Die Lorentz Gruppe ist in der Physik und in der Mathematik die Gruppe aller Lorentz Transformationen der Minkowski Raumzeit Die Lorentz Gruppe wurde nach dem niederlandischen Mathematiker und Physiker Hendrik Lorentz benannt Die Lorentz Gruppe druckt die fundamentale Symmetrie oder die Automorphismen vieler bekannter Naturgesetze dadurch aus dass sie diese invariant lasst so insbesondere die Bewegungsgleichungen der speziellen Relativitatstheorie die Maxwellschen Feldgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus und die Dirac Gleichung der Theorie des Elektrons Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Zerlegung 3 Lie Algebra 3 1 Beispiele 4 Siehe auchDefinition BearbeitenDie Lorentz Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes R 3 1 displaystyle mathbb R 3 1 nbsp der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo Skalarprodukt ist Die Lorentz Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes die das Pseudo Skalarprodukt erhalten Sie ahnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O 3 im dreidimensionalen Raum die aus den linearen Automorphismen des R3 besteht die das Standardskalarprodukt erhalten und damit Langen und Winkel Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin dass die Lorentz Gruppe nicht die Langen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhalt sondern die bezuglich des indefiniten Pseudo Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Langen und Winkel Insbesondere erhalt sie Eigenzeitabstande in der speziellen Relativitatstheorie Formal konnen wir daher definieren definierende Darstellung O 3 1 L M 4 R L x L y M x y M x y R 4 displaystyle O 3 1 left Lambda in mathcal M 4 mathbb R langle Lambda cdot mathbf x Lambda cdot mathbf y rangle M langle mathbf x mathbf y rangle M quad forall mathbf x mathbf y in mathbb R 4 right nbsp wobei M 4 R displaystyle mathcal M 4 mathbb R nbsp die reellen 4 4 Matrizen und x y M x 0 y 0 i 1 3 x i y i displaystyle textstyle langle mathbf x mathbf y rangle M x 0 y 0 sum i 1 3 x i y i nbsp das Pseudo Skalarprodukt entsprechend der Konvention bezeichnet Eigenschaften BearbeitenDie Lorentz Gruppe O 3 1 ist eine 6 dimensionale Lie Gruppe Sie ist nicht kompakt Die raumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz Gruppe Solche Untergruppen sind nicht normal die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten das entspricht verschiedenen Inertialsystemen sind zueinander konjugiert Die Lorentz Gruppe besteht aus vier Zusammenhangskomponenten Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden Spiegelungen Raumspiegelungen Zeitspiegelungen und Raum Zeit Spiegelungen Die Untergruppe SO 3 1 der Elemente mit Determinante 1 heisst eigentliche Lorentz Gruppe und enthalt zwei der vier Zusammenhangskomponenten Die eigentliche orthochrone Lorentz Gruppe ist die Zusammenhangskomponente die die Identitat enthalt Die eigentliche orthochrone Lorentz Gruppe ist nicht einfach zusammenhangend d h nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden Die universelle einfach zusammenhangende Uberlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL 2 C diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O 3 1 in Quantentheorien Zerlegung Bearbeiten Jedes Element L displaystyle Lambda nbsp der eigentlich orthochronen Lorentz Gruppe lasst sich auf eindeutige Weise als Hintereinanderausfuhrung einer raumlichen Rotation und einer speziellen Lorentz Transformation Boost in Richtung v displaystyle vec v nbsp schreiben L L v R mit R 1 0 0 R R S O 3 displaystyle Lambda L vec v mathcal R quad text mit quad mathcal R begin pmatrix 1 amp 0 0 amp R end pmatrix quad R in SO 3 nbsp Dabei sind L v displaystyle L vec v nbsp und R displaystyle mathcal R nbsp wieder Elemente der eigentlich orthochronen Lorentz Gruppe und konkret gegeben durch v i L i 0 L 00 i 1 3 displaystyle v i frac Lambda i0 Lambda 00 qquad i 1 3 qquad nbsp und R i j L i j 1 1 L 00 L i 0 L 0 j displaystyle R ij Lambda ij frac 1 1 Lambda 00 Lambda i0 Lambda 0j text nbsp Die Reihenfolge der Operationen lasst sich umkehren L R L w displaystyle Lambda mathcal R L mathbf w nbsp Dabei ist R displaystyle mathcal R nbsp dieselbe Drehmatrix wie oben und w i L 0 i L 00 d h w R 1 v displaystyle w i frac Lambda 0i Lambda 00 quad text d h quad mathbf w R 1 vec v text nbsp Weiterhin kann man sich durch Hinzunahme einer weiteren Rotation auf eine spezielle Lorentz Transformation in x displaystyle x nbsp Richtung beschranken L R 1 L v e 1 R 2 displaystyle Lambda mathcal R 1 L v mathbf e 1 mathcal R 2 nbsp Lie Algebra BearbeitenDie sechsdimensionale Lie Algebra der O 3 1 wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der raumlichen Rotationen Ji und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz Boosts Ki aufgespannt Diese Lie Algebra ist isomorph zur Lie Algebra sl 2 C J i J j ϵ i j k J k displaystyle J i J j epsilon ijk J k nbsp K i K j ϵ i j k J k displaystyle K i K j epsilon ijk J k nbsp J i K j ϵ i j k K k displaystyle J i K j epsilon ijk K k nbsp wobei die Erzeuger Ji der Rotationen eine Lie Unteralgebra bilden namlich die so 3 Beispiele Bearbeiten Vektorfeld auf R2 Einparametrige Untergruppe von SL 2 C Mobius Transformationen Einparametrige Untergruppe von SO 1 3 Lorentz Transformationen Vektorfeld auf R4Parabolisch u displaystyle partial u nbsp 1 a 0 1 displaystyle left begin matrix 1 amp alpha 0 amp 1 end matrix right nbsp 1 a 2 2 a 0 a 2 2 a 1 0 a 0 0 1 0 a 2 2 a 0 1 a 2 2 displaystyle left begin matrix 1 alpha 2 2 amp alpha amp 0 amp alpha 2 2 alpha amp 1 amp 0 amp alpha 0 amp 0 amp 1 amp 0 alpha 2 2 amp alpha amp 0 amp 1 alpha 2 2 end matrix right nbsp X 1 displaystyle X 1 nbsp x t z t z x displaystyle x partial t partial z t z partial x nbsp v displaystyle partial v nbsp 1 i a 0 1 displaystyle left begin matrix 1 amp i alpha 0 amp 1 end matrix right nbsp 1 a 2 2 0 a a 2 2 0 1 0 0 a 0 1 a a 2 2 0 a 1 a 2 2 displaystyle left begin matrix 1 alpha 2 2 amp 0 amp alpha amp alpha 2 2 0 amp 1 amp 0 amp 0 alpha amp 0 amp 1 amp alpha alpha 2 2 amp 0 amp alpha amp 1 alpha 2 2 end matrix right nbsp X 2 displaystyle X 2 nbsp y t z t z y displaystyle y partial t partial z t z partial y nbsp Hyperbolisch1 2 u u v v displaystyle frac 1 2 left u partial u v partial v right nbsp exp b 2 0 0 exp b 2 displaystyle left begin matrix exp left frac beta 2 right amp 0 0 amp exp left frac beta 2 right end matrix right nbsp cosh b 0 0 sinh b 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh b 0 0 cosh b displaystyle left begin matrix cosh beta amp 0 amp 0 amp sinh beta 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 sinh beta amp 0 amp 0 amp cosh beta end matrix right nbsp X 3 displaystyle X 3 nbsp z t t z displaystyle z partial t t partial z nbsp Elliptisch1 2 v u u v displaystyle frac 1 2 left v partial u u partial v right nbsp exp i 8 2 0 0 exp i 8 2 displaystyle left begin matrix exp left frac i theta 2 right amp 0 0 amp exp left frac i theta 2 right end matrix right nbsp 1 0 0 0 0 cos 8 sin 8 0 0 sin 8 cos 8 0 0 0 0 1 displaystyle left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp cos theta amp sin theta amp 0 0 amp sin theta amp cos theta amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp X 4 displaystyle X 4 nbsp y x x y displaystyle y partial x x partial y nbsp v 2 u 2 1 2 u u v v displaystyle frac v 2 u 2 1 2 partial u uv partial v nbsp cos 8 2 sin 8 2 sin 8 2 cos 8 2 displaystyle left begin matrix cos left frac theta 2 right amp sin left frac theta 2 right sin left frac theta 2 right amp cos left frac theta 2 right end matrix right nbsp 1 0 0 0 0 cos 8 0 sin 8 0 0 1 0 0 sin 8 0 cos 8 displaystyle left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp cos theta amp 0 amp sin theta 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp sin theta amp 0 amp cos theta end matrix right nbsp X 5 displaystyle X 5 nbsp x z z x displaystyle x partial z z partial x nbsp u v u 1 u 2 v 2 2 v displaystyle uv partial u frac 1 u 2 v 2 2 partial v nbsp cos 8 2 i sin 8 2 i sin 8 2 cos 8 2 displaystyle left begin matrix cos left frac theta 2 right amp i sin left frac theta 2 right i sin left frac theta 2 right amp cos left frac theta 2 right end matrix right nbsp 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos 8 sin 8 0 0 sin 8 cos 8 displaystyle left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp cos theta amp sin theta 0 amp 0 amp sin theta amp cos theta end matrix right nbsp X 6 displaystyle X 6 nbsp z y y z displaystyle z partial y y partial z nbsp Siehe auch BearbeitenLorentz Transformation Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lorentz Gruppe amp oldid 209859671
