Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie Algebren Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Bemerkungen 3 Erweiterungen 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenEs seien a displaystyle mathfrak a nbsp und b displaystyle mathfrak b nbsp Lie Algebren p a E n d b displaystyle pi mathfrak a rightarrow rm End mathfrak b nbsp sei eine Darstellung das heisst p displaystyle pi nbsp ist linear und fur alle a 1 a 2 a displaystyle a 1 a 2 in mathfrak a nbsp gilt p a 1 a 2 p a 1 p a 2 p a 2 p a 1 displaystyle pi a 1 a 2 pi a 1 pi a 2 pi a 2 pi a 1 nbsp p a displaystyle pi a nbsp ist fur jedes a a displaystyle a in mathfrak a nbsp eine Derivation auf b displaystyle mathfrak b nbsp Dann gibt es auf der direkten Summe a b displaystyle mathfrak a oplus mathfrak b nbsp der Vektorraume genau eine Klammer displaystyle cdot cdot nbsp so dass Folgendes gilt a b displaystyle mathfrak a oplus mathfrak b nbsp ist mit displaystyle cdot cdot nbsp eine Lie Algebra Die Einschrankung der Klammer auf a displaystyle mathfrak a nbsp und b displaystyle mathfrak b nbsp stimmt mit den dort gegebenen Klammern uberein Fur alle a a displaystyle a in mathfrak a nbsp und b b displaystyle b in mathfrak b nbsp gilt a b p a b displaystyle a b pi a b nbsp Dabei werden a displaystyle mathfrak a nbsp und b displaystyle mathfrak b nbsp als Unterraume der direkten Summe aufgefasst Die Klammer auf a b displaystyle mathfrak a oplus mathfrak b nbsp lautet a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 p a 1 b 2 p a 2 b 1 a 1 a 2 a b 1 b 2 b displaystyle a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 pi a 1 b 2 pi a 2 b 1 quad a 1 a 2 in mathfrak a b 1 b 2 in mathfrak b nbsp Man rechnet nach dass durch diese Definition eine Lie Algebra gegeben ist Diese wird mit a p b displaystyle mathfrak a ltimes pi mathfrak b nbsp bezeichnet und heisst die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus a displaystyle mathfrak a nbsp und b displaystyle mathfrak b nbsp Wenn es bezuglich der Darstellung p displaystyle pi nbsp keine Missverstandnisse geben kann so lasst man sie weg und schreibt einfach a b displaystyle mathfrak a ltimes mathfrak b nbsp 1 2 Bemerkungen BearbeitenIn obiger Konstruktion ist a displaystyle mathfrak a nbsp eine Lie Unteralgebra der semidirekten Summe und b displaystyle mathfrak b nbsp sogar ein Ideal das heisst a b b b displaystyle mathfrak a ltimes mathfrak b mathfrak b subset mathfrak b nbsp Ist p 0 displaystyle pi 0 nbsp so liegt die direkte Summe der Lie Algebren vor Seien g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra uber dem Korper K displaystyle K nbsp und d displaystyle d nbsp eine Derivation auf g displaystyle mathfrak g nbsp Dann ist K d E n d g displaystyle Kd subset rm End mathfrak g nbsp eine Darstellung und man kann K d g displaystyle Kd ltimes mathfrak g nbsp bilden Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation d displaystyle d nbsp Erweiterungen BearbeitenIst i b a b b 0 b displaystyle iota mathfrak b rightarrow mathfrak a ltimes mathfrak b b mapsto 0 b nbsp und q a b a a b a displaystyle q mathfrak a ltimes mathfrak b rightarrow mathfrak a a b mapsto a nbsp so erhalt man eine kurze exakte Sequenz aus Lie Algebren und Lie Algebren Homomorphismen 0 b i a b q a 0 displaystyle 0 rightarrow mathfrak b xrightarrow iota mathfrak a ltimes mathfrak b xrightarrow q mathfrak a rightarrow 0 nbsp Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen 0 b c q a 0 displaystyle 0 rightarrow mathfrak b rightarrow mathfrak c xrightarrow q mathfrak a rightarrow 0 nbsp bzw die darin vorkommende Lie Algebra c displaystyle mathfrak c nbsp eine Erweiterung von a displaystyle mathfrak a nbsp nach b displaystyle mathfrak b nbsp manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise und eine solche Erweiterung heisst zerfallend wenn es einen Lie Algebren Homomorphismus ps a c displaystyle psi mathfrak a rightarrow mathfrak c nbsp gibt mit q ps i d a displaystyle q circ psi mathrm id mathfrak a nbsp Demnach ist a b displaystyle mathfrak a ltimes mathfrak b nbsp eine solche zerfallende Erweiterung denn der Homomorphismus a a b a a 0 displaystyle mathfrak a rightarrow mathfrak a ltimes mathfrak b a mapsto a 0 nbsp leistet das Verlangte Schliesslich heissen zwei Erweiterungen c 1 displaystyle mathfrak c 1 nbsp und c 2 displaystyle mathfrak c 2 nbsp aquivalent wenn es einen Isomorphismus f c 1 c 2 displaystyle varphi mathfrak c 1 rightarrow mathfrak c 2 nbsp gibt der das Diagramm 0 b c 1 a 0 g 0 b c 2 a 0 displaystyle begin array ccccccc 0 rightarrow amp mathfrak b amp rightarrow amp mathfrak c 1 amp rightarrow amp mathfrak a amp rightarrow 0 amp parallel amp amp downarrow gamma amp amp parallel 0 rightarrow amp mathfrak b amp rightarrow amp mathfrak c 2 amp rightarrow amp mathfrak a amp rightarrow 0 end array nbsp kommutativ macht Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren 3 Eine Erweiterung 0 b c a 0 displaystyle 0 rightarrow mathfrak b rightarrow mathfrak c rightarrow mathfrak a rightarrow 0 nbsp von Lie Algebren ist genau dann zerfallend wenn sie aquivalent zur semidirekten Summe 0 b i a b q a 0 displaystyle 0 rightarrow mathfrak b xrightarrow iota mathfrak a ltimes mathfrak b xrightarrow q mathfrak a rightarrow 0 nbsp ist Siehe auch BearbeitenAffine Lie Algebra Virasoro AlgebraEinzelnachweise Bearbeiten Anthony W Knapp Lie Groups Beyond an Introduction Birkhauser 2002 ISBN 0817642595 Kap I 4 Semidirect products of Lie Algebras Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 II 1 13 Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 II 4 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Semidirekte Summe amp oldid 178062824
