www.wikidata.de-de.nina.az

Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe In der Physik wird die zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistis

Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe

In der Physik wird die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistischen Quantenmechanik sowie zur Beschreibung von Feldern in der Quantenfeldtheorie benötigt.

Lorentz-Gruppe Bearbeiten

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe der die Minkowski-Metrik invariant lassenden linearen Abbildungen der Raum-Zeit , also

Sie hat vier Zusammenhangskomponenten. Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements heißt . Diese Komponente wird von zweifach überlagert.

Insbesondere ist ihre Lie-Algebra isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C).

Endlich-dimensionale Darstellungen Bearbeiten

Darstellungen der Lie-Algebra Bearbeiten

Die Darstellungstheorie der sl(2,C) zeigt, dass jede -lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von eine sogenannte Spin--Darstellung für ein ist. Diese Darstellung ist -dimensional und es gibt für jeden ganz- oder halbzahligen Wert von eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung .

Es folgt dann, dass jede -lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von von der Form mit ganz- oder halbzahligen Werten ist. Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie-Algebra-Darstellungen definiert durch

und bezeichnet die zu komplex konjugierte Darstellung. (Die entsprechende Lie-Gruppen-Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie-Gruppen-Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten.)

Die Darstellung ist -dimensional und irreduzibel.

Projektive Darstellungen Bearbeiten

Jede Lie-Algebren-Darstellung bestimmt (nach dem Zweiten Lie’schen Satz) eine (reelle) Darstellung von und damit eine projektive Darstellung von .

Falls ist, kann zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe fortgesetzt werden.

Dies ist nicht möglich für , aber jedenfalls kann dann noch zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von fortgesetzt werden.

Darstellungen Bearbeiten

ist eine zweifache Überlagerung von , wobei und auf das neutrale Element abgebildet werden. Eine Darstellung von entspricht also genau dann einer Darstellung (und nicht nur einer projektiven Darstellung) von , wenn auch auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Man prüft leicht nach, dass das für die Darstellungen genau dann der Fall ist, wenn und ganze Zahlen sind.

Wenn , dann erhält man eine Darstellung der vollen Lorentz-Gruppe .

Beispiele Bearbeiten

Im Folgenden bezeichne die -projektive Darstellung von .

  • (0, 0) ist die in relativistischen Skalarfeld-Theorien verwendete skalare Lorentz-Darstellung.
  • ist die projektive Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinoren, die der rechtshändige Weyl-Spinoren. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe .
  • ist die Bispinor-Darstellung.
  • ist die Vierervektor-Darstellung. Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
  • ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2-Formen und die projektive Darstellung im Raum der anti-selbstdualen 2-Formen. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe .
  • (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die Darstellung eines Paritäts-invarianten Feldes von 2-Formen (d. h. von Krümmungsformen). Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
  •   entspricht dem Rarita–Schwinger-Feld.
  • (1, 1) ist die Spin-2-Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds.

Literatur Bearbeiten

  • Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
  • Sigurður Helgason: Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. (= Mathematical Surveys and Monographs. 83). Corrected reprint of the 1984 original. American Mathematical Society, Providence, RI 2000, ISBN 0-8218-2673-5.
  • Anthony W. Knapp: Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples. (= Princeton Landmarks in Mathematics). Reprint of the 1986 original. Princeton University Press, Princeton, NJ 2001, ISBN 0-691-09089-0.
  • E. R. Paërl: Representations of the Lorentz group and projective geometry. (= Mathematical Centre Tracts. No. 25). Mathematisch Centrum, Amsterdam 1969.
  • W. Rühl: The Lorentz group and harmonic analysis. W. A. Benjamin, New York 1970, OCLC 797189612.
  • Steven Weinberg: The quantum theory of fields. Vol. I: Foundations. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-55001-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Knapp, op.cit., Chapter II.3
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Physik wird die Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistischen Quantenmechanik sowie zur Beschreibung von Feldern in der Quantenfeldtheorie benotigt Inhaltsverzeichnis 1 Lorentz Gruppe 2 Endlich dimensionale Darstellungen 2 1 Darstellungen der Lie Algebra 2 2 Projektive Darstellungen 2 3 Darstellungen 2 4 Beispiele 3 Literatur 4 EinzelnachweiseLorentz Gruppe BearbeitenDie Lorentz Gruppe ist die Gruppe der die Minkowski Metrik t 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle t 2 x 2 y 2 z 2 nbsp invariant lassenden linearen Abbildungen der Raum Zeit R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 nbsp also O 3 1 A R 4 4 A 1 1 1 1 A T 1 1 1 1 displaystyle text O 3 1 left A in mathbb R 4 times 4 A begin pmatrix 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 end pmatrix A T begin pmatrix 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 end pmatrix right nbsp Sie hat vier Zusammenhangskomponenten Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements heisst SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp Diese Komponente wird von SL 2 C displaystyle text SL 2 mathbb C nbsp zweifach uberlagert Insbesondere ist ihre Lie Algebra s o 3 1 displaystyle mathfrak so 3 1 nbsp isomorph zur Lie Algebra sl 2 C Endlich dimensionale Darstellungen BearbeitenDarstellungen der Lie Algebra Bearbeiten Die Darstellungstheorie der sl 2 C zeigt dass jede C displaystyle mathbb C nbsp lineare irreduzible und endlich dimensionale Darstellung von s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp eine sogenannte Spin m displaystyle m nbsp Darstellung fur ein m 1 2 Z displaystyle m in tfrac 1 2 mathbb Z nbsp ist Diese Darstellung ist 2 m 1 displaystyle 2m 1 nbsp dimensional und es gibt fur jeden ganz oder halbzahligen Wert von m displaystyle m nbsp eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung p m displaystyle pi m nbsp Es folgt dann dass jede R displaystyle mathbb R nbsp lineare irreduzible und endlich dimensionale Darstellung von s l 2 C s o 3 1 displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C mathfrak so 3 1 nbsp von der Form p m n p m p n displaystyle pi m n pi m otimes overline pi n nbsp mit ganz oder halbzahligen Werten m n 1 2 Z displaystyle m n in tfrac 1 2 mathbb Z nbsp ist Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie Algebra Darstellungen definiert durch p m n X I 2 m 1 p n X p m X I 2 n 1 displaystyle pi m n X I 2m 1 otimes overline pi n X pi m X otimes I 2n 1 nbsp und p n displaystyle overline pi n nbsp bezeichnet die zu p n displaystyle pi n nbsp komplex konjugierte Darstellung Die entsprechende Lie Gruppen Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie Gruppen Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten Die Darstellung p m n displaystyle pi m n nbsp ist 2 m 1 2 n 1 displaystyle 2m 1 2n 1 nbsp dimensional und irreduzibel 1 Projektive Darstellungen Bearbeiten Jede Lie Algebren Darstellung p m n displaystyle pi m n nbsp bestimmt nach dem Zweiten Lie schen Satz eine reelle Darstellung von SL 2 C displaystyle text SL 2 mathbb C nbsp und damit eine projektive Darstellung r m n displaystyle rho m n nbsp von SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp Falls m n displaystyle m n nbsp ist kann r m n displaystyle rho m n nbsp zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz Gruppe O 3 1 displaystyle text O 3 1 nbsp fortgesetzt werden Dies ist nicht moglich fur m n displaystyle m not n nbsp aber jedenfalls kann dann noch r m n r n m displaystyle rho m n oplus rho n m nbsp zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von O 3 1 displaystyle text O 3 1 nbsp fortgesetzt werden Darstellungen Bearbeiten SL 2 C displaystyle text SL 2 mathbb C nbsp ist eine zweifache Uberlagerung von SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp wobei I 2 displaystyle I 2 nbsp und I 2 displaystyle I 2 nbsp auf das neutrale Element I 4 SO 3 1 displaystyle I 4 in text SO 3 1 nbsp abgebildet werden Eine Darstellung von SL 2 C displaystyle text SL 2 mathbb C nbsp entspricht also genau dann einer Darstellung und nicht nur einer projektiven Darstellung von SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp wenn auch I 2 1 0 0 1 SL 2 C displaystyle I 2 left begin smallmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end smallmatrix right in text SL 2 mathbb C nbsp auf die Einheitsmatrix abgebildet wird Man pruft leicht nach dass das fur die Darstellungen r m n displaystyle rho m n nbsp genau dann der Fall ist wenn m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp ganze Zahlen sind Wenn m n Z displaystyle m n in mathbb Z nbsp dann erhalt man eine Darstellung der vollen Lorentz Gruppe O 3 1 displaystyle O 3 1 nbsp Beispiele Bearbeiten Im Folgenden bezeichne m n displaystyle m n nbsp die 2 m 1 2 n 1 displaystyle 2m 1 2n 1 nbsp projektive Darstellung r m n displaystyle rho m n nbsp von S O 3 1 displaystyle SO 3 1 nbsp 0 0 ist die in relativistischen Skalarfeld Theorien verwendete skalare Lorentz Darstellung 1 2 0 displaystyle left tfrac 1 2 0 right nbsp ist die projektive Darstellung der linkshandigen Weyl Spinoren 0 1 2 displaystyle left 0 tfrac 1 2 right nbsp die der rechtshandige Weyl Spinoren Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp 1 2 0 0 1 2 displaystyle left tfrac 1 2 0 right oplus left 0 tfrac 1 2 right nbsp ist die Bispinor Darstellung 1 2 1 2 displaystyle left tfrac 1 2 tfrac 1 2 right nbsp ist die Vierervektor Darstellung Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung 1 0 displaystyle 1 0 nbsp ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2 Formen und 0 1 displaystyle 0 1 nbsp die projektive Darstellung im Raum der anti selbstdualen 2 Formen Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe SO 3 1 displaystyle text SO 3 1 nbsp 1 0 0 1 ist die Darstellung eines Paritats invarianten Feldes von 2 Formen d h von Krummungsformen Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung 1 1 2 1 2 1 displaystyle left 1 tfrac 1 2 right oplus left tfrac 1 2 1 right nbsp entspricht dem Rarita Schwinger Feld 1 1 ist die Spin 2 Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds Literatur BearbeitenBrian C Hall Lie groups Lie algebras and representations An elementary introduction Graduate Texts in Mathematics 222 Springer Verlag New York 2003 ISBN 0 387 40122 9 Sigurdur Helgason Groups and geometric analysis Integral geometry invariant differential operators and spherical functions Mathematical Surveys and Monographs 83 Corrected reprint of the 1984 original American Mathematical Society Providence RI 2000 ISBN 0 8218 2673 5 Anthony W Knapp Representation theory of semisimple groups An overview based on examples Princeton Landmarks in Mathematics Reprint of the 1986 original Princeton University Press Princeton NJ 2001 ISBN 0 691 09089 0 E R Paerl Representations of the Lorentz group and projective geometry Mathematical Centre Tracts No 25 Mathematisch Centrum Amsterdam 1969 W Ruhl The Lorentz group and harmonic analysis W A Benjamin New York 1970 OCLC 797189612 Steven Weinberg The quantum theory of fields Vol I Foundations Cambridge University Press Cambridge 2005 ISBN 0 521 55001 7 Einzelnachweise Bearbeiten Knapp op cit Chapter II 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe amp oldid 238766253