Eine Hurwitzquaternion (oder Hurwitz-Ganzzahl), benannt nach Adolf Hurwitz, ist eine Quaternion, deren vier Koeffizienten entweder alle (rational-)ganzzahlig oder alle halbzahlig (Hälften ungerader ganzer Zahlen) sind – Mischungen von Ganzzahlen und Halbzahlen sind also unzulässig. Die Menge aller Hurwitzquaternionen ist
Sie bildet in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten
eine maximale -Ordnung. ist der kleinste Unterkörper des Quaternionenschiefkörpers mit nicht-kommutativer Multiplikation. Andererseits ist seine Vervollständigung (Komplettierung) für die Betrags-Metrik gerade wieder .
Eine Lipschitzquaternion (oder Lipschitz-Ganzzahl), benannt nach Rudolf Lipschitz, ist eine Quaternion, deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Die Menge aller Lipschitzquaternionen
ist ein (nicht-kommutativer) Unterring von (aber kein Ideal!). und haben denselben Quotientenkörper .
Im Unterschied zu ist maximal als Ganzheitsring und zusätzlich ein euklidischer Ring, d. h., kennt eine Division mit kleinem Rest und einen euklidischen Algorithmus.
Der Artikel behandelt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften inklusive Symmetrien von und deren geometrische Auswirkungen. Ferner lässt sich exemplarisch verfolgen, inwieweit Begriffe, die man von den kommutativen Ringen her kennt und die häufig nur dort definiert werden, fürs nicht-kommutative Umfeld angepasst werden können.
Erbschaften Bearbeiten
Der Schiefkörper „erbt“ die , , und alle einschlägigen Rechenregeln von , den Quaternionen mit reellen Koeffizienten. Bezüglich der Definitionen wird auf den entsprechenden Artikel verwiesen.
ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über seinem Skalarkörper , wie es über ist. Vom Vektorraum gewinnt man die Addition und die Skalarmultiplikation , bei der der Skalar die Quaternion komponentenweise multipliziert. Diese Multiplikation stimmt in ihrem Definitionsbereich mit der Quaternionen-Multiplikation überein, da als in die Quaternionen eingebettet wird, und sie ist kommutativ.
In diesem Artikel wird die (volle) Quaternionen-Multiplikation mit dem Mittepunkt und die Skalarmultiplikation durch einfache Juxtaposition notiert, ferner werden die Quaternionen mit griechischen und die Skalare mit lateinischen Buchstaben geschrieben.
Zur Erläuterung der Auswirkungen der Erbschaften auf das Thema des Artikels seien und beliebige Quaternionen (mit rationalen oder ggf. reellen Koeffizienten).
- Das Skalarprodukt , definiert durch ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Wir haben die Bilder und und die Bilder
- Die Konjugation wirft nach
- Die Norm, gegeben durch ist (Quadrat des Betrags), multiplikativ, rein reell, nicht-negativ und bei einer Hurwitzquaternion immer eine ganze Zahl. Gemäß dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange benötigt man für jede nicht-negative ganze Zahl höchstens 4 Quadratzahlen, deren Summe sie ist. Somit ist jede nicht-negative Ganzzahl Norm einer Lipschitz- (oder Hurwitz-)Quaternion.
- Die positive Definitheit des Skalarprodukts bedeutet für . Daraus folgt die Existenz des Inversen daraus die Nullteilerfreiheit von .
Gruppeneigenschaften Bearbeiten
Folgende Notationen seien in diesem Artikel durchgehalten.
- Die Menge ist wegen der Multiplikativität der Norm additiv und multiplikativ abgeschlossen und Untermenge von , da alle mit eine ungerade Norm haben. Ferner ist für und sowohl ist bekannt als das Gitter D4 im . Es wird der geraden „Quersummen“ wegen auch „Schachbrettgitter“ genannt.
- sei eine Kurzschreibweise für die Nebenklasse .
- Die Quaternion hat zur 6-ten Potenz, und es ist und .
- Die Menge ist multiplikativ abgeschlossen.
Additivität Bearbeiten
Lipschitz-Gitter Bearbeiten
Die additive Gruppe wird erzeugt von und bildet ein Gitter im , bekannt als das Gitter I4.
ist ein Untergitter vom Index 2 von . Es ergeben sich die Partitionen
Hurwitz-Gitter Bearbeiten
Als additive Gruppe ist frei abelsch mit den Erzeugenden . bildet ebenfalls ein Gitter im , bekannt als das Gitter F4.
ist ein Untergitter vom Index 2 von und es ergeben sich die Partitionen
(siehe unten stehendes Diagramm). Damit ist ein vollständiges Repräsentantensystem von .
Die Elemente der Nebenklassen haben gerade, die von ungerade „Quersumme“ .
Multiplikativität Bearbeiten
Lipschitz-Halbgruppe Bearbeiten
Es ist klar, dass das Produkt zweier Lipschitz-Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten wieder ganzzahlige Koeffizienten hat. Somit ist die Menge eine Halbgruppe unter der Quaternionen-Multiplikation .
Lipschitz-Einheiten Bearbeiten
Die Einheitengruppe in ist die nicht-abelsche Quaternionengruppe
von der Ordnung 8 mit dem Zentrum . Erzeugende von Q8 sind z. B. und mit den Gleichungen
Hurwitz-Halbgruppe Bearbeiten
Der Beweis der multiplikativen Abgeschlossenheit von gelingt ohne große Rechnerei durch Zusammensetzen aus den 4 Nebenklassen.
Fazit: Die Mengen und sind abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation , so dass sie (nicht-kommutative) Unterringe in ihrer beider Quotientenkörper bilden, und ist ein Ideal in beiden Ringen (siehe auch den Abschnitt Ideale).
Hurwitz-Einheiten Bearbeiten
Die Einheitengruppe in , auch Gruppe der Hurwitzeinheiten genannt, ist die nicht-abelsche Gruppe
der Ordnung 24, die aus den 8 Elementen der Gruppe Q8 und den 16 Quaternionen besteht, bei denen die Vorzeichen in jeder Kombination zu nehmen sind: den Hurwitzeinheiten im engeren Sinn. ist isomorph zur binären Tetraedergruppe 2T, einer zentralen Gruppenerweiterung der Tetraedergruppe T = A4 von der Ordnung 12 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2. Ihr Zentrum ist ebenfalls und die Faktorgruppe ist isomorph zu A4.
Q8 ist Normalteiler vom Index 3 von , und ist Untergruppe von mit und ; also ist das semidirekte Produkt .
Erzeugende von sind z. B.
mit den Gleichungen
wobei .
Geometrische Eigenschaften Bearbeiten
Regulärer 16-Zeller (Hexadekachor) Bearbeiten
Die Elemente der Gruppe Q8 haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des Kreuzpolytops der vierten Dimension, des regulären sogenannten 16-Zellers, auch Hexadekachōr(on) (das, englisch hexadecachoron, von griechisch ἑξαδεκάχωρον aus hexa ‚sechs‘ und deka ‚zehn‘ und chōros ‚Raum‘) genannt. Er ist eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre, die selbst wieder eine Gruppe ist, nämlich die Lie-Gruppe SU(2). Sein Rand besteht aus 16 Tetraedern mit den Eckenmengen , wobei jede der 16 Vorzeichenkombinationen für ein Tetraeder steht. Die Mittelpunkte dieser Tetraeder sind gerade die Hälften der Hurwitzeinheiten im engeren Sinn.
Der 16-Zeller ist zum 8-Zeller dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen (Polychora im ), hat Schläfli-Symbol {3,3,4} und ist berandet von 16 (regulären) Tetraeder-Zellen, 32 (regulären) Dreiecksflächen, 24 Kanten und 8 Ecken. Sein 4-Volumen ist bei einer Kantenlänge von und einem Umkreisradius von 1.
Regulärer 8-Zeller (Tesserakt) Bearbeiten
Die restlichen 16 Elemente , d. s. die Hurwitzeinheiten im engeren Sinn, haben ebenfalls die Norm 1 und bilden die Ecken des Hyperwürfels (Maßpolytops) der vierten Dimension, des regulären sogenannten 8-Zellers, auch Tesserakt genannt. Er ist berandet durch 8 Würfel, einer davon hat bspw. die 8 Ecken und als Mittelpunkt. Die Mittelpunkte der Würfel sind .
Der 8-Zeller ist zum 16-Zeller dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat Schläfli-Symbol {4,3,3} und ist berandet von 8 Zellen (den Würfeln), 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Ecken. Sein 4-Volumen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Regulärer 24-Zeller (Ikositetrachor) Bearbeiten
Die Elemente der Gruppe haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des sogenannten 24-Zellers, auch Ikositetrachōr(on) (das, englisch icositetrachoron, von griechisch εἰκοσιτετράχωρον aus eikosi ‚zwanzig‘ und tetra, Präfixform von τέτταρα, ‚vier‘ und chōros ‚Raum‘), eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre. Die 6 Quaternionen markieren die Ecken eines regulären Oktaeders mit dem Mittelpunkt auf dem Rand dieses 24-Zellers, welches bei (linker wie rechter) Multiplikation mit einem Element in ein anderes Oktaeder (auf dem Rand) übergeht. Somit besteht der Rand des 24-Zellers aus 24 (regulären) Oktaeder-Zellen, von denen sich 6 an jeder Ecke und 3 an jeder Kante treffen. Der 24-Zeller gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat 24 Zellen (die Oktaeder), 96 Dreiecksflächen, 96 Kanten und 24 Ecken. Das 4-Volumen ist 2 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Der 24-Zeller hat Schläfli-Symbol {3,4,3}, ist das einzige selbst-duale reguläre euklidische Polytop, das nicht Simplex oder Polygon ist, und hat insoweit keine Entsprechung in anderen Dimensionen.
Parkettierung und Sphärenpackung Bearbeiten
Zu jedem der 3 oben genannten regulären 4-Polytope gibt es eine reguläre und lückenlose Parkettierung – und diese sind die einzigen – des 4-dimensionalen euklidischen Raums.
Parkettierung mit dem 8-Zeller Bearbeiten
Eine Parkettierung des mit dem Tesserakt lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der Tesserakte, der Maschen, genau auf die Lipschitzquaternionen fallen. Das gelingt mit dem oben erwähnten Tesserakt, genauer: dem 4-dimensionalen und für die Disjunktheit der Maschen rechtsoffenen Intervall als der Grundmasche.
Diese Parkettierung mit dem 8-Zeller sei als die Lipschitz-Parkettierung bezeichnet. Sie hat Schläfli-Symbol {4,3,3,4} und ist zu sich selbst dual, d. h., die Mittelpunkte der einen Parkettierung sind die Ecken der dualen und umgekehrt. Das 4-Volumen der Maschen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Parkettierung mit dem 24-Zeller Bearbeiten
Eine Parkettierung des mit dem 24-Zeller lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der 24-Zeller genau auf die Hurwitzquaternionen fallen. Die Grundmasche ist der 24-Zeller mit dem Mittelpunkt und den 24 Ecken der Art .
Diese Parkettierung mit dem 24-Zeller sei als die Hurwitz-Parkettierung bezeichnet. Ihr Schläfli-Symbol ist {3,4,3,3}. Das 4-Volumen der Maschen ist bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von .
Parkettierung mit dem 16-Zeller Bearbeiten
Es gibt eine Parkettierung mit dem 16-Zeller, die dual ist zur Parkettierung mit dem 24-Zeller, – Schläfli-Symbol also {3,3,4,3}. Das 4-Volumen ihrer Maschen ist bei einer Kantenlänge von 1 und einem Umkreisradius von .
Sphärenpackung Bearbeiten
Im Zusammenhang mit diesen letzteren 2 Parkettierungen steht eine maximale (bewiesen für Gitter-Packungen, nicht aber für Nicht-Gitter-Packungen) Packungsdichte von 4-Kugeln (3-Sphären) von auf dem Hurwitz-Gitter F4 im . Diese Sphärenpackung kommt auf eine Kusszahl von 24 (als obere Grenze – auch unter Nicht-Gitter-Packungen – bewiesen).
Maschenradius Bearbeiten
Für die Division mit Rest weiter unten benötigen wir die Gitterweite eines Gitters und definieren sie als die größte vorkommende Entfernung
eines Punktes zu einem Gitterpunkt , der ihm am nächsten liegt, d. h.
Das Gitter hat den Maschenradius .
Pseudocode für die Approximation einer Quaternion durch eine Lipschitz-Ganzzahl :
| beliebige Quaternion | |
| alle 4 Komponenten | |
| Rundung zur nächsten Ganzzahl per und Gaußklammer | |
Damit ist in der Masche mit Mittelpunkt , genauer: (rechtsoffenes 4-dimensionales Intervall).
Das Gitter hat den Maschenradius .
Pseudocode für die Approximation einer Quaternion durch eine Hurwitz-Ganzzahl :
| beliebige Quaternion | |
| Lipschitz-Ganzzahl | |
| Abweichung der Lipschitz-Näherung | |
| Alle 16 halbzahligen Hurwitzeinheiten werden durchprobiert. | |
| Abweichung einer Hurwitz-Ganzzahl | |
| Der Gitterpunkt mit der kleinsten Abweichung wird festgehalten. | |
Die normmäßige Abweichung des Ergebnisses ist .
Euklidizität Bearbeiten
Der folgende Pseudocode ermittelt zu einer linken Division mit „kleinem“ Rest den Rest:
| Dividend , Divisor | |
| Division links ergibt rechten Quotienten. | |
| Rest der linken Division | |
| betragsmäßig minimal |
Das Suffix kennzeichnet das Ergebnis als einer linken Division entstammend. Damit ist es in einer nachfolgenden komplementären Multiplikation zur Verwendung als linker Faktor (Teiler) geeignet.
Diese Division mit Rest macht den Ring der Hurwitzquaternionen zu einem rechts-euklidischen Ring, d. h., zu 2 Zahlen und gibt es und mit
Wie in kommutativen euklidischen Ringen ist jedes Ideal in ein Hauptideal – nur muss zusätzlich die Seitigkeit (hier zunächst: rechts) des Ideals angegeben werden.
Der folgende Pseudocode zeigt einen euklidischen Algorithmus zum Auffinden eines linken größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Hurwitzquaternionen in .
| Hurwitzquaternionen | |
| der Rest aus der Division | |
Das Ergebnis ist ein linker Teiler von und , d. h., es gibt mit und . Er ist bis auf rechtsseitige Multiplikation mit einer Hurwitz-Einheit eindeutig bestimmt, bspw. und . Man kann also stets eine Lipschitzquaternion als Ergebnis des Algorithmus auswählen. Außerdem ist auch größter Teiler, d. h., es gibt kein betragsmäßig größeres mit , das linker Teiler von und ist. Das bedeutet auch, dass der linke ggT der beiden obigen rechtsseitigen Faktoren von eine Einheit ist: .
Generell kann man die beiden Faktoren bei jeder Quaternionenmultiplikation und gleichzeitig überall die Begriffe „rechts“ und „links“ vertauschen, was zu den Funktionen und führt.
Der Ring ist also auch links-euklidisch, d. h., zu 2 Zahlen und gibt es und mit
Und jedes Linksideal in ist ein Links-Hauptideal.
Einige einfache Rechenregeln für den ggT für beliebige , wobei das Suffix für eine der Seitigkeiten des ggT steht:
- und
- und analog
Und es gilt auch das beidseitige Lemma von Bézout, d. h., es gibt
wobei die als Nebenprodukte des resp. euklidischen Algorithmus anfallen (und auch aus der Funktion herausgeführt werden können, s. den Artikel Erweiterter euklidischer Algorithmus).
Automorphismen Bearbeiten
Als Automorphismus einer algebraischen Struktur gilt eine bijektive Abbildung , bei der alle algebraischen Verknüpfungen homomorph behandelt werden, d. h. bspw.
Der Primkörper des Schiefkörpers muss immer fest bleiben. Dagegen können die 3 imaginären Einheiten (die die Quaternionengruppe Q8 erzeugen) in eine jeweils andere überführt werden. Die Automorphismen von Q8 lassen sich alle zu Automorphismen von (eindeutig) fortsetzen. Die Untergruppen und von erben diese Automorphismen durch Einschränkung. Somit sind die Automorphismengruppen , und isomorph zu und zur Drehgruppe des Oktaeders, die wiederum zur symmetrischen Gruppe S4 isomorph ist.
Die Automorphismen lassen sich durch (für ) „innere“ Automorphismen realisieren:
Die Faktorgruppe hat 24 Elemente und ist damit isomorph zu den hier besprochenen Automorphismengruppen (und zur symmetrischen Gruppe S4).
Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist involutiv und (wie schon bei Q8) antihomomorph in der Multiplikation, d. h.
und wird deshalb als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet.
Assoziierte Elemente Bearbeiten
Der Begriff der zueinander assoziierten Elemente kann für nicht-kommutative Ringe etwas weiter gefasst werden: 2 Elemente und sind zueinander erweitert assoziiert, wenn es 2 Einheiten gibt mit . Zu einer Hurwitzquaternion gibt es höchstens 242/2 = 288 erweitert Assoziierte, da auf einer der beiden Seiten die ganze Gruppe auf der anderen nur die Faktorgruppe Modulo dem Zentrum durchlaufen werden muss. Die Assoziiertheit ist wie im kommutativen Fall eine Äquivalenzrelation.
Ist , so ist entweder oder (siehe Hurwitz-Gitter), d. h., zu jeder Hurwitzquaternion gibt es links (und genauso rechts) assoziierte Lipschitzquaternionen.
Die Konjugierte ist normalerweise nicht assoziiert.
Ideale Bearbeiten
Die Hurwitzquaternionen bilden eine Ordnung (im Sinn der Ringtheorie) in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten. Sie sind dort sogar eine Maximalordnung oder auch Ganzheitsring. Die Lipschitzquaternionen – als auf den ersten Blick näher liegende Kandidaten für das Konzept ganzer Quaternionen – stellen auch eine Ordnung dar, sind aber nicht maximal und haben keine Division mit kleinem Rest. Deshalb sind sie weniger geeignet für die Entwicklung einer Idealtheorie, die mit der algebraischen Zahlentheorie vergleichbar wäre. Adolf Hurwitz hat dies erkannt – ein großer Schritt in der Theorie der Maximalordnungen. Ein anderer war die Feststellung, dass sie – bei einem nicht-kommutativen Ring wie – nicht eindeutig sind (alle rein imaginären Einheitsquaternionen haben zum Quadrat), so dass man sich auf eine festlegen muss, wenn man das Konzept der algebraischen ganzen Zahl auf den Schiefkörper übertragen möchte.
Für mit , also , ist der Automorphismus von auch ein (äußerer) Automorphismus von . Das Linksideal