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Schatten Klasse Die n auch Schatten von Neumann Klassen benannt nach Robert Schatten und John von Neumann sind spezielle

Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen gemeinsam.

Definition Bearbeiten

Ist ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen mit und orthonormale Folgen in und in , sodass

  • für alle gilt und
  • die Operatoren für in der Operatornorm gegen konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch bestimmt. Man schreibt daher für das -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den -ten singulären Wert von . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators bilden.

Für ist die -te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von nach durch

definiert. Dabei ist der Folgenraum der zur -ten Potenz summierbaren Folgen. Für definiert man die -Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

Die -Norm des Operators ist also genau die -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall schreibt man abkürzend . Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle Bearbeiten

Für entspricht der Raum der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für entspricht dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den -Räumen gemeinsam. ist mit der -Norm ein Banachraum. Für gilt und daher . Ferner gilt stets , wobei die Operator-Norm von ist.
  • Seien mit konjugierte Zahlen. Gilt dann und , so ist das Produkt ein Spurklasse-Operator und es gilt . Jedes definiert daher durch ein stetiges lineares Funktional auf . Man kann zeigen, dass die Abbildung ein isometrischer Isomorphismus von auf den Dualraum von ist, oder kurz . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für nicht der Fall. Die Verhältnisse für sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Quellen Bearbeiten

  • R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
  • N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.
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Die Schatten Klassen auch Schatten von Neumann Klassen benannt nach Robert Schatten und John von Neumann sind spezielle Algebren von Operatoren die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenraumen ℓ p displaystyle ell p gemeinsam Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Spezialfalle 3 Eigenschaften 4 QuellenDefinition BearbeitenIst T H G displaystyle T colon H rightarrow G nbsp ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilbertraumen im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab so gibt es eine monoton fallende Folge s n n displaystyle left s n right n nbsp nicht negativer reeller Zahlen mit s n 0 displaystyle s n rightarrow 0 nbsp und orthonormale Folgen e n n displaystyle left e n right n nbsp in H displaystyle H nbsp und f n n displaystyle left f n right n nbsp in G displaystyle G nbsp sodass T x n 1 s n x e n f n displaystyle textstyle Tx sum n 1 infty s n langle x e n rangle f n nbsp fur alle x H displaystyle x in H nbsp gilt und die Operatoren n 1 N s n e n f n displaystyle textstyle sum n 1 N s n langle cdot e n rangle f n nbsp fur N displaystyle N to infty nbsp in der Operatornorm gegen T displaystyle T nbsp konvergieren Das ist die sogenannte Schmidt Darstellung Die Zahlenfolge s n n displaystyle left s n right n nbsp ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch T displaystyle T nbsp bestimmt Man schreibt daher s n T displaystyle s n T nbsp fur das n displaystyle n nbsp te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den n displaystyle n nbsp ten singularen Wert von T displaystyle T nbsp Man kann zeigen dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators T T L H displaystyle T T in L H nbsp bilden Fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp ist die p displaystyle p nbsp te Schatten Klasse kompakter Operatoren von H displaystyle H nbsp nach G displaystyle G nbsp durch S p H G T H G T k o m p a k t s n T n ℓ p 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S 2 H G nbsp dem Hilbertraum der Hilbert Schmidt Operatoren Eigenschaften BearbeitenDie Schatten Klassen haben viele Eigenschaften mit den ℓ p displaystyle ell p nbsp Raumen gemeinsam S p H displaystyle mathcal S p H nbsp ist mit der p displaystyle p nbsp Norm ein Banachraum Fur p q displaystyle p leq q nbsp gilt p q displaystyle cdot p geq cdot q nbsp und daher S p H S q H displaystyle mathcal S p H subset mathcal S q H nbsp Ferner gilt stets T T p displaystyle T leq T p nbsp wobei T displaystyle T nbsp die Operator Norm von T displaystyle T nbsp ist S p H displaystyle mathcal S p H nbsp ist mit der Operator Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution wobei die Involution die Adjunktion ist Sind T S p H displaystyle T in mathcal S p H nbsp und A B L H displaystyle A B in L H nbsp stetige lineare Operatoren auf H displaystyle H nbsp so ist A T B S p H displaystyle ATB in mathcal S p H nbsp und es gilt A T B p A T p B displaystyle ATB p leq A T p B nbsp Die Schatten Klassen sind daher zweiseitige Ideale in L H displaystyle L H nbsp Seien 1 lt p q lt displaystyle 1 lt p q lt infty nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp konjugierte Zahlen Gilt dann T S p H displaystyle T in mathcal S p H nbsp und S S q H displaystyle S in mathcal S q H nbsp so ist das Produkt T S displaystyle TS nbsp ein Spurklasse Operator und es gilt Sp T S T p S q displaystyle operatorname Sp TS leq T p S q nbsp Jedes S S q H displaystyle S in mathcal S q H nbsp definiert daher durch T Sp T S displaystyle T mapsto operatorname Sp TS nbsp ein stetiges lineares Funktional ps S displaystyle psi S nbsp auf S p H displaystyle mathcal S p H nbsp Man kann zeigen dass die Abbildung S ps S displaystyle S mapsto psi S nbsp ein isometrischer Isomorphismus von S q H displaystyle mathcal S q H nbsp auf den Dualraum von S p H displaystyle mathcal S p H nbsp ist oder kurz S p H S q H displaystyle mathcal S p H cong mathcal S q H nbsp Man hat also auch hier ganz ahnliche Verhaltnisse wie bei den Folgenraumen Insbesondere sind die Schatten Klassen fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp reflexiv sie sind sogar gleichmassig konvex Wie bei den Folgenraumen ist dies fur S 1 H displaystyle mathcal S 1 H nbsp nicht der Fall Die Verhaltnisse fur S 1 H displaystyle mathcal S 1 H nbsp sind im Artikel Spurklasseoperator naher beschrieben Quellen BearbeitenR Schatten Norm Ideals of Completely Continuous Operators Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2 Folge ISBN 3 540 04806 5 N Dunford J T Schwartz Linear Operators Part II Spectral Theory ISBN 0 471 60847 5 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schatten Klasse amp oldid 216755166