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Gruppenisomorphismus Ein ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet

Gruppenisomorphismus

Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

Definition Bearbeiten

Seien und zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus heißt Gruppenisomorphismus, falls eine inverse Abbildung besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus mit und gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus bijektiv ist.

Bildet der Gruppenisomorphismus von nach ab, sind also Definitionsbereich und Bildmenge gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Sein Bild ist die ganze Gruppe, d. h.:
  • Zu jedem Gruppenisomorphismus existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion .

Isomorphie von Gruppen Bearbeiten

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente (und eventuell der Bezeichnung der Gruppenoperation) und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

Beispiele Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 13.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 14.
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Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert Ein Gruppenisomorphismus der eine Gruppe auf sich selbst abbildet ist ein Gruppenautomorphismus Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesatzen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Isomorphie von Gruppen 4 Beispiele 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien G displaystyle left G ast right nbsp und H displaystyle left H star right nbsp zwei Gruppen Ein Gruppenhomomorphismus f G H displaystyle f colon G to H nbsp heisst Gruppenisomorphismus falls f displaystyle f nbsp eine inverse Abbildung besitzt das heisst falls es einen Gruppenhomomorphismus g H G displaystyle g colon H to G nbsp mit f g id H displaystyle f circ g operatorname id H nbsp und g f id G displaystyle g circ f operatorname id G nbsp gibt Aquivalent hierzu ist die Forderung dass der Gruppenhomomorphismus f displaystyle f nbsp bijektiv ist 1 Bildet der Gruppenisomorphismus von G displaystyle left G ast right nbsp nach G displaystyle left G ast right nbsp ab sind also Definitionsbereich und Bildmenge gleich so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus 2 Eigenschaften BearbeitenDa ein Gruppenisomorphismus injektiv ist besteht sein Kern nur aus dem neutralen Element Ker f e G displaystyle operatorname Ker left f right left e G right nbsp dd Sein Bild ist die ganze Gruppe d h im f H displaystyle operatorname im left f right H nbsp dd Zu jedem Gruppenisomorphismus f G H displaystyle f colon G to H nbsp existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion f 1 H G displaystyle f 1 colon H to G nbsp Isomorphie von Gruppen BearbeitenGruppen zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert nennt man isomorph zueinander sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und eventuell der Bezeichnung der Gruppenoperation und stimmen fur fast alle Zwecke uberein Es lasst sich leicht zeigen dass die Isomorphie von Gruppen eine Aquivalenzrelation bildet Beispiele BearbeitenFur jede Gruppe G ist die identische Abbildung id G G x x displaystyle operatorname id colon G to G x mapsto x nbsp ein Gruppenautomorphismus Die Exponentialfunktion exp R R gt 0 x e x displaystyle exp colon left mathbb R right to left mathbb R gt 0 cdot right x mapsto e x nbsp ist ein Gruppenisomorphismus Die Konjugation mit einem festen Element der Gruppe beschreibt einen Gruppenautomorphismus Siehe auch BearbeitenAutomorphismusEinzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag Berlin 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 S 13 Siegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag Berlin 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 S 14 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppenisomorphismus amp oldid 237295156