www.wikidata.de-de.nina.az

Zentrale Erweiterung In der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik sind zentrale Erweiterungen eine Möglichkeit

Zentrale Erweiterung

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind zentrale Erweiterungen eine Möglichkeit, Gruppen durch eine zentrale Untergruppe und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben. Eine analoge Begriffsbildung findet sich auch in anderen Gebieten der Mathematik. Hier wird zunächst die Gruppentheorie behandelt und dann auf andere Gebiete hingewiesen.

Definitionen Bearbeiten

Sei eine beliebige Gruppe und eine abelsche Gruppe. Eine zentrale Erweiterung von durch besteht aus einer Gruppe und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus mit Kern isomorph zu . Mit anderen Worten, es gibt eine exakte Sequenz

mit , d. h. ist zentral in . Dabei wird als Inklusion aufgefasst, was man dadurch rechtfertigt, dass man durch sein isomorphes Bild in ersetzen kann.

Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen derselben Gruppe ist ein Gruppenhomomorphismus mit .  

Beispiele Bearbeiten

Klassifikation zentraler Erweiterungen durch Gruppenkohomologie Bearbeiten

Als Parametrisierung einer zentralen Erweiterung bezeichnet man einen Isomorphismus . Die Isomorphismenklassen parametrisierter zentraler Erweiterungen bilden mit der Baer-Summe eine abelsche Gruppe, die als bezeichnet wird. Die triviale Erweiterung ist das neutrale Element dieser Gruppe. Das inverse Element einer parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit der entgegengesetzten Parametrisierung .

Man hat einen Isomorphismus

zur zweiten Gruppenkohomologie. Dieser ordnet einer parametrisierten zentralen Erweiterung die Klasse des mit Hilfe einer die Bedingung erfüllenden (nicht notwendig homomorphen) Abbildung durch

festgelegten Abbildung zu. Diese ist ein Kozykel und ihre Kohomologieklasse hängt nicht von der Wahl von ab. Umgekehrt kann man einen Kozykel innerhalb seiner Kohomologieklasse so normieren, dass wenn oder . Dann definiert man auf die Operation und erhält die der Kohomologieklasse von entsprechende zentrale Erweiterung.

Zentrale Erweiterungen in anderen Gebieten Bearbeiten

Den Begriff der zentralen Erweiterung kann man auch in anderen Gebiete der Mathematik betrachten, wenn man dort über kurze exakte Sequenzen und einem Zentrum sprechen kann, zum Beispiel in der Theorie der Algebren oder Lie-Algebren. Genau wie oben heißt eine kurze exakte Sequenz

eine zentrale Erweiterung von , wenn das injektive Bild von im Zentrum von liegt. So ist zum Beispiel in der Theorie der Lie-Algebren die Virasoro-Algebra als zentrale Erweiterung der Witt-Algebra definiert.

Literatur Bearbeiten

  • M. Kervaire: Multiplicateurs der Schur et K-theorie, S. 212–225 in: Essays on Topology and Related Topics (Memoires dedies a Georges de Rham), Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970
  • J. Milnor: Introduction to Algebraic K-Theory, Annals of Mathematical Studies 72, Princeton University Press, Princeton, 1971
  • J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik sind zentrale Erweiterungen eine Moglichkeit Gruppen durch eine zentrale Untergruppe und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben Eine analoge Begriffsbildung findet sich auch in anderen Gebieten der Mathematik Hier wird zunachst die Gruppentheorie behandelt und dann auf andere Gebiete hingewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Klassifikation zentraler Erweiterungen durch Gruppenkohomologie 4 Zentrale Erweiterungen in anderen Gebieten 5 LiteraturDefinitionen BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine beliebige Gruppe und A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe Eine zentrale Erweiterung von G displaystyle G nbsp durch A displaystyle A nbsp besteht aus einer Gruppe E displaystyle E nbsp und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus f E G displaystyle varphi colon E to G nbsp mit Kern isomorph zu A displaystyle A nbsp Mit anderen Worten es gibt eine exakte Sequenz 0 A E G 1 displaystyle 0 to A to E to G to 1 nbsp mit A Z E displaystyle A subset Z E nbsp d h A displaystyle A nbsp ist zentral in E displaystyle E nbsp Dabei wird 0 A E displaystyle 0 to A to E nbsp als Inklusion A E displaystyle A subset E nbsp aufgefasst was man dadurch rechtfertigt dass man A displaystyle A nbsp durch sein isomorphes Bild in E displaystyle E nbsp ersetzen kann Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen f E G f E G displaystyle varphi colon E to G varphi prime colon E prime to G nbsp derselben Gruppe G displaystyle G nbsp ist ein Gruppenhomomorphismus ps E E displaystyle psi colon E to E prime nbsp mit f ps f displaystyle varphi prime psi varphi nbsp 0 A E f G 1 ps 0 A E f G 1 displaystyle begin array ccccccccc 0 amp to amp A amp to amp E amp stackrel varphi to amp G amp to amp 1 amp amp parallel amp amp downarrow psi amp amp parallel 0 amp to amp A amp to amp E amp stackrel varphi to amp G amp to amp 1 end array nbsp Beispiele BearbeitenAls triviale Erweiterung durch A displaystyle A nbsp bezeichnet man die Projektion G A G displaystyle G times A to G nbsp Sei k Z 2 displaystyle k in mathbb Z geq 2 nbsp Eine nichttriviale Erweiterung von C z C z 0 displaystyle mathbb C left z in mathbb C colon vert z vert not 0 right nbsp ist E S 1 displaystyle E S 1 nbsp und f z z k displaystyle varphi z z k nbsp Nichttrivialitat bedeutet hier dass es keine auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp definierte k displaystyle k nbsp te Wurzelfunktion gibt Der Kern A displaystyle A nbsp besteht aus den k displaystyle k nbsp ten Einheitswurzeln und ist isomorph zu Z k Z displaystyle mathbb Z k mathbb Z nbsp Fur eine zusammenhangende Lie Gruppe G displaystyle G nbsp ist ihre universelle Uberlagerung G displaystyle widetilde G nbsp eine zentrale Erweiterung durch die Fundamentalgruppe p 1 G displaystyle pi 1 G nbsp Zum Beispiel ist die Spin Gruppe S p i n n displaystyle Spin n nbsp eine zentrale Erweiterung der speziellen orthogonalen Gruppe S O n displaystyle SO n nbsp und die metaplektische Gruppe M p 2 n R displaystyle Mp 2n R nbsp ist eine zentrale Erweiterung der symplektischen Gruppe S p 2 n R displaystyle Sp 2n R nbsp Fur einen Hilbert Raum H displaystyle H nbsp und seinen projektiven Raum P H displaystyle P H nbsp ist die unitare Gruppe U H displaystyle U H nbsp eine zentrale Erweiterung der Gruppe der unitaren projektiven Transformationen U P H displaystyle U P H nbsp durch U 1 displaystyle U 1 nbsp Selbst fur abelsche Gruppen H displaystyle H nbsp ist ein semidirektes Produkt G H displaystyle G ltimes H nbsp nur dann eine zentrale Erweiterung wenn es das direkte Produkt G H displaystyle G times H nbsp ist es sich also um die triviale Erweiterung handelt Zum Beispiel ist die Gruppe der affinen Abbildungen A f f R n displaystyle Aff R n nbsp ein semidirektes Produkt G L n R R n displaystyle GL n mathbb R ltimes mathbb R n nbsp aber keine zentrale Erweiterung von G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp Klassifikation zentraler Erweiterungen durch Gruppenkohomologie BearbeitenAls Parametrisierung einer zentralen Erweiterung bezeichnet man einen Isomorphismus i A K e r f displaystyle iota colon A to Ker varphi nbsp Die Isomorphismenklassen parametrisierter zentraler Erweiterungen bilden mit der Baer Summe eine abelsche Gruppe die als E x t G A displaystyle Ext G A nbsp bezeichnet wird Die triviale Erweiterung ist das neutrale Element dieser Gruppe Das inverse Element einer parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit der entgegengesetzten Parametrisierung i displaystyle iota nbsp Man hat einen Isomorphismus E x t G A H 2 G A displaystyle Ext G A simeq H 2 G A nbsp zur zweiten Gruppenkohomologie Dieser ordnet einer parametrisierten zentralen Erweiterung die Klasse des mit Hilfe einer die Bedingung f s i d G displaystyle varphi s id G nbsp erfullenden nicht notwendig homomorphen Abbildung durch s g h i f g h s g s h displaystyle s gh iota f g h s g s h nbsp festgelegten Abbildung f G G R displaystyle f colon G times G to mathbb R nbsp zu Diese ist ein Kozykel und ihre Kohomologieklasse hangt nicht von der Wahl von s displaystyle s nbsp ab Umgekehrt kann man einen Kozykel innerhalb seiner Kohomologieklasse so normieren dass f g h 0 displaystyle f g h 0 nbsp wenn g 1 displaystyle g 1 nbsp oder h 1 displaystyle h 1 nbsp Dann definiert man auf G A displaystyle G times A nbsp die Operation g 1 a 1 g 2 a 2 g 1 g 2 a 1 a 2 f g 1 g 2 displaystyle g 1 a 1 g 2 a 2 g 1 g 2 a 1 a 2 f g 1 g 2 nbsp und erhalt die der Kohomologieklasse von f displaystyle f nbsp entsprechende zentrale Erweiterung Zentrale Erweiterungen in anderen Gebieten BearbeitenDen Begriff der zentralen Erweiterung kann man auch in anderen Gebiete der Mathematik betrachten wenn man dort uber kurze exakte Sequenzen und einem Zentrum sprechen kann zum Beispiel in der Theorie der Algebren oder Lie Algebren Genau wie oben heisst eine kurze exakte Sequenz 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 nbsp eine zentrale Erweiterung von C displaystyle C nbsp wenn das injektive Bild von A displaystyle A nbsp im Zentrum von B displaystyle B nbsp liegt So ist zum Beispiel in der Theorie der Lie Algebren die Virasoro Algebra als zentrale Erweiterung der Witt Algebra definiert Literatur BearbeitenM Kervaire Multiplicateurs der Schur et K theorie S 212 225 in Essays on Topology and Related Topics Memoires dedies a Georges de Rham Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1970 J Milnor Introduction to Algebraic K Theory Annals of Mathematical Studies 72 Princeton University Press Princeton 1971 J Rosenberg Algebraic K Theory and Applications Graduate Texts in Mathematics 147 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1994 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentrale Erweiterung amp oldid 226836741