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Abgeschlossenheit algebraische Struktur In der Mathematik insbesondere der Algebra versteht man unter Abgeschlossenheit

Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)

In der Mathematik, insbesondere der Algebra, versteht man unter Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Verknüpfung, dass die Verknüpfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder ein Element der Menge ist. Beispielsweise ist die Menge der ganzen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht bezüglich der Division. Bei algebraischen Strukturen mit mehreren Verknüpfungen betrachtet man entsprechend die Abgeschlossenheit bezüglich all dieser Verknüpfungen.

Definition Bearbeiten

Sei eine -stellige innere Verknüpfung auf einer Menge , das heißt sei eine Funktion . Eine Teilmenge heißt dann abgeschlossen bezüglich , wenn

für alle gilt. Das bedeutet, eingeschränkt auf den Definitionsbereich muss auch wieder eine -stellige innere Verknüpfung auf sein.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe , die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung und der Inversenbildung ist.
  • Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums , die abgeschlossen ist bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation.
  • Allgemein ist eine algebraische Unterstruktur eine Teilmenge einer algebraischen Struktur, die abgeschlossen bezüglich sämtlichen Verknüpfungen dieser Struktur ist.

Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung lässt sich am besten verstehen, wenn man Beispiele betrachtet, in denen sie verletzt ist.

  • So ist als Unterstruktur der Gruppe nicht abgeschlossen, also keine Untergruppe. Diese Teilmenge ist zwar bezüglich der Addition abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Inversenbildung: mit gehört nicht an.
  • Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum, jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorräume nicht notwendig ein Untervektorraum. Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation, aber nicht unbedingt bzgl. der Vektoraddition.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Analog dazu ist eine Teilmenge auch abgeschlossen gegenüber einer -stelligen inneren Verknüpfung auf , wenn deren Bild in liegt.

Beispiel:

Die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung auf einer Menge stets eindeutig bestimmte Werte in liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik insbesondere der Algebra versteht man unter Abgeschlossenheit einer Menge bezuglich einer Verknupfung dass die Verknupfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder ein Element der Menge ist Beispielsweise ist die Menge der ganzen Zahlen abgeschlossen bezuglich der Addition Subtraktion und Multiplikation aber nicht bezuglich der Division Bei algebraischen Strukturen mit mehreren Verknupfungen betrachtet man entsprechend die Abgeschlossenheit bezuglich all dieser Verknupfungen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Verallgemeinerung 4 Siehe auch 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei f displaystyle f nbsp eine n displaystyle n nbsp stellige innere Verknupfung auf einer Menge A displaystyle A nbsp das heisst f displaystyle f nbsp sei eine Funktion A n A displaystyle A n to A nbsp Eine Teilmenge M A displaystyle M subseteq A nbsp heisst dann abgeschlossen bezuglich f displaystyle f nbsp wenn f a 1 a n M displaystyle f a 1 dotsc a n in M nbsp fur alle a 1 a n M displaystyle a 1 dotsc a n in M nbsp gilt Das bedeutet f displaystyle f nbsp eingeschrankt auf den Definitionsbereich M n displaystyle M n nbsp muss auch wieder eine n displaystyle n nbsp stellige innere Verknupfung auf M displaystyle M nbsp sein Beispiele BearbeitenEine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe G displaystyle G nbsp die abgeschlossen bezuglich der Verknupfung displaystyle nbsp und der Inversenbildung ist Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums V displaystyle V nbsp die abgeschlossen ist bezuglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation Allgemein ist eine algebraische Unterstruktur eine Teilmenge einer algebraischen Struktur die abgeschlossen bezuglich samtlichen Verknupfungen dieser Struktur ist Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezuglich einer Verknupfung lasst sich am besten verstehen wenn man Beispiele betrachtet in denen sie verletzt ist So ist N displaystyle mathbb N nbsp als Unterstruktur der Gruppe Z 0 displaystyle mathbb Z 0 nbsp nicht abgeschlossen also keine Untergruppe Diese Teilmenge ist zwar bezuglich der Addition abgeschlossen nicht aber bezuglich der Inversenbildung mit a N displaystyle a in mathbb N nbsp gehort a displaystyle a nbsp nicht N displaystyle mathbb N nbsp an Der Durchschnitt zweier Untervektorraume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorraume nicht notwendig ein Untervektorraum Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl der skalaren Multiplikation aber nicht unbedingt bzgl der Vektoraddition Verallgemeinerung BearbeitenAnalog dazu ist eine Teilmenge M displaystyle M nbsp auch abgeschlossen gegenuber einer displaystyle infty nbsp stelligen inneren Verknupfung f displaystyle f nbsp auf A displaystyle A nbsp wenn deren Bild in M displaystyle M nbsp liegt Beispiel Ist P X displaystyle mathcal P X nbsp die Potenzmenge einer unendlichen Menge X displaystyle X nbsp und C displaystyle mathcal C nbsp die Menge aller abgeschlossenen Mengen bezuglich einer T1 Topologie auf X displaystyle X nbsp das heisst C P X displaystyle mathcal C subseteq mathcal P X nbsp enthalt alle unendlich viele einelementigen Teilmengen von X displaystyle X nbsp dann ist C displaystyle mathcal C nbsp eine abgeschlossene Menge bezuglich des mengentheoretischen Durchschnitts displaystyle bigcap nbsp auf P X displaystyle mathcal P X nbsp Die Eigenschaft dass eine Verknupfung f displaystyle f nbsp auf einer Menge A displaystyle A nbsp stets eindeutig bestimmte Werte in A displaystyle A nbsp liefert bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknupfung Siehe auch BearbeitenAlgebraischer Abschluss Lokalisierung Algebra Transitive Hulle Relation Weblinks BearbeitenTodd Rowland Eric W Weisstein Set Closure In MathWorld englisch Chi Woo Michael Slone Closure of a subset under relations In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abgeschlossenheit algebraische Struktur amp oldid 234789426