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Zwangsbedingung Als wird in der analytischen Mechanik eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Ein oder Mehrkörper

Zwangsbedingung

Als Zwangsbedingung wird in der analytischen Mechanik eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Ein- oder Mehrkörpersystems bezeichnet. Dadurch nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems ab. Zwangsbedingungen führen zu Zwangskräften.

Systeme mit Zwangsbedingungen können besonders gut beschrieben werden durch

Unterscheidung Bearbeiten

Bezüglich Integrabilität Bearbeiten

Im Folgenden wird stets ein -Teilchensystem in 3 Raumdimensionen betrachtet. Ohne Zwangsbedingungen bräuchte man für den Ortsvektor jedes Teilchens 3 Raumkoordinaten, somit insgesamt Raumkoordinaten, um das gesamte System zu beschreiben. Diese Koordinaten werden fortlaufend durchnummeriert:

Holonome Zwangsbedingungen Bearbeiten

Holonome Zwangsbedingungen können als Gleichungen zwischen den Koordinaten des Systems formuliert werden (: Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen):

Die Koordinaten lassen sich mit unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen auf unabhängige generalisierte Koordinaten reduzieren, die automatisch die Zwangsbedingungen erfüllen müssen:

Holonome Zwangsbedingungen sind mit dem vollständigen Differential einer Funktion darstellbar:

und somit integrierbar.

Denn notwendig für die Integrabilität ist, dass die Koeffizientenfunktionen folgende Integrabilitätsbedingung erfüllen:

was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben ist ( zweimal stetig differenzierbar, siehe Satz von Schwarz).

Das vollständige Differential läuft darauf hinaus, dass jede holonome Zwangsbedingung als eine Gleichung der Geschwindigkeiten darstellbar ist:

Anholonome Zwangsbedingungen Bearbeiten

Nicht-holonome oder auch anholonome Zwangsbedingungen können nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden. Die generalisierten Koordinaten, die in solchen anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen, sind i. A. nicht unabhängig voneinander variierbar.

Es handelt sich z. B. um Ungleichungen, wie Beschränkungen auf einen bestimmten Raumbereich:

oder um differentielle, nicht-integrable Zwangsbedingungen, wie Gleichungen zwischen den Geschwindigkeiten (Bsp. für anholonome Zwangsbedingungen):

Nicht-integrabel heißt dabei, dass die Gleichung – anders als bei holonomen Zwangsbedingungen – nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar ist. Somit wird hier die Integrabilitätsbedingung von den Koeffizientenfunktionen nicht erfüllt:

Bezüglich Zeitabhängigkeit Bearbeiten

Weiterhin werden Zwangsbedingungen bez. ihrer Zeitabhängigkeit unterschieden in:

  • rheonom (fließend), wenn sie explizit von der Zeit abhängen.
  • skleronom (starr), wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängen.

Skleronome Zwangsbedingungen führen bei Anwendung des Lagrange'schen Formalismus in der Regel zu der Feststellung, dass das Potential nicht implizit von der Zeit abhängt. Ist das Potential nun auch nicht explizit zeitabhängig, so sind die Kräfte konservativ und die Energie ist erhalten. In diesem Fall ist die Hamiltonfunktion – die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion – gleich der Gesamtenergie.

Dagegen lassen holonom-rheonome Zwangsbedingungen nicht direkt den Schluss auf eine Nicht-Erhaltung der Energie zu.

Beispiele Bearbeiten

Die Länge des Fadens bleibt konstant, das Pendel wird auf eine Kreisbahn gezwungen

Das Pendel: holonom und skleronom Bearbeiten

Der Stab eines ebenen Pendels (d. h. nur 2 Raumdimensionen) soll stets die gleiche Länge besitzen, muss also aufgrund des Satzes von Pythagoras folgende Zwangsbedingung erfüllen (Anzahl der Zwangsbedingungen: ):

Dabei bildet der Auslenkungswinkel des Pendels aus der Senkrechten die generalisierte Koordinate. (Es gibt nur eine, da .) Die Koordinaten und des Kugelmittelpunktes hängen von ab (Annahmen: nach rechts, nach unten, Ursprung im Aufhängungspunkt):

Die generalisierte Koordinate erfüllt automatisch die Zwangsbedingung:

da allgemein gilt:

Dies ist ein Beispiel für eine holonome Zwangsbedingung und, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt (), für eine skleronome Zwangsbedingung.

Vollständiges Differential der Zwangsbedingung:

Die Geschwindigkeits-Komponenten des Pendels lassen sich in der generalisierten Koordinate wie folgt ausdrücken (aufgrund der Zwangsbedingung kann sich die Kugel nur senkrecht zum Stab bewegen; Annahme hier: Bewegung nach rechts oben):

mit dem Betrag der gesamten Geschwindigkeit.

Einsetzen der generalisierten Koordinate in die Zwangsbedingung in Form des vollständigen Differentials:

das somit ebenfalls automatisch erfüllt ist.

Teilchen in Kugel: anholonom und skleronom Bearbeiten

Ein Teilchen sei in einer Kugel eingesperrt. Das bedeutet mathematisch, dass die Entfernung des Teilchens vom Mittelpunkt der Kugel (Koordinatenursprung) stets kleiner sein muss als der Radius R der Kugel:

Da diese Zwangsbedingung aus einer Ungleichung besteht, ist sie nichtholonom, und darüber hinaus, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt, auch skleronom.

Literatur Bearbeiten

  • H. Goldstein: Klassische Mechanik. Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893
  • T. Fließbach: Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009. ISBN 978-3-8274-2148-7

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Zwangsbedingung wird in der analytischen Mechanik eine Einschrankung der Bewegungsfreiheit eines Ein oder Mehrkorpersystems bezeichnet Dadurch nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems ab Zwangsbedingungen fuhren zu Zwangskraften Systeme mit Zwangsbedingungen konnen besonders gut beschrieben werden durch die Lagrangesche Formulierung der klassischen Mechanik die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik das D Alembertsche Prinzip das Prinzip der virtuellen Leistung Inhaltsverzeichnis 1 Unterscheidung 1 1 Bezuglich Integrabilitat 1 1 1 Holonome Zwangsbedingungen 1 1 2 Anholonome Zwangsbedingungen 1 2 Bezuglich Zeitabhangigkeit 2 Beispiele 2 1 Das Pendel holonom und skleronom 2 2 Teilchen in Kugel anholonom und skleronom 3 Literatur 4 Siehe auchUnterscheidung BearbeitenBezuglich Integrabilitat Bearbeiten Im Folgenden wird stets ein N displaystyle N nbsp Teilchensystem in 3 Raumdimensionen betrachtet Ohne Zwangsbedingungen brauchte man fur den Ortsvektor jedes Teilchens 3 Raumkoordinaten somit insgesamt 3 N displaystyle 3N nbsp Raumkoordinaten um das gesamte System zu beschreiben Diese Koordinaten werden fortlaufend durchnummeriert r 1 x 1 x 2 x 3 r 2 x 4 x 5 x 6 r N x 3 N 2 x 3 N 1 x 3 N displaystyle begin array l vec r 1 x 1 x 2 x 3 vec r 2 x 4 x 5 x 6 vdots vec r N x 3N 2 x 3N 1 x 3N end array nbsp Holonome Zwangsbedingungen Bearbeiten Holonome Zwangsbedingungen konnen als Gleichungen zwischen den Koordinaten x i displaystyle x i nbsp des Systems formuliert werden s displaystyle s nbsp Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen f l x 1 x 2 x 3 N t 0 m i t l 1 s displaystyle f l x 1 x 2 ldots x 3N t 0 quad mathrm mit l 1 ldots s nbsp Die 3 N displaystyle 3N nbsp Koordinaten lassen sich mit s displaystyle s nbsp unabhangigen holonomen Zwangsbedingungen auf n 3 N s displaystyle n 3N s nbsp unabhangige generalisierte Koordinaten q i displaystyle q i nbsp reduzieren die automatisch die Zwangsbedingungen erfullen mussen x i x i q 1 q 2 q n t m i t i 1 3 N u n d n 3 N s displaystyle x i x i q 1 q 2 ldots q n t quad mathrm mit i 1 ldots 3N mathrm und n 3N s nbsp dd f l q 1 q 2 q n t 0 m i t l 1 s u n d n 3 N s displaystyle Rightarrow f l q 1 q 2 ldots q n t 0 quad mathrm mit l 1 ldots s mathrm und n 3N s nbsp Holonome Zwangsbedingungen sind mit dem vollstandigen Differential einer Funktion darstellbar f l x 1 d x 1 f l x 2 d x 2 f l x 3 N d x 3 N f l t d t 0 a l 1 d x 1 a l 2 d x 2 a l 3 N d x 3 N a l t d t 0 displaystyle begin aligned frac partial f l partial x 1 mathrm d x 1 frac partial f l partial x 2 mathrm d x 2 ldots frac partial f l partial x 3N mathrm d x 3N frac partial f l partial t mathrm d t amp 0 Leftrightarrow a l1 cdot mathrm d x 1 a l2 cdot mathrm d x 2 ldots a l 3N cdot mathrm d x 3N a lt cdot mathrm d t amp 0 end aligned nbsp und somit integrierbar Denn notwendig fur die Integrabilitat ist dass die Koeffizientenfunktionen a l i displaystyle a li nbsp folgende Integrabilitatsbedingung erfullen a l i x k a l k x i 2 f l x i x k 2 f l x k x i i k 1 3 N displaystyle begin aligned frac partial a li partial x k amp frac partial a lk partial x i Leftrightarrow frac partial 2 f l partial x i partial x k amp frac partial 2 f l partial x k partial x i quad quad i k in 1 ldots 3N end aligned nbsp was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben ist f l displaystyle f l nbsp zweimal stetig differenzierbar siehe Satz von Schwarz Das vollstandige Differential lauft darauf hinaus dass jede holonome Zwangsbedingung als eine Gleichung der Geschwindigkeiten darstellbar ist a l 1 d x 1 a l 2 d x 2 a l 3 N d x 3 N a l t d t 0 a l 1 d x 1 d t a l 2 d x 2 d t a l 3 N d x 3 N d t a l t 0 displaystyle begin alignedat 5 amp a l1 cdot mathrm d x 1 amp amp a l2 cdot mathrm d x 2 ldots amp amp amp a l 3N cdot mathrm d x 3N amp amp amp amp a lt cdot mathrm d t amp amp amp amp amp 0 Leftrightarrow amp a l1 cdot frac mathrm d x 1 mathrm d t amp amp a l2 cdot frac mathrm d x 2 mathrm d t ldots amp amp amp a l 3N cdot frac mathrm d x 3N mathrm d t amp amp amp amp a lt amp amp amp amp amp 0 end alignedat nbsp Anholonome Zwangsbedingungen Bearbeiten Nicht holonome oder auch anholonome Zwangsbedingungen konnen nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden Die generalisierten Koordinaten die in solchen anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen sind i A nicht unabhangig voneinander variierbar Es handelt sich z B um Ungleichungen wie Beschrankungen auf einen bestimmten Raumbereich f q 1 q 2 q n t gt 0 displaystyle f q 1 q 2 ldots q n t gt 0 nbsp oder um differentielle nicht integrable Zwangsbedingungen wie Gleichungen zwischen den Geschwindigkeiten Bsp fur r displaystyle r nbsp anholonome Zwangsbedingungen i a l i d q i a l t d t 0 l 1 r displaystyle sum i a li cdot mathrm d q i a lt cdot mathrm d t 0 quad l 1 ldots r nbsp Nicht integrabel heisst dabei dass die Gleichung anders als bei holonomen Zwangsbedingungen nicht als vollstandiges Differential einer Funktion darstellbar ist Somit wird hier die Integrabilitatsbedingung von den Koeffizientenfunktionen nicht erfullt a l i q k a l k q i i k 1 n displaystyle frac partial a li partial q k neq frac partial a lk partial q i quad quad i k in 1 ldots n nbsp Bezuglich Zeitabhangigkeit Bearbeiten Weiterhin werden Zwangsbedingungen bez ihrer Zeitabhangigkeit unterschieden in rheonom fliessend wenn sie explizit von der Zeit abhangen skleronom starr wenn sie nicht explizit von der Zeit abhangen Skleronome Zwangsbedingungen fuhren bei Anwendung des Lagrange schen Formalismus in der Regel zu der Feststellung dass das Potential nicht implizit von der Zeit abhangt Ist das Potential nun auch nicht explizit zeitabhangig so sind die Krafte konservativ und die Energie ist erhalten In diesem Fall ist die Hamiltonfunktion die Legendre Transformierte der Lagrange Funktion gleich der Gesamtenergie Dagegen lassen holonom rheonome Zwangsbedingungen nicht direkt den Schluss auf eine Nicht Erhaltung der Energie zu Beispiele Bearbeiten nbsp Die Lange des Fadens bleibt konstant das Pendel wird auf eine Kreisbahn gezwungenDas Pendel holonom und skleronom Bearbeiten Der Stab eines ebenen Pendels d h nur 2 Raumdimensionen soll stets die gleiche Lange l displaystyle l nbsp besitzen muss also aufgrund des Satzes von Pythagoras folgende Zwangsbedingung erfullen Anzahl der Zwangsbedingungen s 1 displaystyle s 1 nbsp f 1 x 1 x 2 0 m i t x 1 x x 2 y displaystyle f 1 x 1 x 2 0 quad mathrm mit x 1 x x 2 y nbsp x 2 y 2 l 2 0 displaystyle Leftrightarrow x 2 y 2 l 2 0 nbsp Dabei bildet der Auslenkungswinkel f displaystyle varphi nbsp des Pendels aus der Senkrechten die generalisierte Koordinate Es gibt nur eine da n 2 N s 1 displaystyle n 2N s 1 nbsp Die Koordinaten x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp des Kugelmittelpunktes hangen von f displaystyle varphi nbsp ab Annahmen x displaystyle x nbsp nach rechts y displaystyle y nbsp nach unten Ursprung im Aufhangungspunkt x l sin f y l cos f displaystyle begin aligned x l cdot sin 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mathrm d y mathrm d t amp amp amp 0 Leftrightarrow amp x cdot frac mathrm d x mathrm d t amp amp y cdot frac mathrm d y mathrm d t amp amp amp 0 end alignedat nbsp Die Geschwindigkeits Komponenten des Pendels lassen sich in der generalisierten Koordinate wie folgt ausdrucken aufgrund der Zwangsbedingung kann sich die Kugel nur senkrecht zum Stab bewegen Annahme hier Bewegung nach rechts oben d x d t v cos f d y d t v sin f displaystyle begin aligned frac mathrm d x mathrm d t amp v cdot cos varphi frac mathrm d y mathrm d t amp v cdot sin varphi end aligned nbsp dd mit dem Betrag v l d f d t displaystyle v l cdot frac mathrm d varphi mathrm d t nbsp der gesamten Geschwindigkeit Einsetzen der generalisierten Koordinate in die Zwangsbedingung in Form des vollstandigen Differentials l sin f v cos f l cos f v sin f 0 displaystyle Rightarrow l cdot sin varphi cdot v cdot cos varphi l cdot cos varphi cdot v cdot sin varphi 0 nbsp das somit ebenfalls automatisch erfullt ist Teilchen in Kugel anholonom und skleronom Bearbeiten Ein Teilchen sei in einer Kugel eingesperrt Das bedeutet mathematisch dass die Entfernung des Teilchens vom Mittelpunkt der Kugel Koordinatenursprung stets kleiner sein muss als der Radius R der Kugel x 2 y 2 z 2 lt R displaystyle sqrt x 2 y 2 z 2 lt R nbsp x 2 y 2 z 2 lt R 2 displaystyle Leftrightarrow x 2 y 2 z 2 lt R 2 nbsp Da diese Zwangsbedingung aus einer Ungleichung besteht ist sie nichtholonom und daruber hinaus da sie nicht explizit von der Zeit abhangt auch skleronom Literatur BearbeitenH Goldstein Klassische Mechanik Wiley VCH ISBN 978 3527405893 T Fliessbach Mechanik Lehrbuch zur Theoretischen Physik I Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2148 7Siehe auch BearbeitenZwangskraft Zwanglauf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zwangsbedingung amp oldid 233321307