www.wikidata.de-de.nina.az

Prinzip der virtuellen Leistung Das auch jourdainsches Prinzip nach Philip Jourdain wird in der klassischen Mechanik zum

Prinzip der virtuellen Leistung

Das Prinzip der virtuellen Leistung, auch jourdainsches Prinzip nach Philip Jourdain, wird in der klassischen Mechanik zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen von mechanischen Systemen mit Zwangsbedingungen benutzt. Im Gegensatz zum Prinzip der virtuellen Arbeit ist es auch anwendbar, wenn die Geschwindigkeiten in die Zwangsbedingungen eingehen.

Formale Darstellung Bearbeiten

Das Prinzip wird hier der Einfachheit halber nur für ein System aus  Punktmassen vorgestellt. Vorausgesetzt wird, dass die Orte und Geschwindigkeiten , die im Folgenden in Matrizen und zusammengefasst werden, einer Zwangsbedingung:

genügen.

Das mechanische System bewegt sich dann gerade so, dass für alle mit den Zwangsbedingungen verträglichen virtuellen Geschwindigkeiten die virtuelle Leistungsbilanz

erfüllt ist, wobei  für die auf die -te Punktmasse wirkende eingeprägte Kraft (ohne Zwangskraft) steht.

Ist die Zwangsbedingung frei von verdeckten Zwangsbedingungen, so werden die mit ihr verträglichen virtuellen Geschwindigkeiten  durch folgende Gleichung beschrieben:

Durch Reduktion des geometrischen Index des Algebro-Differentialgleichungssystems

bis auf null kann man (im Normalfall) eventuell auftretende verdeckte Zwangsbedingungen eliminieren.

Kontinuumsmechanik Bearbeiten

Das Prinzip der virtuellen Leistung in der Balkentheorie, für vernachlässigbare Beschleunigungen, lautet:

mit

Balkentheorie Bearbeiten

In der Balkentheorie vereinfacht sich das Prinzip zu:

mit

  • der Stabachsenkoordinate
  • dem Spannungsresultantenvektor , definiert als
  • der virtuellen Geschwindigkeitsgradienten der Stabachse
  • dem Spannungsresultantenvektor , definiert als
  • der virtuellen Spintensorgradienten

sowie zu:

mit

  • der Stabachsenkoordinate
  • der Belastung je Längseinheit , aus Gleichgewicht folgt
  • der virtuellen Geschwindigkeit der Stabachse
  • dem Moment je Längseinheit , aus Gleichgewicht folgt
  • der virtuellen Spintensor


Aus der partiellen Integration folgt die Aufspaltung in:

sowie

Anwendungen Bearbeiten

Verwendung findet das jourdainsche Prinzip zum Beispiel beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen für Mehrkörpersysteme. Für die dort auftretenden Rotationsbewegungen lassen sich die virtuellen Winkelgeschwindigkeiten einfacher darstellen als die virtuellen Verdrehungen.

Das Prinzip der virtuellen Leistung, das hier nur für ein Punktmassensystem demonstriert wurde, wird in der Praxis auch auf mechanische Systeme mit verteilten Parametern angewandt.

Zum Beispiel benutzt man das Prinzip zur Teildiskretisierung der Bewegungsgleichungen von flexiblen Körpern. In diesem Fall schränkt man den Ansatzraum für die Lösungen dieser Gleichungen auf einen endlichdimensionalen Teilraum ein. Diese Einschränkung der Bewegungsmöglichkeiten des Systems interpretiert man dann als Zwangsbedingung. Als Ansatzräume werden zum Beispiel Polynomräume oder Räume einer endlichen Auswahl für das Problem besonders interessanter Eigenbewegungen des elastischen Körpers eingesetzt.

Literatur Bearbeiten

  1. Jean-Claude Samin and Paul Fisette: Symbolic modeling of multibody systems. Kluwer Academic Press, 2003.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P. Germain: The Method of Virtual Power in Continuum Mechanics. Part 2: Microstructure. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 25, Nr. 3, November 1973, ISSN 0036-1399, S. 556–575, doi:10.1137/0125053 (siam.org [abgerufen am 30. November 2021]).
  2. Patricia Kuttke, Christian Hellmich, Stefan Scheiner: A principle of virtual power-based beam model reveals discontinuities in elastic support as potential sources of stress peaks in tramway rails. In: Acta Mechanica. Band 231, Nr. 11, November 2020, ISSN 0001-5970, S. 4641–4663, doi:10.1007/s00707-020-02776-7 (springer.com [abgerufen am 30. November 2021]).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Prinzip der virtuellen Leistung auch jourdainsches Prinzip nach Philip Jourdain wird in der klassischen Mechanik zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen von mechanischen Systemen mit Zwangsbedingungen benutzt Im Gegensatz zum Prinzip der virtuellen Arbeit ist es auch anwendbar wenn die Geschwindigkeiten in die Zwangsbedingungen eingehen Inhaltsverzeichnis 1 Formale Darstellung 2 Kontinuumsmechanik 2 1 Balkentheorie 3 Anwendungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormale Darstellung BearbeitenDas Prinzip wird hier der Einfachheit halber nur fur ein System aus n displaystyle n nbsp Punktmassen vorgestellt Vorausgesetzt wird dass die Orte x 1 x n displaystyle vec x 1 ldots vec x n nbsp und Geschwindigkeiten v 1 x 1 v n x n displaystyle vec v 1 dot vec x 1 ldots vec v n dot vec x n nbsp die im Folgenden in Matrizen x displaystyle mathbf x nbsp und v displaystyle mathbf v nbsp zusammengefasst werden einer Zwangsbedingung f t x v 0 displaystyle f t mathbf x mathbf v 0 nbsp genugen Das mechanische System bewegt sich dann gerade so dass fur alle mit den Zwangsbedingungen vertraglichen virtuellen Geschwindigkeiten d v displaystyle delta vec v nbsp die virtuelle Leistungsbilanz d P k 1 n m k v k F e k x v d v k 0 displaystyle delta P sum k 1 n m k dot vec v k vec F mathrm e k mathbf x mathbf v cdot delta vec v k 0 nbsp erfullt ist wobei F e k displaystyle vec F mathrm e k nbsp fur die auf die k displaystyle k nbsp te Punktmasse wirkende eingepragte Kraft ohne Zwangskraft steht Ist die Zwangsbedingung frei von verdeckten Zwangsbedingungen so werden die mit ihr vertraglichen virtuellen Geschwindigkeiten d v displaystyle delta mathbf v nbsp durch folgende Gleichung beschrieben v f t x v d v 0 displaystyle partial mathbf v f t mathbf x mathbf v cdot delta mathbf v 0 nbsp Durch Reduktion des geometrischen Index des Algebro Differentialgleichungssystems f t x v 0 v x displaystyle begin matrix f t mathbf x mathbf v amp amp 0 mathbf v amp amp dot mathbf x end matrix nbsp bis auf null kann man im Normalfall eventuell auftretende verdeckte Zwangsbedingungen eliminieren Kontinuumsmechanik BearbeitenDas Prinzip der virtuellen Leistung in der Balkentheorie fur vernachlassigbare Beschleunigungen lautet 1 P P e x t P i n t V f v d V S T v d S P e x t V s s v d V P i n t 0 displaystyle mathcal P mathcal P mathrm ext mathcal P mathrm int underbrace iiint V mathbf f cdot hat mathbf v mathrm d V iint S mathbf T cdot hat mathbf v mathrm d S mathcal P mathrm ext underbrace iiint V boldsymbol sigma boldsymbol nabla s hat mathbf v mathrm d V mathcal P mathrm int 0 nbsp mit P displaystyle mathcal P nbsp der virtuellen Leistung der externen Krafte P e x t V f v d V S T v d S displaystyle mathcal P mathrm ext iiint V mathbf f cdot hat mathbf v mathrm d V iint S mathbf T cdot hat mathbf v mathrm d S nbsp der internen Krafte P i n t V s s v d V displaystyle mathcal P mathrm int iiint V boldsymbol sigma boldsymbol nabla s hat mathbf v mathrm d V nbsp dem Volumenkraftdichtevektor f displaystyle mathbf f nbsp dem virtuellen Geschwindigkeitsvektor v displaystyle hat mathbf v nbsp dem Volumen V displaystyle V nbsp der Oberflache S displaystyle S nbsp dem Traktionsvektor T displaystyle mathbf T nbsp dem Spannungstensor s displaystyle boldsymbol sigma nbsp dem virtuellen symmetrischen GeschwindigkeitsgradientenBalkentheorie Bearbeiten In der Balkentheorie vereinfacht sich das Prinzip zu 2 P i n t x a x b N x v a x M x w x d x displaystyle mathcal P mathrm int int x a x b left mathbf N x hat mathbf v a x mathbf M x hat boldsymbol omega x right mathrm d x nbsp mit der Stabachsenkoordinate x displaystyle x nbsp dem Spannungsresultantenvektor N displaystyle mathbf N nbsp definiert als N e x s d A displaystyle mathbf N int mathbf e x cdot boldsymbol sigma mathrm d A nbsp der virtuellen Geschwindigkeitsgradienten der Stabachse v a x v a x x displaystyle hat mathbf v a x frac partial hat mathbf v a x partial x nbsp dem Spannungsresultantenvektor M displaystyle mathbf M nbsp definiert als N 0 y z s d A displaystyle mathbf N int 0 y z times boldsymbol sigma mathrm d A nbsp der virtuellen Spintensorgradienten w x w x x displaystyle hat boldsymbol omega x frac partial hat boldsymbol omega x partial x nbsp sowie zu P e x t x a x e q x v a x m x w x d x N x v c x M x w x x a x e displaystyle mathcal P mathrm ext left int x a x e left mathbf q x hat mathbf v a x mathbf m x hat boldsymbol omega x right dx right left left mathbf N x hat mathbf v c x mathbf M x hat boldsymbol omega x right x a x e right nbsp mit der Stabachsenkoordinate x displaystyle x nbsp der Belastung je Langseinheit q x displaystyle mathbf q x nbsp aus Gleichgewicht folgt q x N x N x x displaystyle mathbf q x mathbf N x frac partial mathbf N x partial x nbsp der virtuellen Geschwindigkeit der Stabachse v a x displaystyle hat mathbf v a x nbsp dem Moment je Langseinheit m x displaystyle mathbf m x nbsp aus Gleichgewicht folgt m x M x N x x displaystyle mathbf m x mathbf M x frac partial mathbf N x partial x nbsp der virtuellen Spintensor w x displaystyle hat boldsymbol omega x nbsp Aus der partiellen Integration folgt die Aufspaltung in x a x e v a x N x d x v a x N x x a x e x a x e v a x N x d x displaystyle int x a x e hat mathbf v a x cdot mathbf N x mathrm d x Big hat mathbf v a x cdot mathbf N x Big x a x e int x a x e hat mathbf v a x cdot mathbf N x mathrm d x nbsp sowie x a x e w x M x d x w x M x x a x e x a x e w x M x d x displaystyle int x a x e hat boldsymbol omega x cdot mathbf M x mathrm d x Big hat boldsymbol omega x cdot mathbf M x Big x a x e int x a x e hat boldsymbol omega x cdot mathbf M x mathrm d x nbsp Anwendungen BearbeitenVerwendung findet das jourdainsche Prinzip zum Beispiel beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen fur Mehrkorpersysteme Fur die dort auftretenden Rotationsbewegungen lassen sich die virtuellen Winkelgeschwindigkeiten einfacher darstellen als die virtuellen Verdrehungen Das Prinzip der virtuellen Leistung das hier nur fur ein Punktmassensystem demonstriert wurde wird in der Praxis auch auf mechanische Systeme mit verteilten Parametern angewandt Zum Beispiel benutzt man das Prinzip zur Teildiskretisierung der Bewegungsgleichungen von flexiblen Korpern In diesem Fall schrankt man den Ansatzraum fur die Losungen dieser Gleichungen auf einen endlichdimensionalen Teilraum ein Diese Einschrankung der Bewegungsmoglichkeiten des Systems interpretiert man dann als Zwangsbedingung Als Ansatzraume werden zum Beispiel Polynomraume oder Raume einer endlichen Auswahl fur das Problem besonders interessanter Eigenbewegungen des elastischen Korpers eingesetzt Literatur BearbeitenJean Claude Samin and Paul Fisette Symbolic modeling of multibody systems Kluwer Academic Press 2003 Einzelnachweise Bearbeiten P Germain The Method of Virtual Power in Continuum Mechanics Part 2 Microstructure In SIAM Journal on Applied Mathematics Band 25 Nr 3 November 1973 ISSN 0036 1399 S 556 575 doi 10 1137 0125053 siam org abgerufen am 30 November 2021 Patricia Kuttke Christian Hellmich Stefan Scheiner A principle of virtual power based beam model reveals discontinuities in elastic support as potential sources of stress peaks in tramway rails In Acta Mechanica Band 231 Nr 11 November 2020 ISSN 0001 5970 S 4641 4663 doi 10 1007 s00707 020 02776 7 springer com abgerufen am 30 November 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prinzip der virtuellen Leistung amp oldid 218089288