Die Virasoro-Algebra ist eine unendlichdimensionale Lie-Algebra und gehört damit in den Bereich der Mathematik. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, insbesondere in der Stringtheorie und in der konformen Feldtheorie. Dort wird sie als Algebra über den komplexen Zahlen behandelt, anstelle der komplexen Zahlen sind aber auch beliebige Körper der Charakteristik 0 verwendbar. Sie wurde 1970 von Miguel Virasoro im Rahmen der Stringtheorie eingeführt. In der Mathematik spielt sie eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der Monstergruppe.
Konstruktion Bearbeiten
Ausgangspunkt ist die Witt-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 (zum Beispiel ), die von Elementen mit den Kommutatorrelationen erzeugt werde. Eine Virasoro-Algebra ist definiert als zentrale Erweiterung dieser Witt-Algebra. Das heißt, es gibt eine kurze exakte Sequenz von Lie-Algebren
Hierbei ist ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in enthalten denken kann. Dabei soll im Zentrum von liegen, man bezeichnet manchmal auch als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra. Die Virasoro-Algebra wird dann von und Elementen , die Urbilder der sind, erzeugt. Für die Kommutatorrelationen hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine zweckmäßige Wahl ist
Dabei steht für das Kronecker-Delta, und da im Zentrum von V ist, gilt für alle . Man nennt den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als mit wählen. Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass für verschwindet und daher in obiger Sequenz isomorph auf abgebildet wird, wobei letzteres eine zur sl(2,K) isomorphe Lie-Algebra ist. Der Faktor ist lediglich eine bequeme Konvention.
Äquivalenzen Bearbeiten
Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra und heißen äquivalent, wenn es einen Lie-Algebren-Isomorphismus gibt mit und gibt.
Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung gibt, die nicht äquivalent zu einer semidirekten Summe ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.
Quellen Bearbeiten
- Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5