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Isomorphiesatz Die Isomorphiesätze sind zwei mathematische Sätze die Aussagen über Gruppen machen Sie lassen sich auch a

Isomorphiesatz

Die Isomorphiesätze sind zwei mathematische Sätze, die Aussagen über Gruppen machen. Sie lassen sich auch auf komplexere algebraische Strukturen übertragen und sind somit ein wichtiges Resultat der universellen Algebra. Die Isomorphiesätze sind eine direkte Folgerung aus dem Homomorphiesatz der entsprechenden algebraischen Struktur.

Manchmal wird der Homomorphiesatz als erster Isomorphiesatz bezeichnet. Die unten angegebenen Sätze heißen dann dementsprechend zweiter bzw. dritter Isomorphiesatz.

Gruppentheorie Bearbeiten

Erster Isomorphiesatz Bearbeiten

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in und eine Untergruppe von . Dann ist auch das Komplexprodukt eine Untergruppe von , ist ein Normalteiler in und die Gruppe ist ein Normalteiler in . Es gilt:

Dabei bezeichnet die Isomorphie von Gruppen.

Der Isomorphismus, der dabei üblicherweise gemeint ist, wird als kanonischer Isomorphismus bezeichnet. Er wird gemäß dem Homomorphiesatz von der surjektiven Abbildung

induziert, denn es gilt offenbar

Aus dem ersten Isomorphiesatz erhält man als Spezialfall die anschauliche Aussage, dass man genau dann mit "erweitern" darf, wenn .

Zweiter Isomorphiesatz Bearbeiten

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in und eine Untergruppe von , die Normalteiler in ist. Dann gilt:

In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben, einerseits induziert durch

andererseits durch

Anschaulich ausgedrückt besagt der zweite Isomorphiesatz, dass man "kürzen" darf.

Ringe Bearbeiten

In angepasster Form gelten die Isomorphiesätze auch für Ringe:

Erster Isomorphiesatz Bearbeiten

Es seien ein Ring, ein Ideal von und ein Unterring von . Dann ist die Summe ein Unterring von und der Schnitt ein Ideal von . Es gilt:

Dabei bezeichnet die Isomorphie von Ringen.

Zweiter Isomorphiesatz Bearbeiten

Es seien ein Ring, zwei Ideale von . Dann ist ein Ideal von . Es gilt:

Vektorräume, abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie Bearbeiten

Es seien

Dann gilt:

Auch hier steht das Symbol für die Isomorphie der entsprechenden algebraischen Strukturen bzw. Objekte in der jeweiligen Kategorie.

Die kanonischen Isomorphismen sind eindeutig dadurch bestimmt, dass sie mit den beiden kanonischen Pfeilen von bzw. kompatibel sind.

Eine weitreichende Verallgemeinerung der Isomorphiesätze liefert das Schlangenlemma.

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 1.2.
  • Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 9783827430113, Kapitel 4.6.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Isomorphiesatze sind zwei mathematische Satze die Aussagen uber Gruppen machen Sie lassen sich auch auf komplexere algebraische Strukturen ubertragen und sind somit ein wichtiges Resultat der universellen Algebra Die Isomorphiesatze sind eine direkte Folgerung aus dem Homomorphiesatz der entsprechenden algebraischen Struktur Manchmal wird der Homomorphiesatz als erster Isomorphiesatz bezeichnet Die unten angegebenen Satze heissen dann dementsprechend zweiter bzw dritter Isomorphiesatz Inhaltsverzeichnis 1 Gruppentheorie 1 1 Erster Isomorphiesatz 1 2 Zweiter Isomorphiesatz 2 Ringe 2 1 Erster Isomorphiesatz 2 2 Zweiter Isomorphiesatz 3 Vektorraume abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie 4 Literatur 5 WeblinksGruppentheorie BearbeitenErster Isomorphiesatz Bearbeiten Es seien G displaystyle G nbsp eine Gruppe N displaystyle N nbsp ein Normalteiler in G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp Dann ist auch das Komplexprodukt H N h n h H n N displaystyle HN hn mid h in H n in N nbsp eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp N displaystyle N nbsp ist ein Normalteiler in H N displaystyle HN nbsp und die Gruppe H N displaystyle H cap N nbsp ist ein Normalteiler in H displaystyle H nbsp Es gilt H H N H N N displaystyle H H cap N cong HN N nbsp Dabei bezeichnet displaystyle cong nbsp die Isomorphie von Gruppen Der Isomorphismus der dabei ublicherweise gemeint ist wird als kanonischer Isomorphismus bezeichnet Er wird gemass dem Homomorphiesatz von der surjektiven Abbildung f H H N N h h N displaystyle f colon H to HN N quad h mapsto hN nbsp induziert denn es gilt offenbar kern f a H a N N a H a N H N displaystyle operatorname kern left f right left a in H mid aN N right left a in H mid a in N right H cap N nbsp Aus dem ersten Isomorphiesatz erhalt man als Spezialfall die anschauliche Aussage dass man genau dann mit N displaystyle N nbsp erweitern darf wenn H N 0 displaystyle H cap N 0 nbsp Zweiter Isomorphiesatz Bearbeiten Es seien G displaystyle G nbsp eine Gruppe H displaystyle H nbsp ein Normalteiler in G displaystyle G nbsp und N displaystyle N nbsp eine Untergruppe von H displaystyle H nbsp die Normalteiler in G displaystyle G nbsp ist Dann gilt G N H N G H displaystyle G N H N cong G H nbsp In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben einerseits induziert durch G N G H g N g H displaystyle G N to G H quad gN mapsto gH nbsp andererseits durch G G N H N g g N H N displaystyle G to G N H N quad g mapsto gN H N nbsp Anschaulich ausgedruckt besagt der zweite Isomorphiesatz dass man N displaystyle N nbsp kurzen darf Ringe BearbeitenIn angepasster Form gelten die Isomorphiesatze auch fur Ringe Erster Isomorphiesatz Bearbeiten Es seien R displaystyle R nbsp ein Ring a displaystyle mathfrak a nbsp ein Ideal von R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp ein Unterring von R displaystyle R nbsp Dann ist die Summe S a s a s S a a displaystyle S mathfrak a s a mid s in S a in mathfrak a nbsp ein Unterring von R displaystyle R nbsp und der Schnitt S a displaystyle S cap mathfrak a nbsp ein Ideal von S displaystyle S nbsp Es gilt S S a S a a displaystyle S S cap mathfrak a cong S mathfrak a mathfrak a nbsp Dabei bezeichnet displaystyle cong nbsp die Isomorphie von Ringen Zweiter Isomorphiesatz Bearbeiten Es seien R displaystyle R nbsp ein Ring b a displaystyle mathfrak b subseteq mathfrak a nbsp zwei Ideale von R displaystyle R nbsp Dann ist a b a b a a displaystyle mathfrak a mathfrak b a mathfrak b mid a in mathfrak a nbsp ein Ideal von R b displaystyle R mathfrak b nbsp Es gilt R b a b R a displaystyle R mathfrak b mathfrak a mathfrak b cong R mathfrak a nbsp Vektorraume abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie BearbeitenEs seien M N Q P displaystyle M N subseteq Q subseteq P nbsp Vektorraume uber einem Korper oder abelsche Gruppen oder allgemeiner Moduln uber einem Ring oder ganz allgemein Objekte einer abelschen Kategorie Dann gilt M M N M N N displaystyle M M cap N cong M N N nbsp P N Q N P Q displaystyle P N Q N cong P Q nbsp Auch hier steht das Symbol displaystyle cong nbsp fur die Isomorphie der entsprechenden algebraischen Strukturen bzw Objekte in der jeweiligen Kategorie Die kanonischen Isomorphismen sind eindeutig dadurch bestimmt dass sie mit den beiden kanonischen Pfeilen von M displaystyle M nbsp bzw P displaystyle P nbsp kompatibel sind Eine weitreichende Verallgemeinerung der Isomorphiesatze liefert das Schlangenlemma Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 8 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 39566 6 Kapitel 1 2 Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra 3 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2013 ISBN 9783827430113 Kapitel 4 6 Weblinks Bearbeitenmatheplanet com Gruppenzwang IV Ausfuhrliche Erklarungen und Beweise der Isomorphiesatze Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Isomorphiesatz amp oldid 219587275