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Pythagoraszahl Die eines Körpers F displaystyle F ist definiert als das kleinste p F N displaystyle p F in mathbb N so d

Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von Quadraten schreiben lässt.

Definition Bearbeiten

Für einen Körper sei

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in , die höchstens Länge haben. Offensichtlich gilt für alle . Unklar ist dagegen, ob immer ein existiert, so dass . Als Pythagoraszahl von bezeichnen wir die folgende Größe:

wobei genau dann, wenn für alle gilt. Es ist stets .

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper Bearbeiten

  1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ein , so dass . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
  2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen .
  3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen , d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise Bearbeiten

Satz Falls nicht-reeller Körper ist, (das heißt ,) lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe von :

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Falls ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade, nach dem für einen beliebigen Körper mit gilt, dass (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass .

Ganz exakt kann man im Fall werden, wo eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz für alle wo prim und ist.

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen Bearbeiten

Sei eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter der Transzendenzgrad von über .

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass für alle gilt.

Wegen ist diese Abschätzung scharf für .

Für wurde bisher gezeigt. Vermutlich gilt aber sogar , was dann wegen eine scharfe Abschätzung wäre.

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: einige Beweise zur Pythagoraszahl – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
  2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
  3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
  4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971
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Veröffentlichungsdatum:
Die Pythagoraszahl eines Korpers F displaystyle F ist definiert als das kleinste p F N displaystyle p F in mathbb N so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in F displaystyle F schon als Summe von p F displaystyle p F Quadraten schreiben lasst 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkorper 3 Weitere Beispiele und Beweise 4 Die Pythagoraszahl bei Korpererweiterungen der rationalen Zahlen 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur einen Korper F displaystyle F nbsp sei F 2 i 1 n a i 2 n N a 1 a n F und i 1 n a i 2 0 displaystyle sum F 2 left sum i 1 n a i 2 Big n in mathbb N a 1 ldots a n in F text und sum i 1 n a i 2 neq 0 right nbsp die Menge der endlichen Quadratsummen die ungleich Null sind Mit k F 2 i 1 n a i 2 n k a 1 a n F und i 1 n a i 2 0 displaystyle sum k F 2 left sum i 1 n a i 2 Big n leq k a 1 ldots a n in F text und sum i 1 n a i 2 neq 0 right nbsp bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in F displaystyle F nbsp die hochstens Lange k displaystyle k nbsp haben Offensichtlich gilt k F 2 F 2 displaystyle textstyle sum k F 2 subseteq sum F 2 nbsp fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp Unklar ist dagegen ob immer ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp existiert so dass k F 2 F 2 displaystyle textstyle sum k F 2 sum F 2 nbsp Als Pythagoraszahl von F displaystyle F nbsp bezeichnen wir die folgende Grosse p F min k N k F 2 F 2 displaystyle p F min left k in mathbb N cup infty Big sum k F 2 sum F 2 right nbsp wobei p F displaystyle p F infty nbsp genau dann wenn k F 2 F 2 displaystyle textstyle sum k F 2 varsubsetneq sum F 2 nbsp fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp gilt Es ist stets p F 1 displaystyle p F geq 1 nbsp Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkorper BearbeitenNach dem Satz des Pythagoras gibt es fur a 1 a n R displaystyle a 1 ldots a n in mathbb R nbsp ein b R displaystyle b in mathbb R nbsp so dass a 1 2 a n 2 b 2 displaystyle a 1 2 ldots a n 2 b 2 nbsp Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen p R 1 displaystyle p mathbb R 1 nbsp Anders ausgedruckt Man kann aus jeder Quadratsumme in R displaystyle mathbb R nbsp die Wurzel ziehen Es ist wahrscheinlich dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Uberlegung herleitet Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen p C 1 displaystyle p mathbb C 1 nbsp Nach dem Satz von Euler Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen p Q 4 displaystyle p mathbb Q 4 nbsp d h jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lasst sich schon als Summe von hochstens vier Quadraten schreiben Weitere Beispiele und Beweise BearbeitenSatz Falls F displaystyle F nbsp nicht reeller Korper ist das heisst 1 F 2 displaystyle 1 in sum F 2 nbsp lasst sich die Pythagoraszahl von F displaystyle F nbsp abschatzen durch die Stufe s F displaystyle s F nbsp von F displaystyle F nbsp s F p F s F 1 displaystyle s F leq p F leq s F 1 nbsp Beweis Siehe nbsp Satz Pythagoraszahl nicht reeller Korper Falls F displaystyle F nbsp ein nicht reeller Korper mit positiver Charakteristik ist gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A R Rajwade 2 nach dem fur einen beliebigen Korper F displaystyle F nbsp mit char F gt 0 displaystyle text char F gt 0 nbsp gilt dass s F 2 displaystyle s F leq 2 nbsp zum Beweis vgl Stufe Damit gilt fur alle nicht reellen Korper mit positiver Charakteristik dass p F 3 displaystyle p F leq 3 nbsp Ganz exakt kann man im Fall F F q displaystyle F mathbb F q nbsp werden wo q displaystyle q nbsp eine ungerade Primpotenz ist Es gilt Satz p F q 2 displaystyle p mathbb F q 2 nbsp fur alle q p n displaystyle q p n nbsp wo p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp prim und n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp ist Beweis Siehe nbsp Satz Pythagoraszahl von Korpern mit Charakteristik einer Primpotenz Die Pythagoraszahl bei Korpererweiterungen der rationalen Zahlen BearbeitenSei F Q displaystyle F mathbb Q nbsp eine endlich erzeugte Korpererweiterung uber den rationalen Zahlen sei weiter d trdeg F displaystyle d text trdeg F nbsp der Transzendenzgrad von F displaystyle F nbsp uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung vgl K Theorie Milnorvermutung die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde lasst sich zeigen dass p F 2 d 2 displaystyle p F leq 2 d 2 nbsp fur alle d displaystyle d nbsp gilt Wegen p Q 4 displaystyle p mathbb Q 4 nbsp ist diese Abschatzung scharf fur d 0 displaystyle d 0 nbsp Fur d 1 displaystyle d 1 nbsp wurde bisher p F 6 displaystyle p F leq 6 nbsp gezeigt 3 Vermutlich gilt aber sogar p F 5 displaystyle p F leq 5 nbsp was dann wegen p Q t 5 displaystyle p mathbb Q t 5 nbsp eine scharfe Abschatzung ware 4 Eine ausfuhrliche Darstellung des Beweises von p F 2 d 2 displaystyle p F leq 2 d 2 nbsp findet sich in der Arbeit Uber die Pythagoraszahl von Funktionenkorpern s u Siehe auch BearbeitenPythagoreischer KorperWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks einige Beweise zur Pythagoraszahl Lern und Lehrmaterialien Uber die Pythagoraszahl von FunktionenkorpernEinzelnachweise Bearbeiten Brocker L Uber die Pythagoraszahl eines Korpers Archiv der Mathematik Birkhauser Basel Volume 31 Number 1 Dezember 1978 S 133 136 A R Rajwade Squares Cambridge University Press 1993 Florian Pop bislang unveroffentlichter Artikel Y Pourchet Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques Acta Arith 19 1971 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pythagoraszahl amp oldid 209448587