Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen -typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die -typischen Wittvektoren für beliebiges rekonstruieren lassen.
p-typische Wittvektoren Bearbeiten
Sei eine feste Primzahl. Für einen Ring (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von abhängenden Ring . Er ist vor allem für Ringe der Charakteristik interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.
Motivation Bearbeiten
Sei eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der -adischen Zahlen soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper ein zum Restklassenring isomorpher Ring, bezeichnet mit , konstruiert werden.
Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung , die für ganze Zahlen die Restklasse von in auf die Restklasse von in abbildet. Die Bijektion
entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in im Stellenwertsystem zur Basis . Die von übertragene Addition ist dann im Fall :
wobei der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als verallgemeinern, auch weil die Definition von von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem Gebrauch macht.
Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen gilt:
(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist und ein Vertreter von , dann hängt die Restklasse von in nur von , nicht jedoch von der Wahl von ab. Wir schreiben suggestiv für dieses Element von . (Diese Abbildung ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die -adischen Zahlen .) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von nicht von selbst ab, wir scheiben .
Weil jeweils , bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:
Sei die Menge zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die zu einem Isomorphismus machen.
Sei nun speziell und damit . Sollen zwei Vektoren und addiert werden, also , dann erhält man modulo die Gleichung , also . Damit ist
Das Polynom
hat durch teilbare Koeffizienten, ist also gleich mit einem Polynom . Damit ist
also insgesamt
Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung
Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring durch die Festlegung
die Struktur einer abelschen Gruppe auf definieren kann. Entsprechendes gilt für
mit , so dass zu einem kommutativen Ring mit Einselement wird.
Definition Bearbeiten
Bezeichne die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist eine fest gewählte Primzahl.
Es gibt eindeutig bestimmte Polynome für jedes derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement gilt: ist ein Ring mit Addition:
und Multiplikation
und für jedes ist die Abbildung
ein Ringhomomorphismus. heißt Ring der -typischen Wittvektoren mit Einträgen aus . Ist nur die Rede von -typischen Wittvektoren, wird nur geschrieben.
Für ist mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der -typischen Wittvektoren der Länge .
Das Ringelement
wird als -te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen
kann man und rekursiv berechnen:
Beispiele:
Auch die Negation im Ring ist durch universelle Polynome gegeben. Für ist:
Für ist dagegen mit
Die Abbildung ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).
Beweisskizze Bearbeiten
Die rekursive Beschreibung liefert . Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:
Lemma. Ist ein Polynom (z. B. ), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome mit
für alle . Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für statt oder auch nur .
Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften und sowie der oben erwähnten Implikation
Die Ringeigenschaften von folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl als auch sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:
Also sind diese Polynome gleich.
Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring , siehe unten.
Einfache Eigenschaften Bearbeiten
- kann mit identifiziert werden, und mit der Projektion . Alle Projektionen sind surjektive Ringhomomorphismen, und
- und
- Wenn in invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten ein Ringisomorphismus.
- Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht dem Vektor ):
W(k) für perfekte Körper k Bearbeiten
Sei ein perfekter Körper der Charakteristik . Dann ist ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ), dessen maximales Ideal von erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert bis auf Isomorphie.
Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):
- Satz von Teichmüller-Witt: Ist ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper , dann gibt es genau einen Homomorphismus , so dass die Verkettung mit der Projektion gleich der Projektion ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt der Projektion , genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung ist:
- ist als -Algebra isomorph zu einem Quotienten von mit .
- Ist kein Nullteiler in , dann gibt es Elemente mit , so dass der induzierte Homomorphismus injektiv ist und als -Modul endlich erzeugt ist.
- Im Spezialfall bedeutet das genauer: Ist ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper , dann ist eine endliche Erweiterung von vom Grad , wenn die normalisierte Bewertung von ist, also gilt.
Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von .
Frobenius und Verschiebung Bearbeiten
In Charakteristik p Bearbeiten
Sei ein Ring der Charakteristik . Die Verschiebung ist die Abbildung
Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen
Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik ) ist die Abbildung
Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen einschränkt. Sei die Multiplikation mit auf . Dann ist
somit
insbesondere
Außerdem ist
Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.
Sei der Quotientenkörper von . Dann ist der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung .
Dieudonné-Ring Bearbeiten
Sei ein perfekter Körper der Charakteristik . Schreibt man und für den -Modul , bei dem die Modulstruktur durch gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen
in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik . Ist allgemeiner ein -Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen und , kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von und zwei Symbolen erzeugt wird, mit den Relationen
Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten -Moduln. Siehe auch unten.
Allgemein Bearbeiten
Für beliebige Ringe muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente . Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt
Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen
(also nicht mehr mit Ziel wie im Fall der Charakteristik ). Allgemein gilt immer noch
und
Frobeniuslifts und Komonadenstruktur Bearbeiten
Sei ein -torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus mit . Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung , für die für alle gilt. Sie erfüllt . Da selbst über den Frobeniuslift verfügt, erhält man zunächst für -torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation , die durch charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade .
Die Restriktion auf -torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu -Derivationen übergeht: Für einen Ring ist eine -Derivation eine Abbildung , für die die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass die folgenden Gleichungen erfüllt:
Eine -Derivation definiert durch einen Frobeniuslift auf . Ist torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift eine -Derivation
Ein Ring zusammen mit einer -Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.
Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen , als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass ein Ringhomomorphismus ist.
Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe. Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ , die als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.
Weitere Eigenschaften in Charakteristik p Bearbeiten
Sei ein Ring mit .
- Wenn ein Integritätsbereich ist, dann auch , und es gilt .
- Die Einheiten von sind genau die Elemente mit .
- Wenn ein Körper ist, dann ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal . Außerdem ist genau dann noethersch, wenn perfekt ist.
- Wenn surjektiv ist, dann ist und somit .
- Ist perfekt, d. h. bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor mit der Teichmüller-Abbildung als -adisch konvergente Reihe schreiben:
- Ist ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen in invertierbar (z. B. wenn ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen und (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie durch beschreiben, siehe unten.
Weitere Anwendungen Bearbeiten
- Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist ein Körper der Charakteristik , können abelsche Erweiterungen vom Exponenten von mit Hilfe der Wittvektoren klassifiziert werden.
- Ist ein Schema über einem Körper der Charakteristik , dann gibt es nicht immer ein flaches Schema über mit . Die Existenz eines Lifts nach spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.
- Ist glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind -Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, die l-adische Kohomologie für ergänzend.
- Ist ein Schema über , so ist der topologische Raum mit der Garbe wieder ein Schema . Der De-Rham-Witt-Komplex ist ein geeigneter Quotient von . Für glatt ist die kristalline Kohomologie isomorph zur Hyperkohomologie von .
- Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.
Wittvektoren als algebraische Gruppe Bearbeiten
Sei ein perfekter Körper der Charakteristik . Die Wittvektoren der Länge bilden eine kommutative algebraische Gruppe über , die als Varietät isomorph zum affinen Raum ist. ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung mit Subquotienten oder der Artin-Hasse-Einbettung .
In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu . In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren und (der Kern des Frobeniusmorphismus auf , explizit ).
Jede kommutative unipotente Gruppe über ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen. Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor
definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über und der Kategorie der endlich erzeugten -Moduln, auf denen nilpotent wirkt. Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche -Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.
Für eine abelsche Varietät gibt es einen kanonischen Isomorphismus von -Moduln . Dabei ist der Kern der Multiplikation mit auf und