In der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik stellt das semidirekte Produkt auch halbdirektes Produkt oder verschranktes Produkt eine spezielle Methode dar mit der aus zwei gegebenen Gruppen eine neue Gruppe konstruiert werden kann Diese Konstruktion verallgemeinert das Konzept des direkten Produkts von Gruppen und ist selbst ein Spezialfall des Konzepts der Gruppenerweiterung zweier Gruppen Ist umgekehrt eine Gruppe mit zwei Untergruppen vorgegeben so lasst sich an den Eigenschaften der letzteren erkennen ob sie deren semidirektes Produkt ist Inhaltsverzeichnis 1 Ausseres semidirektes Produkt 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 2 Inneres semidirektes Produkt 2 1 Definition 2 2 Zerfallende kurze exakte Sequenz Splitting Lemma 3 Beispiele 3 1 Theorie endlicher Gruppen 3 2 Der Holomorph einer Gruppe 3 3 Anwendungsbeispiele in Transformationsgruppen 3 3 1 Euklidische Gruppe 3 3 2 Poincare Gruppe 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseAusseres semidirektes Produkt BearbeitenDefinition Bearbeiten Gegeben seien zwei Gruppen N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp sowie ein Homomorphismus 8 H Aut N displaystyle theta colon H to operatorname Aut N nbsp der Gruppe H displaystyle H nbsp in die Gruppe der Automorphismen von N displaystyle N nbsp Das kartesische Produkt G N H displaystyle G N times H nbsp der Mengen N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp ist die Menge aller Paare n h displaystyle n h nbsp mit n N displaystyle n in N nbsp und h H displaystyle h in H nbsp Es bildet mit der Verknupfung displaystyle diamond nbsp der Paare n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 8 h 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 diamond n 2 h 2 n 1 cdot theta h 1 n 2 h 1 cdot h 2 nbsp A eine Gruppe Beweis Die Ersetzungsregel n 1 h 1 n 3 h 3 n 1 8 h 1 n 3 h 1 h 3 displaystyle n 1 h 1 diamond n 3 h 3 to n 1 cdot theta h 1 n 3 h 1 cdot h 3 nbsp schafft die rechte Komponente des ersten Operanden beim Ergebnis in die rechte Komponente sowie die linke Komponente des zweiten Operanden in die linke In der Tat erfullt die mit dieser Verknupfung ausgestattete Menge N H displaystyle N times H nbsp die Gruppenaxiome Mit n h 8 h 1 n 1 h 1 displaystyle n prime h prime bigl theta h 1 n 1 h 1 bigr nbsp ist das Inverse gefunden denn n h n h n h 8 h 1 n 1 h 1 n 8 h 8 h 1 n 1 h h 1 n 8 h 8 h 1 n 1 h h 1 n 8 1 H n 1 1 H n id Aut N n 1 1 H n n 1 1 H 1 N 1 H displaystyle begin array llrlll amp n amp h diamond amp amp n prime amp h prime amp n amp h diamond amp bigl theta h 1 amp n 1 amp h 1 bigr amp bigl n cdot amp theta h bigl amp theta h 1 amp n 1 bigr h cdot amp h 1 bigr amp bigl n cdot amp bigl theta h circ amp theta h 1 bigr amp n 1 amp h cdot h 1 bigr amp n cdot amp theta 1 H amp amp n 1 amp 1 H amp n cdot amp operatorname id operatorname Aut N amp amp n 1 amp 1 H amp n cdot amp amp amp n 1 amp 1 H amp 1 N amp amp amp amp 1 H end array nbsp Das Assoziativgesetz ergibt sich wie folgt n 1 h 1 n 2 h 2 n 3 h 3 n 1 8 h 1 n 2 h 1 h 2 n 3 h 3 n 1 8 h 1 n 2 8 h 1 h 2 n 3 h 1 h 2 h 3 n 1 8 h 1 n 2 8 h 1 8 h 2 n 3 h 1 h 2 h 3 n 1 8 h 1 n 2 8 h 1 8 h 2 n 3 h 1 h 2 h 3 n 1 8 h 1 n 2 8 h 2 n 3 h 1 h 2 h 3 n 1 h 1 n 2 8 h 2 n 3 h 2 h 3 n 1 h 1 n 2 h 2 n 3 h 3 displaystyle begin array llrlrlr amp n 1 amp h 1 diamond amp n 2 amp h 2 diamond amp n 3 amp h 3 amp n 1 cdot amp theta h 1 amp n 2 h 1 cdot amp h 2 diamond amp n 3 amp h 3 amp n 1 cdot amp theta h 1 amp n 2 cdot amp theta h 1 cdot h 2 amp n 3 h 1 cdot h 2 cdot amp h 3 amp n 1 cdot amp theta h 1 amp n 2 cdot amp theta h 1 circ theta h 2 amp n 3 h 1 cdot amp h 2 cdot h 3 amp n 1 cdot amp theta h 1 amp n 2 cdot amp theta h 1 bigl theta h 2 amp n 3 bigr h 1 cdot amp h 2 cdot h 3 amp n 1 cdot amp theta h 1 amp bigl n 2 cdot amp theta h 2 amp n 3 bigr h 1 cdot amp h 2 cdot h 3 amp n 1 amp h 1 diamond amp n 2 cdot amp theta h 2 amp n 3 h 2 cdot amp h 3 amp n 1 amp h 1 diamond amp n 2 amp h 2 diamond amp n 3 amp h 3 end array nbsp Diese Gruppe wird externes semidirektes Produkt von N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp mittels 8 displaystyle theta nbsp genannt und als N 8 H displaystyle N rtimes theta H nbsp notiert da der vermittelnde Homomorphismus 8 displaystyle theta nbsp die Struktur dieser Gruppe wesentlich mitbestimmt Beispielsweise erhalt man das direkte Produkt N H displaystyle N times H nbsp wenn man 8 displaystyle theta nbsp trivial wahlt also 8 h id N Aut N displaystyle theta h operatorname id N in operatorname Aut N nbsp fur alle h H displaystyle h in H nbsp Anders als beim direkten Produkt spielen in dieser Definition die beiden konstituierenden Faktoren unterschiedliche Rollen beim Aufbau des Produkts Durch 8 displaystyle theta nbsp operiert die Gruppe H displaystyle H nbsp auf N displaystyle N nbsp nicht umgekehrt Genauer Die Regel A macht mit einem 8 H Aut N displaystyle theta colon H to operatorname Aut N nbsp den Faktor N displaystyle N nbsp zum Normalteiler Gibt es verschiedene Homomorphismen 8 displaystyle theta nbsp dann sind bei gleichen Faktoren normalerweise die semidirekten Produkte verschieden d h nicht isomorph Wahrend beim direkten Produkt beim Vertauschen der Faktoren zwar nicht dieselbe aber eine isomorphe Struktur entsteht fehlt beim Vertauschen im semidirekten Produkt die Gruppenoperation von N displaystyle N nbsp auf H displaystyle H nbsp Aus ahnlichen Grunden ist eine Erweiterung auf mehr als zwei Faktoren kaum sinnvoll und in der Literatur nicht ublich Pointiert wenn auch ungenau formuliert Das semidirekte Produkt ist assoziativ aber nicht kommutativ Eigenschaften Bearbeiten Das direkte Produkt N H displaystyle N times H nbsp das sich zu beliebigen Gruppen N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp konstruieren lasst ist ein semidirektes Produkt mit trivialem 8 displaystyle theta nbsp Ist aus zwei beliebigen Gruppen N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp und einem 8 H Aut N displaystyle theta colon H to operatorname Aut N nbsp das aussere semidirekte Produkt G N 8 H displaystyle G N rtimes theta H nbsp gebildet worden dann enthalt die Gruppe G displaystyle G nbsp mit N N 1 H displaystyle N prime N times 1 H nbsp einen zu N displaystyle N nbsp isomorphen Normalteiler und mit H 1 N H displaystyle H prime 1 N times H nbsp eine zu H displaystyle H nbsp isomorphe Untergruppe und kann als inneres semidirektes Produkt von N displaystyle N prime nbsp und H displaystyle H prime nbsp aufgefasst werden Die Gruppe N 8 H displaystyle N rtimes theta H nbsp ist genau dann abelsch wenn N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp abelsch sind und 8 displaystyle theta nbsp trivial ist Inneres semidirektes Produkt BearbeitenGegeben sei eine Gruppe G displaystyle G nbsp ein Normalteiler N G displaystyle N vartriangleleft G nbsp und eine Untergruppe H lt G displaystyle H lt G nbsp dann sind die folgenden Bedingungen aquivalent G displaystyle G nbsp ist das Komplexprodukt G N H displaystyle G NH nbsp und die Untergruppen haben trivialen Durchschnitt N H 1 G displaystyle N cap H 1 G nbsp Zu jedem g G displaystyle g in G nbsp gibt es eindeutige n N displaystyle n in N nbsp und h H displaystyle h in H nbsp mit g n h displaystyle g nh nbsp Zu jedem g G displaystyle g in G nbsp gibt es eindeutige n N displaystyle n in N nbsp und h H displaystyle h in H nbsp mit g h n displaystyle g hn nbsp Es gibt einen Homomorphismus G H displaystyle G to H nbsp der H displaystyle H nbsp elementweise fixiert und dessen Kern N displaystyle N nbsp ist Die Hintereinanderausfuhrung v r displaystyle v circ r nbsp der Einbettung r H G displaystyle r colon H to G nbsp und der kanonischen Abbildung v G G N displaystyle v colon G to G N nbsp ist ein Isomorphismus H G N displaystyle H cong G N nbsp Definition Bearbeiten Ist eine dieser Bedingungen erfullt dann ist G displaystyle G nbsp das interne semidirekte Produkt von N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp in Zeichen N H displaystyle N rtimes H nbsp Die Komponenten N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp spielen unterschiedliche Rollen und sind im Allgemeinen nicht vertauschbar Der Normalteiler steht immer auf der offenen Seite des Zeichens displaystyle rtimes nbsp meist wird er zuerst notiert Zerfallende kurze exakte Sequenz Splitting Lemma Bearbeiten Die letzten beiden der obigen Bedingungen sind andere Formulierungen des Zerfallungs Lemmas Eine Gruppe G displaystyle G nbsp ist genau dann isomorph zum semidirekten Produkt zweier Gruppen N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp wenn es eine kurze exakte Sequenz gibt1 N u G v H 1 displaystyle 1 longrightarrow N xrightarrow u G xrightarrow v H longrightarrow 1 nbsp dd sowie einen Homomorphismus r H G displaystyle r colon H to G nbsp so dass v r id H displaystyle v circ r operatorname id H nbsp die Identitat auf H displaystyle H nbsp ist Man sagt die exakte Sequenz zerfallt oder G displaystyle G nbsp zerfallt in der kurzen exakten Sequenz oder G displaystyle G nbsp zerfallt uber N displaystyle N nbsp Der das semidirekte Produkt N 8 H displaystyle N rtimes theta H nbsp vermittelnde Homomorphismus 8 H Aut N displaystyle theta colon H to operatorname Aut N nbsp ist 8 h n u 1 r h u n r h 1 displaystyle theta h n u 1 left r h cdot u n cdot r bigl h 1 bigr right nbsp Wegen der Normalteilereigenschaft von u N displaystyle u N nbsp ist n g u n g 1 u N displaystyle n prime g cdot u n cdot g 1 in u N nbsp fur alle g G displaystyle g in G nbsp so dass u 1 n displaystyle u 1 n prime nbsp stets definiert ist Das Lemma ist ein Kriterium fur Semidirektheit sowohl im internen wie im externen Fall bei dem N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp nicht Untergruppen sind Beispiele BearbeitenIn der Liste kleiner Gruppen ist als nicht kommutative Gruppe der Ordnung 16 das semidirekte Produkt C 4 C 4 displaystyle C 4 rtimes C 4 nbsp ohne Angabe eines vermittelnden Homomorphismus 8 displaystyle theta nbsp aufgefuhrt Nun besteht die Automorphismengruppe Aut C 4 a a a a 1 3 displaystyle operatorname Aut C 4 bigl a mapsto alpha a big alpha in 1 3 bigr nbsp aus 2 Elementen die den primen Restklassen in C 4 displaystyle C 4 nbsp entsprechen Das triviale 8 a 1 a displaystyle theta a 1 a nbsp mit a 0 1 2 3 displaystyle a in 0 1 2 3 nbsp vermittelt als semidirektes Produkt die kommutative Gruppe C 4 C 4 displaystyle C 4 times C 4 nbsp Das nicht kommutative semidirekte Produkt wird von 8 a 3 a displaystyle theta a 3 a nbsp vermittelt Es bestehen dann folgende Formeln wobei alle Angaben in Z 4 Z displaystyle mathbb Z 4 mathbb Z nbsp d h modulo 4 zu verstehen sind a b c d a 3 b c b d a b c d 0 1 2 3 displaystyle a b diamond c d a 3 b c b d qquad a b c d in 0 1 2 3 nbsp 0 0 displaystyle 0 0 nbsp ist das neutrale Element a b 1 3 b a b a b 0 1 2 3 displaystyle a b 1 3 b a b qquad a b in 0 1 2 3 nbsp dd Insbesondere ist a 1 b 1 a 3 b 2 displaystyle a 1 diamond b 1 a 3b 2 nbsp woran man erkennt dass die Gruppe nicht kommutativ ist Es gibt 4 nicht isomorphe Gruppen die semidirektes Produkt der zyklischen Gruppen C 8 Z 8 Z displaystyle C 8 mathbb Z 8 mathbb Z nbsp und C 2 Z 2 Z displaystyle C 2 mathbb Z 2 mathbb Z nbsp sind Diese semidirekten Produkte entsprechen den 4 Automorphismen des Restklassenrings Z 8 Z displaystyle mathbb Z 8 mathbb Z nbsp die wiederum den primen Restklassen 1 3 5 7 Z 8 Z displaystyle 1 3 5 7 in mathbb Z 8 mathbb Z times nbsp entsprechen Das direkte Produkt C 8 C 2 displaystyle C 8 times C 2 nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp Die Quasi Diedergruppe der Ordnung 16 a 3 displaystyle alpha 3 nbsp Die nicht hamiltonsche nichtabelsche Gruppe der Ordnung 16 engl Iwasawa Gruppe a 5 displaystyle alpha 5 nbsp Die Diedergruppe der Ordnung 16 a 7 displaystyle alpha 7 nbsp Die Einheitengruppe Q 24 3 H 3 1 displaystyle Q 24 left xi in H mid xi 1 right nbsp der Hurwitzquaternionen H displaystyle H nbsp ist semidirektes Produkt Q 8 Q 3 displaystyle mathsf Q 8 rtimes Q 3 nbsp der nicht kommutativen Quaternionengruppe Q 8 1 i j k displaystyle mathsf Q 8 left pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k right nbsp und der zyklischen Gruppe Q 3 1 e 2 e 4 displaystyle Q 3 1 varepsilon 2 varepsilon 4 nbsp mit e 1 2 1 i j k displaystyle varepsilon tfrac 1 2 1 mathrm i mathrm j mathrm k nbsp Die Gruppe der Automorphismen Aut g displaystyle operatorname Aut mathfrak g nbsp einer komplexen oder reellen einfachen Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp ist das semidirekte Produkt der Gruppe der inneren Automorphismen Inn g Aut g 0 displaystyle operatorname Inn mathfrak g operatorname Aut mathfrak g 0 nbsp mit der Gruppe der ausseren Automorphismen Out g Aut g Aut g 0 displaystyle operatorname Out mathfrak g operatorname Aut mathfrak g operatorname Aut mathfrak g 0 nbsp das heisst die folgende kurze exakte Sequenz zerfallt 1 Aut g 0 Aut g Aut g Aut g 0 1 displaystyle 1 rightarrow operatorname Aut mathfrak g 0 rightarrow operatorname Aut mathfrak g rightarrow operatorname Aut mathfrak g operatorname Aut mathfrak g 0 rightarrow 1 nbsp 1 Theorie endlicher Gruppen Bearbeiten Die Diedergruppe D n displaystyle D n nbsp also die Symmetriegruppe eines ebenen regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks ist isomorph zum semidirekten Produkt der zyklischen Drehsymmetriegruppe N C n displaystyle N cong C n nbsp die durch eine zyklische Vertauschung der Ecken des Vielecks beschrieben werden kann mit einer zweielementigen zyklischen Gruppe H s C 2 displaystyle H langle sigma rangle cong C 2 nbsp Das Element s displaystyle sigma nbsp operiert dabei durch8 s N N g g 1 displaystyle theta sigma colon quad N to N quad g mapsto g 1 nbsp dd auf N displaystyle N nbsp d h die Konjugation mit s entspricht der Inversenbildung in N displaystyle N nbsp Das Element s displaystyle sigma nbsp kann als Spiegelung des Vielecks an einer seiner Symmetrieachsen aufgefasst werden Fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp ist die Symmetrische Gruppe S n displaystyle S n nbsp isomorph zu einem semidirekten Produkt ihres Normalteilers N A n displaystyle N A n nbsp der alternierenden Gruppe und einer zweielementigen zyklischen Gruppe H t j k C 2 displaystyle H langle tau jk rangle cong C 2 nbsp Das Element t t j k displaystyle tau tau jk nbsp operiert auf N displaystyle N nbsp indem in der Permutationsdarstellung von a N A n displaystyle alpha in N A n nbsp die Zahlen j displaystyle j nbsp und k displaystyle k nbsp vertauscht werden 1 j lt k n displaystyle 1 leq j lt k leq n nbsp Als inneres semidirektes Produkt aufgefasst Fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp ist die Symmetrische Gruppe S n displaystyle S n nbsp ein semidirektes Produkt ihres Normalteiler A n displaystyle A n nbsp mit ihrer durch eine beliebige Transposition t S n displaystyle tau in S n nbsp erzeugten Untergruppe t displaystyle langle tau rangle nbsp Der Satz von Schur Zassenhaus ist ein Kriterium wann man eine endliche Gruppe als ein semidirektes Produkt schreiben kann Der Holomorph einer Gruppe Bearbeiten Verwendet man speziell den Homomorphismus 8 id Aut G Aut G Aut G displaystyle theta operatorname id operatorname Aut G operatorname Aut G rightarrow operatorname Aut G nbsp als vermittelnden so erhalt man als semidirektes Produkt G 8 Aut G displaystyle G rtimes theta operatorname Aut G nbsp den Holomorph von G displaystyle G nbsp Anwendungsbeispiele in Transformationsgruppen Bearbeiten Wichtige Beispiele semidirekter Produkte sind Euklidische Gruppe Bearbeiten Ein Beispiel ist die euklidische Gruppe E n R n O n displaystyle operatorname E n mathbb R n rtimes operatorname O n nbsp Jede orthogonale Matrix R O n displaystyle R in operatorname O n nbsp beschreibt einen Automorphismus im Raum der Translationen T R n displaystyle T in mathbb R n nbsp durch 8 R R n R n T R T displaystyle begin aligned theta R amp mathbb R n to amp mathbb R n amp T mapsto amp R cdot T end aligned nbsp Eine Bewegung T R E n displaystyle T R in operatorname E n nbsp operiert auf Punkten p R n displaystyle p in mathbb R n nbsp durch T R p T R p displaystyle T R p T R cdot p nbsp und es gilt T 1 R 1 T 2 R 2 p T 1 R 1 T 2 R 2 p T 1 R 1 T 2 R 1 R 2 p displaystyle T 1 R 1 T 2 R 2 p T 1 R 1 T 2 R 2 p T 1 R 1 cdot T 2 R 1 cdot R 2 p nbsp Somit gilt fur Produkte in E n displaystyle operatorname E n nbsp T 1 R 1 T 2 R 2 T 1 8 R 1 T 2 R 1 R 2 displaystyle T 1 R 1 diamond T 2 R 2 T 1 theta R 1 T 2 R 1 cdot R 2 nbsp Dieses Produkt ist nicht abelsch denn es gilt fur R 1 displaystyle R neq mathbf 1 nbsp und T 0 displaystyle T neq mathbf 0 nbsp T 1 0 R T R 0 R T 1 R T R displaystyle begin aligned amp T mathbf 1 diamond mathbf 0 R amp T R neq amp mathbf 0 R diamond T mathbf 1 amp RT R end aligned nbsp Poincare Gruppe Bearbeiten Die Poincare Gruppe ist das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen N R 3 1 displaystyle N mathbb R 3 1 nbsp und der Gruppe der Lorentztransformationen H O 3 1 displaystyle H O 3 1 nbsp Das Element T a displaystyle T a nbsp aus N displaystyle N nbsp bezeichne eine Verschiebung mit dem Vektor a R 3 1 displaystyle a in mathbb R 3 1 nbsp Der Homomorphismus 8 displaystyle theta nbsp ist dann durch 8 L T a T L a displaystyle theta L T a T La nbsp fur jede Lorentztransformation L displaystyle L nbsp und jeden Vektor a displaystyle a nbsp gegeben Die Poincare Gruppe ist besonders wichtig fur die spezielle Relativitatstheorie wo sie als Invarianzgruppe auftaucht Siehe auch BearbeitenAffine Gruppe Semidirekte SummeLiteratur BearbeitenThomas W Hungerford Algebra 5 Springer Verlag 1989 ISBN 0 387 90518 9Weblinks BearbeitenRudolf Scharlau Algebra I 2 6 Erganzungen und Beispiele Semidirekte ProdukteEinzelnachweise Bearbeiten JLT 20035 Abgerufen am 13 Dezember 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Semidirektes Produkt amp oldid 228181072
