In der Gruppentheorie ist die Quaternionengruppe eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8 displaystyle 8 Sie wird haufig mit dem Symbol Q 8 displaystyle Q 8 bezeichnet Ihren Namen erhalt sie daher dass sie aus den acht Elementen 1 i j k displaystyle pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k im Schiefkorper der Hamiltonschen Quaternionen besteht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Automorphismen 4 Charaktertafel 5 Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Quaternionengruppe ist die achtelementige Menge Q 8 1 i j k displaystyle Q 8 pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k nbsp mit der Verknupfung Q 8 Q 8 Q 8 displaystyle cdot colon Q 8 times Q 8 to Q 8 nbsp die neben den ublichen Vorzeichenregeln die folgenden Relationen erfullt i i j j k k i j k 1 displaystyle mathrm i cdot mathrm i mathrm j cdot mathrm j mathrm k cdot mathrm k mathrm i cdot mathrm j cdot mathrm k 1 nbsp Diese Regeln wurden von William Rowan Hamilton gefunden 1 Daraus ergibt sich folgende Verknupfungstafel displaystyle cdot nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp k displaystyle mathrm k nbsp j displaystyle mathrm j nbsp j displaystyle mathrm j nbsp i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp Die Gruppenaxiome Existenz des neutralen Elements Existenz des inversen Elements Assoziativitatsind leicht nachgepruft Eigenschaften BearbeitenDie Quaternionengruppe Q 8 displaystyle Q 8 nbsp ist nicht abelsch da beispielsweise i j k j i k displaystyle mathrm i cdot mathrm j mathrm k neq mathrm j cdot mathrm i mathrm k nbsp gilt Sie und die Diedergruppe D 4 displaystyle D 4 nbsp sind bis auf Isomorphie die beiden einzigen nicht abelschen Gruppen mit acht Elementen Die Gruppe Q 8 displaystyle Q 8 nbsp ist zudem eine hamiltonsche Gruppe sie ist zwar nicht abelsch aber dennoch ist jede Untergruppe ein Normalteiler Jede hamiltonsche Gruppe hat eine zu Q 8 displaystyle Q 8 nbsp isomorphe Untergruppe Der Schiefkorper H displaystyle mathbb H nbsp der Hamiltonschen Quaternionen besteht aus dem reellen Vektorraum mit Basis 1 i j k displaystyle 1 mathrm i mathrm j mathrm k nbsp und der Multiplikation die die obige Multiplikationstabelle bilinear fortsetzt 2 Umgekehrt kann man ausgehend vom Schiefkorper H displaystyle mathbb H nbsp die Quaternionengruppe als die von den Elementen 1 i j k displaystyle pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k nbsp gebildete Untergruppe definieren Man kann Q 8 displaystyle Q 8 nbsp auch als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL 2 C displaystyle operatorname GL 2 mathbb C nbsp darstellen durch die Matrizen i 1 0 0 1 displaystyle mathrm i left begin smallmatrix sqrt 1 amp 0 0 amp sqrt 1 end smallmatrix right nbsp und j 0 1 1 0 displaystyle mathrm j left begin smallmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end smallmatrix right nbsp und k 0 1 1 0 displaystyle mathrm k left begin smallmatrix 0 amp sqrt 1 sqrt 1 amp 0 end smallmatrix right nbsp Eine Anwendung der Quaternionengruppe ergibt sich in der synthetischen Geometrie Dort dienen Quasikorper als Koordinatenbereiche einer affinen oder projektiven Ebene und es zeigt sich dass einer der kleinsten Quasikorper der kein Schiefkorper ist und uber dem sich daher nichtdesarguesche Ebenen ergeben eine zu Q 8 displaystyle Q 8 nbsp isomorphe multiplikative Gruppe hat siehe Ternarkorper Automorphismen BearbeitenAls Automorphismus hier von Q 8 displaystyle Q 8 nbsp gilt eine bijektive Abbildung ϕ Q 8 Q 8 displaystyle phi colon Q 8 to Q 8 nbsp bei der die Multiplikation homomorph behandelt wird d h ϕ x y ϕ x ϕ y displaystyle phi x cdot y phi x cdot phi y nbsp Da die Ordnung von Gruppenelementen hierbei erhalten bleibt mussen 1 displaystyle pm 1 nbsp als einzige Elemente mit Ordnung 1 bzw 2 festbleiben Dagegen konnen die 3 imaginaren Einheiten i j k displaystyle mathrm i mathrm j mathrm k nbsp jeweils in eine andere uberfuhrt werden Genauer die erste sagen wir i displaystyle mathrm i nbsp hat alle 6 Ecken i j k displaystyle pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k nbsp dieses Oktaeders zur Auswahl das Negative dieses Werts muss dann dem Antipoden i displaystyle mathrm i nbsp zugeteilt werden Bleiben fur die zweite sagen wir j displaystyle mathrm j nbsp noch 4 Ecken Danach sind die restlichen Zuordnungen festgelegt Antipode j displaystyle mathrm j nbsp wie auch k displaystyle mathrm k nbsp wegen k i j displaystyle mathrm k mathrm i cdot mathrm j nbsp diese Orientierung verbietet die Spiegelungen s u und dessen Antipode k displaystyle mathrm k nbsp Es gibt also 6 4 24 Automorphismen die in eineindeutiger Korrespondenz zu den Drehungen des besagten Oktaeders stehen Somit ist die Automorphismengruppe Aut Q 8 displaystyle operatorname Aut Q 8 nbsp isomorph zur Drehgruppe des Oktaeders die wiederum zur symmetrischen Gruppe S4 isomorph ist Eine elegante Realisierung von Aut Q 8 displaystyle operatorname Aut Q 8 nbsp im Kontext der Quaternionen findet sich in Hurwitzquaternionen Die inneren Automorphismen von Q 8 displaystyle Q 8 nbsp werden durch die q Q 8 displaystyle q in Q 8 nbsp modulo dem Zentrum Z 1 displaystyle Z left pm 1 right nbsp vermoge x q 1 x q displaystyle x mapsto q 1 cdot x cdot q nbsp vermittelt Sie bilden die Gruppe Inn Q 8 displaystyle operatorname Inn Q 8 nbsp isomorph zu Q 8 Z displaystyle Q 8 Z nbsp die zur kleinschen Vierergruppe V isomorph ist Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse die hier gleichzeitig die Inversionsabbildung darstellt ist antihomomorph 3 das heisst x y y x displaystyle overline x cdot y bar y cdot bar x nbsp und auch k j i i j displaystyle bar mathrm k bar mathrm j cdot bar mathrm i neq bar mathrm i cdot bar mathrm j nbsp und wird deshalb als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet Charaktertafel BearbeitenDie Quaternionengruppe hat folgende Charaktertafel G displaystyle G nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp i displaystyle rm i nbsp j displaystyle rm j nbsp k displaystyle rm k nbsp x 1 displaystyle chi 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp x 2 displaystyle chi 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp x 3 displaystyle chi 3 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp x 4 displaystyle chi 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp x 5 displaystyle chi 5 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp Die Diedergruppe D4 hat dieselbe Charaktertafel ohne zur Quaternionengruppe isomorph zu sein Damit ist die Quaternionengruppe ein Beispiel dafur dass sich eine Gruppe nicht aus ihrer Charaktertafel rekonstruieren lasst 4 Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen BearbeitenDie Quaternionengruppe Q 8 displaystyle Q 8 nbsp lasst sich wie folgt durch Erzeuger und Relationen prasentieren x y x 4 1 x 2 y 2 y x y 1 x 1 displaystyle left langle x y mid x 4 1 x 2 y 2 yxy 1 x 1 right rangle nbsp In obiger Schreibweise gilt x i displaystyle x mathrm i nbsp und y j displaystyle y mathrm j nbsp Die Quaternionengruppe ist daher eine sogenannte dizyklische Gruppe Die dizyklische Gruppe der Ordnung 4 n displaystyle 4n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp erhalt man durch folgende Prasentation uber Erzeuger und Relationen x y x 2 n 1 x n y 2 y x y 1 x 1 displaystyle left langle x y mid x 2n 1 x n y 2 yxy 1 x 1 right rangle nbsp 5 6 Die dizyklischen Gruppen deren Ordnung eine Zweierpotenz ist heissen verallgemeinerte Quaternionengruppen 7 Siehe auch BearbeitenLipschitzquaternionen HurwitzquaternionenWeblinks BearbeitenPlatonische PolychoraEinzelnachweise Bearbeiten William Rowan Hamilton Einritzung in einen Stein der Broom auch Brougham Bridge Dublin 1843 Hans Dieter Ebbinghaus et al Zahlen In Grundwissen Mathematik Band 1 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York Tokio 1983 ISBN 3 540 12666 X S 138 154 Eric W Weisstein Antihomomorphism In MathWorld englisch J L Alperin R B Bell Groups and Representations Springer Verlag 1995 ISBN 0 387 94525 3 Kap 6 Beispiel 8 Steven Roman Fundamentals of group theory Birkhauser Basel 2012 Kapitel 12 S 347 348 Thomas Keilen Endliche Gruppen PDF Beispiel 9 11 S 37 Bertram Huppert Endliche Gruppen I Springer Berlin 1967 Kapitel I 14 Satz 14 9 S 91 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quaternionengruppe amp oldid 223247543
