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Ganzes Element Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Rin

Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Ring und eine -Algebra. Dann heißt ein Element ganz über , wenn es ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass gilt, also wenn es ein und Koeffizienten gibt mit

Die Menge der über ganzen Elemente von heißt der ganze Abschluss von in .

Falls der ganze Abschluss von in mit übereinstimmt, heißt ganz abgeschlossen in . Stimmt der ganze Abschluss von in jedoch mit überein, ist also jedes Element von ganz über , so heißt ganz über .

Beispiele Bearbeiten

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen Bearbeiten

Sei eine Ringerweiterung, . Dann sind äquivalent:

  • ist ganz über ,
  • ist als -Modul endlich erzeugt,
  • es gibt einen Teilring , sodass und als -Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Der ganze Abschluss von in ist eine -Unteralgebra von .
  • Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung , dass genau dann ganz über ist, wenn ganz über und ganz über ist.
  • Sei eine ganze Ringerweiterung und nullteilerfrei. Dann ist genau dann ein Körper, wenn ein Körper ist.
  • Ist eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in und darunterliegenden Primidealketten in . Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
  • Falls ein Unterring des Körpers ist, dann ist der ganze Abschluss von in der Durchschnitt aller Bewertungsringe von die enthalten.

Literatur Bearbeiten

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
  2. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
  3. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
  4. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
  5. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
  6. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Korpererweiterung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen 4 Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei A displaystyle A nbsp ein Ring und B displaystyle B nbsp eine A displaystyle A nbsp Algebra Dann heisst ein Element b B displaystyle b in B nbsp ganz uber A displaystyle A nbsp wenn es ein Polynom p A X 0 displaystyle p in A X setminus 0 nbsp mit Leitkoeffizient 1 gibt so dass p b 0 displaystyle p b 0 nbsp gilt also wenn es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp und Koeffizienten a 0 a 1 a n 1 A displaystyle a 0 a 1 dotsc a n 1 in A nbsp gibt mit b n a n 1 b n 1 a 1 b a 0 0 displaystyle b n a n 1 b n 1 dots a 1 b a 0 0 nbsp Die Menge der uber A displaystyle A nbsp ganzen Elemente von B displaystyle B nbsp heisst der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp Falls der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp mit A displaystyle A nbsp ubereinstimmt heisst A displaystyle A nbsp ganz abgeschlossen in B displaystyle B nbsp Stimmt der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp jedoch mit B displaystyle B nbsp uberein ist also jedes Element von B displaystyle B nbsp ganz uber A displaystyle A nbsp so heisst B displaystyle B nbsp ganz uber A displaystyle A nbsp Beispiele BearbeitenIst A B displaystyle A subseteq B nbsp eine Ringerweiterung dann ist B displaystyle B nbsp insbesondere eine A displaystyle A nbsp Algebra Ist B displaystyle B nbsp ganz uber A displaystyle A nbsp so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung Ein Integritatsring der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkorper ist wird als normaler Ring bezeichnet Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkorper K displaystyle K nbsp wird als der Ganzheitsring O K displaystyle mathcal O K nbsp von K displaystyle K nbsp bezeichnet Ist A Z displaystyle A mathbb Z nbsp und K Q 5 displaystyle K mathbb Q big sqrt 5 big nbsp so ist der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in K displaystyle K nbsp gegeben alsO K Z 1 5 2 displaystyle mathcal O K mathbb Z left frac 1 sqrt 5 2 right nbsp dd Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen BearbeitenSei A B displaystyle A subseteq B nbsp eine Ringerweiterung x B displaystyle x in B nbsp Dann sind aquivalent 1 x displaystyle x nbsp ist ganz uber A displaystyle A nbsp A x displaystyle A x nbsp ist als A displaystyle A nbsp Modul endlich erzeugt es gibt einen Teilring C B displaystyle C subseteq B nbsp sodass A x C displaystyle A x subseteq C nbsp und C displaystyle C nbsp als A displaystyle A nbsp Modul endlich erzeugt ist Eigenschaften BearbeitenDer ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp ist eine A displaystyle A nbsp Unteralgebra von B displaystyle B nbsp Ganzheit ist eine transitive Relation Genauer gilt fur eine Ringerweiterung A B C displaystyle A subseteq B subseteq C nbsp dass C displaystyle C nbsp genau dann ganz uber A displaystyle A nbsp ist wenn B displaystyle B nbsp ganz uber A displaystyle A nbsp und C displaystyle C nbsp ganz uber B displaystyle B nbsp ist 2 Eine A displaystyle A nbsp Algebra B displaystyle B nbsp ist genau dann endlich wenn sie endlich erzeugt und ganz ist 3 Sei A B displaystyle A subseteq B nbsp eine Ringerweiterung C displaystyle C nbsp der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp und S A displaystyle S subseteq A nbsp eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge Dann ist auch S 1 C displaystyle S 1 C nbsp der ganze Abschluss von S 1 A displaystyle S 1 A nbsp in S 1 B displaystyle S 1 B nbsp wobei mit S 1 displaystyle S 1 nbsp die Lokalisierung nach der Menge S displaystyle S nbsp bezeichnet 4 Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft Sei A B displaystyle A subseteq B nbsp eine ganze Ringerweiterung und B displaystyle B nbsp nullteilerfrei Dann ist A displaystyle A nbsp genau dann ein Korper wenn B displaystyle B nbsp ein Korper ist 5 Ist A B displaystyle A subseteq B nbsp eine ganze Ringerweiterung Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in B displaystyle B nbsp und darunterliegenden Primidealketten in A displaystyle A nbsp Dies ist die Aussage der Satze von Cohen Seidenberg Falls A displaystyle A nbsp ein Unterring des Korpers K displaystyle K nbsp ist dann ist der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in K displaystyle K nbsp der Durchschnitt aller Bewertungsringe von K displaystyle K nbsp die A displaystyle A nbsp enthalten 6 Literatur BearbeitenM F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Chapter 5 ISBN 0 201 00361 9Einzelnachweise Bearbeiten M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Proposition 5 1 M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Korollar 5 4 M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 S 60 M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Proposition 5 6 M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Proposition 5 7 M F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Korollar 5 22 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ganzes Element amp oldid 166654245