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Projektive Darstellung Im Bereich der mathematischen Darstellungstheorie ist eine projektive Darstellung einer Gruppe G

Projektive Darstellung

Im Bereich der mathematischen Darstellungstheorie ist eine projektive Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V über einem Körper K ein Homomorphismus von G in die projektive lineare Gruppe:

Definition Bearbeiten

Sei G eine Gruppe. Eine projektive Darstellung von G über einem Körper K hat folgende gleichwertige Definitionen:

Zwei projektive Darstellungen und über einem Körper K heißen projektiv äquivalent, falls ein Vektorraum-Isomorphismus und eine Funktion (nicht notwendigerweise ein Homomorphismus) existiert, sodass für jedes und gilt:

In anderen Worten unterscheiden sich die beiden durch ein skalares Vielfaches mit einem Basiswechsel-Isomorphismus.

Lineare und projektive Darstellungen Bearbeiten

Jede lineare Darstellung ruft eine projektive Darstellung durch Zusammensetzung der Darstellungen mit der Quotientenabbildung hervor. Allerdings entsteht nicht jede projektive Darstellung aus einer linearen.

Mehrere verschiedene lineare Darstellungen können zu derselben projektiven Darstellung führen: Zwei lineare Darstellungen sind genau dann projektiv äquivalent, falls eine der beiden durch Multiplikationen der anderen mit einer eindimensionalen Darstellung hergeleitet werden kann. Daraus ergibt sich, dass alle eindimensionalen Darstellungen projektiv äquivalent zueinander sind.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B. Külshammer, M. Deiml: Darstellungstheorie. 1993, S. 54–58.
  2. Projective Representation. Abgerufen am 30. Mai 2016.
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Im Bereich der mathematischen Darstellungstheorie ist eine projektive Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V uber einem Korper K ein Homomorphismus P displaystyle Pi von G in die projektive lineare Gruppe 1 P G P G L V displaystyle Pi colon G rightarrow PGL V Definition BearbeitenSei G eine Gruppe Eine projektive Darstellung von G uber einem Korper K hat folgende gleichwertige Definitionen Sie beschreibt einen Homomorphismus von G zur projektiven allgemeinen linearen Gruppe fur einen Vektorraum uber K Sie ist eine Abbildung a G G L V displaystyle alpha colon G rightarrow GL V nbsp G L displaystyle GL nbsp ist die allgemeine lineare Gruppe fur die es eine skalarwertige Funktion f G G K displaystyle f colon G times G rightarrow K nbsp gibt sodassa g h f g h a g a h displaystyle alpha gh f g h alpha g alpha h nbsp dd Zwei projektive Darstellungen a 1 G G L V 1 displaystyle alpha 1 colon G rightarrow GL V 1 nbsp und a 2 G G L V 2 displaystyle alpha 2 colon G rightarrow GL V 2 nbsp uber einem Korper K heissen projektiv aquivalent falls ein Vektorraum Isomorphismus F V 1 V 2 displaystyle F colon V 1 rightarrow V 2 nbsp und eine Funktion nicht notwendigerweise ein Homomorphismus 8 G K displaystyle theta colon G rightarrow K nbsp existiert sodass fur jedes g G displaystyle g in G nbsp und v V 1 displaystyle v in V 1 nbsp gilt F a 1 g v 8 g a 2 g F v displaystyle F alpha 1 g cdot v theta g alpha 2 g cdot F v nbsp In anderen Worten unterscheiden sich die beiden durch ein skalares Vielfaches mit einem Basiswechsel Isomorphismus 2 Lineare und projektive Darstellungen BearbeitenJede lineare Darstellung G G L V displaystyle G rightarrow GL V nbsp ruft eine projektive Darstellung G P G L V displaystyle G rightarrow PGL V nbsp durch Zusammensetzung der Darstellungen mit der Quotientenabbildung G L V P G L V displaystyle GL V rightarrow PGL V nbsp hervor Allerdings entsteht nicht jede projektive Darstellung aus einer linearen Mehrere verschiedene lineare Darstellungen konnen zu derselben projektiven Darstellung fuhren Zwei lineare Darstellungen sind genau dann projektiv aquivalent falls eine der beiden durch Multiplikationen der anderen mit einer eindimensionalen Darstellung hergeleitet werden kann Daraus ergibt sich dass alle eindimensionalen Darstellungen projektiv aquivalent zueinander sind Einzelnachweise Bearbeiten B Kulshammer M Deiml Darstellungstheorie 1993 S 54 58 Projective Representation Abgerufen am 30 Mai 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektive Darstellung amp oldid 212001267