Das totale Differential auch vollstandiges Differential ist im Gebiet der Differentialrechnung eine alternative Bezeichnung fur das Differential einer Funktion insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen Zu einer gegebenen total differenzierbaren Funktion f M R displaystyle f colon M to mathbb R bezeichnet man mit d f displaystyle rm d f das totale Differential zum Beispiel d f i 1 n f x i d x i displaystyle rm d f sum limits i 1 n frac partial f partial x i rm d x i Hierbei ist M displaystyle M eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums R n displaystyle mathbb R n oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt ein nicht kursives d beim totalen Differential und ein kursives d displaystyle partial fur die partiellen Ableitungen Zu beachten ist dass im Folgenden immer die totale Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird und nicht nur die Existenz der partiellen Ableitungen durch die d f displaystyle rm d f in der obigen Formel dargestellt wird Traditionell und noch heute oft in den Natur und Wirtschaftswissenschaften versteht man unter einem Differential wie d x d f displaystyle mathrm d x mathrm d f dots eine infinitesimale Differenz Dagegen versteht man in der heutigen Mathematik unter einem totalen Differential eine Differentialform genauer eine 1 Form Diese kann man entweder als rein formalen Ausdruck auffassen oder als lineare Abbildung Das Differential d f x displaystyle mathrm d f x einer Funktion f displaystyle f im Punkt x displaystyle x ist dann die lineare Abbildung Linearform die jedem Vektor v displaystyle v die Richtungsableitung von f displaystyle f am Punkt x displaystyle x in Richtung von v displaystyle v zuordnet Mit dieser Bedeutung wird das totale Differential auch totale Ableitung genannt Mit dieser Bedeutung lasst sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im R n displaystyle mathbb R n in einem anderen Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Einfacher Fall 1 1 Anwendung Verkettung 1 2 Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik 1 2 1 Beispiel aus der Fluidmechanik 2 Das totale Differential als lineare Abbildung 2 1 Reeller Vektorraum 2 2 Mannigfaltigkeit 2 3 Kettenregel 3 Differential und lineare Approximation 4 Integrabilitatsbedingung 4 1 Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 5 Verallgemeinerungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseEinfacher Fall Bearbeiten nbsp Totales Differential im einfachen FallFur eine Funktion x y f x y displaystyle x y mapsto f x y nbsp zweier unabhangiger Variablen x y displaystyle x y nbsp versteht man unter dem totalen Differential den Ausdruck 1 d f f x d x f y d y displaystyle rm d f frac partial f partial x mathrm d x frac partial f partial y mathrm d y nbsp Totales Differential heisst der Ausdruck weil er die gesamte Information uber die Ableitung enthalt wahrend die partiellen Ableitungen nur Information uber die Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen enthalten Die Summanden f x d x displaystyle tfrac partial f partial x mathrm d x nbsp und f y d y displaystyle tfrac partial f partial y mathrm d y nbsp werden gelegentlich auch partielle Differentiale genannt 2 Anwendung Verkettung Bearbeiten Hangen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp von einer Grosse t displaystyle t nbsp ab zum Beispiel wenn sie die Bahn eines Punktes in der Ebene in Abhangigkeit von der Zeit t displaystyle t nbsp beschreiben sind also Funktionen g t x displaystyle g colon t mapsto x nbsp und h t y displaystyle h colon t mapsto y nbsp gegeben so kann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion t f x y f g t h t displaystyle t mapsto f x y f g t h t nbsp wie folgt berechnet werden Die Ableitungen von g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp lassen sich schreiben als d x g d t g d x d t displaystyle mathrm d x g mathrm d t Leftrightarrow g frac mathrm d x mathrm d t nbsp und d y h d t h d y d t displaystyle mathrm d y h mathrm d t Leftrightarrow h frac mathrm d y mathrm d t nbsp Einsetzen in das totale Differential liefert d f d f g t h t f x g d t f y h d t f x g f y h d t f x d x d t f y d y d t d t f x x f y y d t displaystyle begin aligned mathrm d f mathrm d f g t h t amp frac partial f partial x g mathrm d t frac partial f partial y h mathrm d t amp left frac partial f partial x g frac partial f partial y h right mathrm d t amp left frac partial f partial x frac mathrm d x mathrm d t frac partial f partial y frac mathrm d y mathrm d t right mathrm d t amp left frac partial f partial x dot x frac partial f partial y dot y right mathrm d t end aligned nbsp Die letzte Zeile ist die in der Physik ubliche Schreibweise Division durch d t displaystyle mathrm d t nbsp liefert d f d t d d t f g t h t f x g f y h f x d x d t f y d y d t f x x f y y displaystyle begin alignedat 2 frac mathrm d f mathrm d t frac mathrm d mathrm d t f g t h t amp frac partial f partial x g amp amp frac partial f partial y h amp frac partial f partial x frac mathrm d x mathrm d t amp amp frac partial f partial y frac mathrm d y mathrm d t amp frac partial f partial x dot x amp amp frac partial f partial y dot y end alignedat nbsp Mathematisch ist dies eine Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel siehe unten Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik Bearbeiten In der Mechanik werden typischerweise Situationen behandelt in denen die Funktion f displaystyle f nbsp nicht nur von den Ortskoordinaten x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp abhangt sondern auch von der Zeit Wie oben wird der Fall betrachtet dass x g t displaystyle x g t nbsp und y h t displaystyle y h t nbsp die Ortskoordinaten eines sich bewegenden Punktes sind In dieser Situation hangt die zusammengesetzte Funktion t f t g t h t displaystyle t mapsto f t g t h t nbsp in doppelter Weise von der Zeit t displaystyle t nbsp ab Dadurch dass f displaystyle f nbsp selbst in der ersten Variablen von t displaystyle t nbsp abhangt Diese Zeitabhangigkeit nennt man explizit Dadurch dass die Ortskoordinaten x g t displaystyle x g t nbsp und y h t displaystyle y h t nbsp von t displaystyle t nbsp abhangen Diese Zeitabhangigkeit nennt man implizit Man spricht nun von der partiellen Ableitung von f displaystyle f nbsp nach der Zeit wenn man die partielle Ableitung der ersten Funktion meint also f t t x y displaystyle frac partial f partial t t x y nbsp bei festen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Hier wird also nur die explizite Zeitabhangigkeit berucksichtigt Hingegen spricht man von der totalen Ableitung von f displaystyle f nbsp nach der Zeit wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion meint also d d t f t g t h t displaystyle frac mathrm d mathrm d t f t g t h t nbsp Die beiden hangen wie folgt zusammen d d t f t g t h t f t f x g f y h f t f x d x d t f y d y d t f t f x x f y y displaystyle begin alignedat 2 frac mathrm d mathrm d t f color Blue t g t h t amp color Blue frac partial f partial t frac partial f partial x g amp amp frac partial f partial y h amp color Blue frac partial f partial t frac partial f partial x frac mathrm d x mathrm d t amp amp frac partial f partial y frac mathrm d y mathrm d t amp color Blue frac partial f partial t frac partial f partial x dot x amp amp frac partial f partial y dot y end alignedat nbsp Hier werden also die explizite und die implizite Zeitabhangigkeit berucksichtigt Terme aus der expliziten Zeitabhangigkeit die gegenuber dem allgemeinen Gebrauch der totalen Zeitableitung hinzugekommen sind wurden hier blau markiert Beispiel aus der Fluidmechanik Bearbeiten Mit T t x 1 x 2 x 3 displaystyle T t x 1 x 2 x 3 nbsp werde die Temperatur zur Zeit t displaystyle t nbsp am Ort x x 1 x 2 x 3 displaystyle x x 1 x 2 x 3 nbsp bezeichnet Die partielle Ableitung T t displaystyle tfrac partial T partial t nbsp beschreibt dann die zeitliche Temperaturanderung an einem festen Ort x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp Die Temperaturanderung die ein sich mit der Stromung bewegendes Teilchen erfahrt hangt aber auch von der Ortsanderung ab Die totale Ableitung der Temperatur lasst sich dann wie oben mit Hilfe des totalen Differentials beschreiben d T T t d t T x 1 d x 1 T x 2 d x 2 T x 3 d x 3 displaystyle rm d T frac partial T partial t mathrm d t frac partial T partial x 1 mathrm d x 1 frac partial T partial x 2 mathrm d x 2 frac partial T partial x 3 mathrm d x 3 nbsp bzw d T d t T t T x 1 d x 1 d t T x 2 d x 2 d t T x 3 d x 3 d t displaystyle frac rm d T mathrm d t frac partial T partial t frac partial T partial x 1 frac mathrm d x 1 mathrm d t frac partial T partial x 2 frac mathrm d x 2 mathrm d t frac partial T partial x 3 frac mathrm d x 3 mathrm d t nbsp Das totale Differential als lineare Abbildung BearbeitenReeller Vektorraum Bearbeiten Fur den Fall dass M displaystyle M nbsp eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums R n displaystyle mathbb R n nbsp ist und f displaystyle f nbsp eine differenzierbare Funktion von M displaystyle M nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp ist zu jedem Punkt p M displaystyle p in M nbsp das totale Differential d f p R n R displaystyle rm d f p colon mathbb R n to mathbb R nbsp eine lineare Abbildung die jedem Vektor v v 1 v n R n displaystyle v v 1 dots v n in mathbb R n nbsp die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet also d f p R n R v v f p d d t f p t v t 0 i 1 n f x i p v i displaystyle rm d f p colon mathbb R n to mathbb R v mapsto partial v f p left frac mathrm d mathrm d t f p t v right t 0 sum i 1 n frac partial f partial x i p v i nbsp Da das totale Differential d f p displaystyle rm d f p nbsp eine lineare Abbildung nach R displaystyle mathbb R nbsp ist also eine Linearform lasst es sich in folgender Form schreiben d f p i 1 n f x i p d x i displaystyle rm d f p sum i 1 n frac partial f partial x i p rm d x i nbsp wobei d x i R n R displaystyle rm d x i colon mathbb R n to mathbb R nbsp die Linearform ist die einem Vektor v v 1 v n displaystyle v v 1 dots v n nbsp seine i displaystyle i nbsp te Komponente v i displaystyle v i nbsp zuordnet das heisst d x i v d x i v 1 v n v i displaystyle mathrm d x i v mathrm d x i v 1 dots v n v i nbsp duale Basis Unter Zuhilfenahme des Gradienten lasst sich das totale Differential auch wie folgt schreiben d f p v f p v grad f v displaystyle rm d f p v nabla f p cdot v operatorname grad f cdot v nbsp wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt steht Mannigfaltigkeit Bearbeiten Siehe auch Die Totalableitung einer Abbildung im Artikel Tangentialraum Fur den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt p M displaystyle p in M nbsp das totale Differential d f p T p M R displaystyle rm d f p colon T p M to mathbb R nbsp eine lineare Abbildung die jeder Tangentialrichtung v T p M displaystyle v in T p M nbsp die Richtungsableitung in diese Richtung zuordnet Ist v g 0 displaystyle v dot gamma 0 nbsp der Tangentialvektor einer Kurve g displaystyle gamma nbsp in M displaystyle M nbsp mit g 0 p displaystyle gamma 0 p nbsp so ist d f p v d d t f g t t 0 displaystyle rm d f p v frac mathrm d mathrm d t left f circ gamma t right Big t 0 nbsp Das totale Differential d f p displaystyle rm d f p nbsp ist somit ein Element des Kotangentialraums T p M displaystyle T p M nbsp von M displaystyle M nbsp am Punkt p displaystyle p nbsp Fur eine Darstellung von d f displaystyle rm d f nbsp in Koordinaten betrachte man eine Karte y U R n displaystyle y colon U to mathbb R n nbsp einer Umgebung U displaystyle U nbsp des Punkts p displaystyle p nbsp mit y p 0 displaystyle y p 0 nbsp Mit e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp werde die Standardbasis des R n displaystyle mathbb R n nbsp bezeichnet Die n displaystyle n nbsp verschiedenen Kurven g i t y 1 t e i displaystyle gamma i t y 1 t cdot e i nbsp reprasentieren eine Basis g 1 0 g n 0 displaystyle dot gamma 1 0 dots dot gamma n 0 nbsp des Tangentialraums T p M displaystyle T p M nbsp und mittels f y i p d d t f g i t t 0 x i f y 1 0 displaystyle frac partial f partial y i p frac mathrm d mathrm d t left f circ gamma i t right Big t 0 frac partial partial x i f circ y 1 0 nbsp erhalt man die partiellen Ableitungen Analog zum reellen Vektorraum gilt dann d f p i 1 n f y i p d y i displaystyle rm d f p sum i 1 n frac partial f partial y i p mathrm d y i nbsp wobei d y i T p M R displaystyle rm d y i colon T p M to mathbb R nbsp das totale Differential der Funktion y i U R displaystyle y i colon U to mathbb R nbsp ist also das Element aus dem Kotangentialraum T p M displaystyle T p M nbsp das dual zum Basisvektor g i 0 displaystyle dot gamma i 0 nbsp ist Betrachtet man Tangentialvektoren v T p M displaystyle v in T p M nbsp als Derivationen so gilt d f p v v f displaystyle rm d f p v v f nbsp Kettenregel Bearbeiten Hauptartikel Mehrdimensionale Kettenregel Ist f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp eine differenzierbare Funktion und ist g R R n displaystyle g colon mathbb R to mathbb R n nbsp g t g 1 t g n t displaystyle g t g 1 t dots g n t nbsp ein differenzierbarer Weg zum Beispiel die Beschreibung eines sich bewegenden Punktes so gilt fur die Ableitung der verketteten Funktion d d t f g t d f g t g t f g t g t grad f g t g t f x 1 g t g 1 t f x n g t g n t displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t f circ g t amp df g t g t nabla f g t cdot g t operatorname grad f g t cdot g t amp frac partial f partial x 1 g t g 1 t dots frac partial f partial x n g t g n t end aligned nbsp Die analoge Aussage gilt fur Mannigfaltigkeiten Differential und lineare Approximation BearbeitenDie Ableitung einer total differenzierbaren Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp im Punkt p R n displaystyle p in mathbb R n nbsp ist eine lineare Abbildung Funktion die die Funktion h f p h f p displaystyle h mapsto f p h f p nbsp approximiert also f p h f p i 1 n f x i p h i displaystyle f p h f p approx sum i 1 n frac partial f partial x i p h i nbsp mit h h 1 h n displaystyle h h 1 dots h n nbsp fur kleine Anderungen h 1 h n displaystyle h 1 dots h n nbsp nbsp Differentiale als kleine AnderungenIn der modernen Mathematik bezeichnet man als totales Differential d f p displaystyle mathrm d f p nbsp von f displaystyle f nbsp im Punkt p displaystyle p nbsp gerade diese Funktion siehe oben Die Begriffe totales Differential und totale Ableitung sind somit gleichbedeutend Die Darstellung d f p i 1 n f x i p d x i displaystyle mathrm d f p sum i 1 n frac partial f partial x i p mathrm d x i nbsp ist also eine Gleichung zwischen Funktionen Auch die Differentiale d x i displaystyle mathrm d x i nbsp sind Funktionen namlich die Koordinatenfunktionen die dem Vektor h h 1 h n displaystyle h h 1 dots h n nbsp die i displaystyle i nbsp te Komponente h i displaystyle h i nbsp zuordnen d x i h h i displaystyle mathrm d x i h h i nbsp Die Approximierungseigenschaft schreibt sich somit als f p h f p d f p h displaystyle f p h f p approx mathrm d f p h nbsp In der traditionellen in vielen Naturwissenschaften verbreiteten Sichtweise stehen die Differentiale d x i displaystyle mathrm d x i nbsp fur die kleinen Anderungen h i displaystyle h i nbsp selbst Das totale Differential d f displaystyle mathrm d f nbsp von f displaystyle f nbsp steht dann fur den Wert der genannten linearen Abbildung und die Approximationseigenschaft schreibt sich als D f f p d x f p d f displaystyle Delta f f p mathrm d x f p approx mathrm d f nbsp bzw f p d x f p d f displaystyle f p mathrm d x approx f p mathrm d f nbsp Beispiele fur diese Sichtweise zeigen das nebenstehende Bild und das Bild oben Integrabilitatsbedingung BearbeitenSiehe auch Integrabilitatsbedingung Jedes totale Differential A d f displaystyle A mathrm d f nbsp ist eine 1 displaystyle 1 nbsp Form das heisst A displaystyle A nbsp besitzt folgende Darstellung A p i 1 n a i p d x i displaystyle A p sum i 1 n a i p operatorname d x i nbsp man sagt die 1 displaystyle 1 nbsp Form ist exakt Im Kalkul der Differentialformen wird die Cartan Ableitung d A displaystyle mathrm d A nbsp als folgende 2 displaystyle 2 nbsp Form beschrieben d A p i 1 n j i 1 n a j x i p a i x j p d x i d x j displaystyle rm d A p sum i 1 n sum j i 1 n left frac partial a j partial x i p frac partial a i partial x j p right mathrm d x i wedge mathrm d x j nbsp Handelt es sich bei A displaystyle A nbsp tatsachlich um ein totales Differential d f displaystyle mathrm d f nbsp einer C 2 displaystyle C 2 nbsp Funktion f displaystyle f nbsp d h gilt a i f x i displaystyle a i frac partial f partial x i nbsp so ist d A p i 1 n j i 1 n 2 f x i x j p 2 f x j x i p d x i d x j 0 displaystyle rm d A p sum i 1 n sum j i 1 n left frac partial 2 f partial x i partial x j p frac partial 2 f partial x j partial x i p right mathrm d x i wedge mathrm d x j 0 nbsp nach dem Satz von Schwarz Lokal gilt auch immer die Umkehrung Erfullt die 1 Form A displaystyle A nbsp die Bedingung d A 0 displaystyle mathrm d A 0 nbsp man sagt A displaystyle A nbsp ist geschlossen so existiert zumindest in einer Umgebung jedes gegebenen Punktes eine Stammfunktion von A displaystyle A nbsp d h eine differenzierbare Funktion f displaystyle f nbsp so dass A d f displaystyle A mathrm d f nbsp ist Aus dem Satz von Schwarz folgt dass jede exakte Form geschlossen ist Man nennt die Bedingung d A 0 displaystyle rm d A 0 nbsp deshalb auch Integrabilitatsbedingung Ausfuhrlich formuliert lautet sie Fur alle Indizes i j displaystyle i j nbsp gilt a j x i a i x j displaystyle frac partial a j partial x i frac partial a i partial x j nbsp bzw Fur alle Indizes i j displaystyle i j nbsp gilt a j x i a i x j 0 displaystyle frac partial a j partial x i frac partial a i partial x j equiv 0 nbsp was im Hinblick auf physikalische Anwendungen auch als verallgemeinerte Rotationsbedingung bezeichnet wird In vielen Fallen existiert dann sogar eine globale Stammfunktion und A displaystyle A nbsp ist tatsachlich ein totales Differential Das ist zum Beispiel der Fall wenn der Definitionsbereich der Differentialform A displaystyle A nbsp der euklidische Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp ist oder allgemeiner wenn er sternformig oder einfach zusammenhangend ist Die Aussage dass auf einer Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp jede 1 Form die die Integrabilitatsbedingung erfullt eine Stammfunktion besitzt also ein totales Differential ist ist aquivalent dazu dass die erste De Rham Kohomologie Gruppe H d R 1 M displaystyle H mathrm dR 1 M nbsp trivial ist Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Bearbeiten Betrachtet man M R displaystyle M mathbb R nbsp und eine beliebige 1 displaystyle 1 nbsp Form A f d x displaystyle A f rm d x nbsp Dann gilt aus Dimensionsgrunden immer d A 0 displaystyle rm d A 0 nbsp und die fur R displaystyle mathbb R nbsp gultige Integrabilitatsbedingung ist erfullt Somit gibt es eine Funktion F displaystyle F nbsp die die Gleichung d F f d x displaystyle rm d F f rm d x nbsp bzw F f displaystyle F f nbsp erfullt Dies ist gerade der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung fur Funktionen einer Variablen Verallgemeinerungen BearbeitenGanz analog im Prinzip komponentenweise lasst sich die totale Ableitung fur vektorwertige Funktionen definieren Als Verallgemeinerung fur Abbildungen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erhalt man Pushforwards In der Funktionalanalysis kann man den Begriff der totalen Ableitung in naheliegender Weise fur Frechet Ableitungen verallgemeinern in der Variationsrechnung fur die sog Variationsableitungen Neben dem exakten Differential gibt es ebenfalls inexakte Differentiale Literatur BearbeitenRobert Denk Reinhard Racke Kompendium der Analysis Band 1 1 Auflage 2011 Otto Forster Analysis 2 11 Auflage 2017 Einzelnachweise Bearbeiten Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure Band 2 5 Auflage 1990 Ilja N Bronstein Konstantin A Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 7 uberarb und erg Auflage Harri Deutsch Frankfurt 2008 ISBN 978 3 8171 2007 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Totales Differential amp oldid 238969453
