Gemeinsames Spektrum Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen C displaystyle mathbb C Ban

Gemeinsames Spektrum

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen -Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

Motivation und Definition Bearbeiten

Sei eine -Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum eines Elementes ist die Menge aller komplexen Zahlen , für die das Element nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit die Menge aller -Homomorphismen , so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement und Elementen setzt man

heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente . Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

Eigenschaften Bearbeiten

Invertierbarkeit Bearbeiten

Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:

Ist eine kommutative -Banachalgebra mit 1, , , so sind folgende Aussagen äquivalent:

Es gibt mit

Kompaktheit Bearbeiten

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen -Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von . Die Abbildung ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Polynomkonvexität Bearbeiten

Eine Banachalgebra wird per definitionem von Elementen erzeugt, wenn die kleinste Unterbanachalgebra von ist, die enthält.

Für eine Teilmenge kann man zeigen, dass genau dann gilt für eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element erzeugt wird, wenn kompakt und zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im , die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen einer kommutativen -Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge genau dann polynomkonvex ist, wenn zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge sind folgende Aussagen äquivalent:

Es gibt eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement, die von Elementen erzeugt wird, so dass .
ist kompakt und polynomkonvex.

Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.

Literatur Bearbeiten

F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 10:42 am

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen C displaystyle mathbb C Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und Definition 2 Eigenschaften 2 1 Invertierbarkeit 2 2 Kompaktheit 2 3 Polynomkonvexitat 3 LiteraturMotivation und Definition BearbeitenSei A displaystyle A nbsp eine C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement 1 Das Spektrum s a displaystyle sigma a nbsp eines Elementes a A displaystyle a in A nbsp ist die Menge aller komplexen Zahlen l displaystyle lambda nbsp fur die das Element a l 1 displaystyle a lambda cdot 1 nbsp nicht invertierbar ist Bezeichnet man mit X A displaystyle X A nbsp die Menge aller C displaystyle mathbb C nbsp Homomorphismen A C displaystyle A rightarrow mathbb C nbsp so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung s a ϕ a ϕ X A C displaystyle sigma a phi a phi in X A subset mathbb C nbsp Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen Fur eine kommutative C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra A displaystyle A nbsp mit Einselement und Elementen a 1 a n A displaystyle a 1 ldots a n in A nbsp setzt man s a 1 a n ϕ a 1 ϕ a n ϕ X A C n displaystyle sigma a 1 ldots a n phi a 1 ldots phi a n phi in X A subset mathbb C n nbsp s a 1 a n displaystyle sigma a 1 ldots a n nbsp heisst das gemeinsame Spektrum der Elemente a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp Hat die Banachalgebra kein Einselement so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum Eigenschaften BearbeitenInvertierbarkeit Bearbeiten Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente Ist A displaystyle A nbsp eine kommutative C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit 1 a 1 a n A displaystyle a 1 ldots a n in A nbsp l 1 l n C displaystyle lambda 1 ldots lambda n in mathbb C nbsp so sind folgende Aussagen aquivalent l 1 l n s a 1 a n displaystyle lambda 1 ldots lambda n notin sigma a 1 ldots a n nbsp Es gibt b 1 b n A displaystyle b 1 ldots b n in A nbsp mit k 1 n a k l k b k 1 displaystyle sum k 1 n a k lambda k b k 1 nbsp Kompaktheit Bearbeiten Das gemeinsame Spektrum s a 1 a n displaystyle sigma a 1 ldots a n nbsp von endlich vielen Elementen einer kommutativen C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von C n displaystyle mathbb C n nbsp Die Abbildung X A C n ϕ ϕ a 1 ϕ a n displaystyle X A rightarrow mathbb C n phi mapsto phi a 1 ldots phi a n nbsp ist nach Definition der schwach Topologie die auf dem Gelfand Raum X A displaystyle X A nbsp betrachtet wird stetig Da der Gelfand Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt Polynomkonvexitat Bearbeiten Eine Banachalgebra A displaystyle A nbsp wird per definitionem von Elementen a 1 a n A displaystyle a 1 ldots a n in A nbsp erzeugt wenn A displaystyle A nbsp die kleinste Unterbanachalgebra von A displaystyle A nbsp ist die a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp enthalt Fur eine Teilmenge K C displaystyle K subset mathbb C nbsp kann man zeigen dass genau dann K s a displaystyle K sigma a nbsp gilt fur eine kommutative C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement die von einem Element a A displaystyle a in A nbsp erzeugt wird wenn K displaystyle K nbsp kompakt und C K displaystyle mathbb C setminus K nbsp zusammenhangend ist Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im C n displaystyle mathbb C n nbsp die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp einer kommutativen C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement auftreten gelingt nicht Da eine kompakte Menge K C displaystyle K subset mathbb C nbsp genau dann polynomkonvex ist wenn C K displaystyle mathbb C setminus K nbsp zusammenhangend ist stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar Fur eine Menge K C n displaystyle K subset mathbb C n nbsp sind folgende Aussagen aquivalent Es gibt eine kommutative C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement die von n displaystyle n nbsp Elementen a 1 a n A displaystyle a 1 ldots a n in A nbsp erzeugt wird so dass K s a 1 a n displaystyle K sigma a 1 ldots a n nbsp K displaystyle K nbsp ist kompakt und polynomkonvex Hat man endlich viele Elemente die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex Literatur BearbeitenF F Bonsall J Duncan Complete Normed Algebras Springer Verlag 1973 ISBN 3540063862 Lars Hormander An Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Mathematical Library 1973 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gemeinsames Spektrum amp oldid 193876864