft jedoch nicht das Wesentliche Letztlich ist der magnetische Fluss F B displaystyle Phi B nbsp entscheidend der durch ein Kurvenintegral ausgedruckt werden kann F B F G A d r displaystyle Phi B F oint Gamma vec A cdot mathrm d vec r nbsp Der Integrationsweg G displaystyle Gamma nbsp muss geschlossen sein was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird darf sich aber ausserhalb des Bereiches mit B 0 displaystyle vec B neq 0 nbsp befinden Nach dem Satz von Stokes G A d r F rot A n d 2 a displaystyle oint Gamma vec A cdot mathrm d vec r iint F operatorname rot vec A cdot vec n mathrm d 2 a nbsp mit dem Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp auf der Flache dem zweidimensionalen Flachenelement d 2 a displaystyle mathrm d 2 a nbsp ist das Linienintegral uber die geschlossene Kurve G displaystyle Gamma nbsp identisch mit dem Fluss der magnetischen Flussdichte B displaystyle B nbsp durch die eingeschlossene Flache F displaystyle F nbsp G A d r F B n d 2 a displaystyle oint Gamma vec A cdot mathrm d vec r iint F vec B cdot vec n mathrm d 2 a nbsp Insbesondere zeigt der Satz von Stokes weswegen die gewahlte Eichung des Vektorpotentials irrelevant ist da das Kurvenintegral uber A displaystyle vec A nbsp als Flachenintegral uber rot A displaystyle operatorname rot vec A nbsp geschrieben werden kann und die Rotation des zur Eichung verwendeten Gradientenfeldes verschwindet Man kann den Effekt als Folge der nichttrivialen Topologie des Eichfeldes interpretieren 10 Wegen des nicht einfach zusammenhangenden Raumes der Zylinderinnenraum ist ein Loch im Raum verschwinden auch die Wegintegrale uber geschlossene Kurven nicht notwendigerweise Literatur BearbeitenFachartikel Bearbeiten G Mollenstedt Werner Bayh Messung der kontinuierlichen Phasenschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreien Raum durch das magnetische Vektorpotential einer Luftspule In Die Naturwissenschaften 49 Jahrgang 1962 S 81 digizeitschriften de Yoseph Imry Richard A Webb Quantum Interference and the Aharonov Bohm Effect In Scientific American 260 Nr 4 1989 S 56 Fachbucher Bearbeiten Holger Lyre Aharonov Bohm Effect In Daniel Greenberger Klaus Hentschel Friedel Weinert Hrsg Compendium of Quantum Physics Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 70622 9 S 1 3 doi 10 1007 978 3 540 70626 7 1 M Peshkin A Tonomura Hrsg The Aharonov Bohm Effect Lecture Notes in Physics Band 340 Springer Verlag Berlin Heidelberg 1989 ISBN 3 540 51567 4 doi 10 1007 BFb0032076 englisch Franz Schwabl Motion in an Electromagnetic Field In Quantum Mechanics Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2007 ISBN 978 3 540 71932 8 S 143 157 doi 10 1007 978 3 540 71933 5 7 Einzelnachweise Bearbeiten Quantum wonders The field that isn t there In New Scientist New Scientist Ltd 5 Mai 2010 abgerufen am 1 Februar 2023 amerikanisches Englisch Y Aharonov D Bohm Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory In Physical Review Band 115 Nr 3 1 August 1959 ISSN 0031 899X S 485 491 doi 10 1103 PhysRev 115 485 englisch Y Aharonov D Bohm Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory In Physical Review Band 123 Nr 4 15 August 1961 ISSN 0031 899X S 1511 1524 doi 10 1103 PhysRev 123 1511 englisch W Ehrenberg R E Siday The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics In Proceedings of the Physical Society Section B Band 62 Nr 1 1 Januar 1949 ISSN 0370 1301 S 8 21 doi 10 1088 0370 1301 62 1 303 englisch Aharonov und Bohm erfuhren erst nach ihrer Veroffentlichung von dieser Arbeit und wiesen in ihrem Aufsatz von 1961 darauf hin Basil J Hiley The Early History of the Aharonov Bohm Effect In arXiv 1304 4736 physics 17 April 2013 arxiv 1304 4736 abs englisch Typische Versuchsanordnung Typische Verschiebung des Interferenzmusters Memento vom 26 April 2016 im Internet Archive pdf 26 kB Chambers Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux Physical Review Letters Band 5 1960 S 3 5 Hier wird das SI System verwendet im CGS System musste durchgehend q A displaystyle q vec A nbsp und q B displaystyle q vec B nbsp durch q A c displaystyle q vec A c nbsp und q B c displaystyle q vec B c nbsp ersetzt werden Bohm Aharonov effect Encyclopedia of Mathematics Encyclopedia of Mathematics abgerufen am 1 Februar 2023 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aharonov Bohm Effekt amp oldid 237989042