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Dizyklische Gruppe Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen

Dizyklische Gruppe

Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen der Ordnung , Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

Konstruktion der Gruppe Bearbeiten

Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe , die wir als multiplikative Untergruppe in realisieren, d. h.

Die Gruppe wird von erzeugt und es ist

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung , damit ist. Indem wir die komplexen Zahlen als Unteralgebra der Quaternionen auffassen, ist auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums . Wir wollen als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

Da ist

und man kann zeigen, dass

Dazu rechnet man zunächst und damit ; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass tatsächlich nur die angegebenen Elemente enthält.

Da die Elemente genauso wie die ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.

Die dizyklische Gruppe als Erweiterung Bearbeiten

Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:

Dabei ist die Inklusionsabbildung und . Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Präsentation der dizyklischen Gruppen Bearbeiten

Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen . Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung für erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen:

Dicn für kleine n Bearbeiten

ist eine zur zyklischen Vierergruppe isomorphe Gruppe.

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b
1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b
a a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b b
a2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b ab
a3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2b
a4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3b
a5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4b
b b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4
ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5
a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1
a3b a3b a2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 a
a4b a4b a3b a2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2
a5b a5b a4b a3b a2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3

Hier ist und . Da , kann man auf die Potenzen verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei mit und bereits getan hatten. Es ist dann

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press (1974), Kapitel 7.1 The Cyclic and Dicyclic groups = 74–75
  2. G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson: Theory and application of finite groups, New York, Wiley 1916, Nachdruck Dover (1961)
  3. Steven Roman: Fundamentals of group theory. Kapitel 12, Seite 347/348, Birkhäuser, Basel (2012)
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Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen D i c n displaystyle mathrm Dic n der Ordnung 4 n displaystyle 4n Dic steht dabei fur die englische Bezeichnung dicyclic group Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion der Gruppe 2 Die dizyklische Gruppe als Erweiterung 3 Prasentation der dizyklischen Gruppen 4 Dicn fur kleine n 5 EinzelnachweiseKonstruktion der Gruppe BearbeitenWir gehen aus von einer zyklischen Gruppe C 2 n displaystyle C 2n nbsp die wir als multiplikative Untergruppe in C displaystyle mathbb C nbsp realisieren d h C 2 n exp n p i n n 0 2 n 1 displaystyle C 2n exp nu pi i n mid nu 0 ldots 2n 1 nbsp Die Gruppe wird von a exp p i n displaystyle a exp pi i n nbsp erzeugt und es ist a n exp n p i n cos n p n i sin n p n displaystyle a nu exp nu pi i n cos nu pi n i sin nu pi n nbsp Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung 2 n displaystyle 2n nbsp damit 1 a n C 2 n displaystyle 1 a n in C 2n nbsp ist Indem wir die komplexen Zahlen C R i R displaystyle mathbb C mathbb R i mathbb R nbsp als Unteralgebra der Quaternionen H R i R j R k R displaystyle mathbb H mathbb R i mathbb R j mathbb R k mathbb R nbsp auffassen ist C 2 n displaystyle C 2n nbsp auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums H displaystyle mathbb H nbsp Wir wollen b j displaystyle b j nbsp als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher D i c n displaystyle mathrm Dic n nbsp von a b displaystyle a b nbsp erzeugte multiplikative Untergruppe von H displaystyle mathbb H nbsp Da i j k displaystyle i cdot j k nbsp ist a n b j cos n p n k sin n p n displaystyle a nu b j cos nu pi n k sin nu pi n nbsp und man kann zeigen dass D i c n a n a n b n 0 2 n 1 displaystyle mathrm Dic n a nu a nu b mid nu 0 ldots 2n 1 nbsp Dazu rechnet man zunachst a b 2 1 displaystyle ab 2 1 nbsp und damit b a a 1 b a 2 n 1 b displaystyle ba a 1 b a 2n 1 b nbsp aus dieser Formel ergibt sich sofort dass D i c n displaystyle mathrm Dic n nbsp tatsachlich nur die angegebenen 4 n displaystyle 4n nbsp Elemente enthalt 1 Da die Elemente a n b displaystyle a nu b nbsp genauso wie die a n displaystyle a nu nbsp ebenfalls ein regelmassiges 2n Eck aufspannen nennt man diese Gruppe dizyklisch eine Bezeichnung die auf G A Miller zuruckgeht 2 Die dizyklische Gruppe als Erweiterung BearbeitenMan kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben 0 C 2 n i D i c n p C 2 0 displaystyle 0 rightarrow C 2n xrightarrow iota mathrm Dic n xrightarrow p C 2 rightarrow 0 nbsp Dabei ist i displaystyle iota nbsp die Inklusionsabbildung und p a n 1 p a n b 1 displaystyle p a nu 1 p a nu b 1 nbsp Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor Prasentation der dizyklischen Gruppen BearbeitenMit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen a 2 n 1 a n 1 b 2 b a a 1 b displaystyle a 2n 1 quad a n 1 b 2 quad ba a 1 b nbsp Das genugt bereits die dizyklischen Gruppen zu beschreiben denn die dizyklische Gruppe der Ordnung 4 n displaystyle 4n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp erhalt man durch folgende Prasentation uber Erzeuger und Relationen 3 x y x 2 n 1 x n y 2 y x x 1 y displaystyle left langle x y mid x 2n 1 x n y 2 yx x 1 y right rangle nbsp Dicn fur kleine n BearbeitenD i c 1 1 1 j j displaystyle mathrm Dic 1 1 1 j j nbsp ist eine zur zyklischen Vierergruppe C 4 displaystyle C 4 nbsp isomorphe Gruppe D i c 2 1 i 1 i j i j j i j displaystyle mathrm Dic 2 1 i 1 i j ij j ij nbsp ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe D i c 3 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 b a b a 2 b a 3 b a 4 b a 5 b displaystyle mathrm Dic 3 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 b ab a 2 b a 3 b a 4 b a 5 b nbsp ist eine 12 elementige Gruppe mit folgender Verknupfungstafel displaystyle cdot nbsp 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5ba a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b ba2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b aba3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2ba4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3ba5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4bb b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1a3b a3b a2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 aa4b a4b a3b a2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2a5b a5b a4b a3b a2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3Hier ist a 1 2 i 3 2 displaystyle textstyle a frac 1 2 i frac sqrt 3 2 nbsp und b j displaystyle b j nbsp Da a 3 1 displaystyle a 3 1 nbsp kann man auf die Potenzen a 3 a 4 a 5 displaystyle a 3 a 4 a 5 nbsp verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten wie wir es bei D i c 2 displaystyle mathrm Dic 2 nbsp mit a i displaystyle a i nbsp und b j displaystyle b j nbsp bereits getan hatten Es ist dann D i c 3 1 a a 2 1 a a 2 b a b a 2 b b a b a 2 b displaystyle mathrm Dic 3 1 a a 2 1 a a 2 b ab a 2 b b ab a 2 b nbsp Einzelnachweise Bearbeiten H S M Coxeter Regular Complex Polytopes Cambridge University Press 1974 Kapitel 7 1 The Cyclic and Dicyclic groups 74 75 G A Miller H F Blichfeldt L E Dickson Theory and application of finite groups New York Wiley 1916 Nachdruck Dover 1961 Steven Roman Fundamentals of group theory Kapitel 12 Seite 347 348 Birkhauser Basel 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dizyklische Gruppe amp oldid 239506409