Spektralradius Der ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis Der Name erklärt sich dadurch d

Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Der Spektralradius (Rho) einer -Matrix ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von , das heißt, ist definiert durch

Dabei durchläuft die höchstens verschiedenen Eigenwerte von . Der Spektralradius wird auch mit statt mit notiert.

Eigenschaften Bearbeiten

Jede induzierte Matrixnorm von ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich ein Eigenwert zu einem Eigenvektor von , dann gilt:

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem mindestens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen unterschiedlich sein kann), sodass

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm:

Anwendungen Bearbeiten

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls für eine invertierbare Matrix gilt, dann konvergiert die Iteration

für jeden Startvektor gegen die exakte Lösung des linearen Gleichungssystems .

Spektralradius in der Funktionalanalysis Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator definiert man

wobei das Spektrum von bezeichnet.

Operatoen mit Spektralradius gleich nennt man quasinilpotent. Nilpotente Operatoren sind quasinilpotent, denn dann ist die Folge in der nachfolgenden Grenzwertformel ab einer Stelle gleich .

Eigenschaften Bearbeiten

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

gilt, wobei hier die Operatornorm meint.

Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch, wie im Endlichdimensionalen, nie größer als die Norm des Operators, d. h.:

Ist ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit, wie der Abschnitt über C*-Algebren genauer erklären wird.

C*-Algebren Bearbeiten

Falls wir uns auf Hilberträume beschränken, so können wir uns -Algebren widmen. (Und dank der GNS-Konstruktion lassen sich alle -Algebren als Operatoralgebren über Hilberträumen darstellen.) In diesen Algebren gibt es für besondere Klassen von Elementen (Operatoren) einen engeren Zusammenhang zwischen dem Spektralradius und der Norm. Sei eine -Algebra. Bezeichne mit die Menge aller Charaktere, d. h. algebraischen Homomorphismen. Dies bildet einen lokal kompakten Hausdorff'schen Raum und wir können die Abbildung

betrachten, wobei durch

definiert wird. Das Gelfand-Repräsentationstheorem für -Algebra besagt, dass dies eine Isometrie ist, solange kommutativ ist. Für normal (d. h. kommutieren) können wir die durch erzeugte Unter--algebra betrachten, die notwendigerweise kommutativ ist, und erhalten

(Hier sind einige Details noch zu klären, z. B. dass das Spektrum von sich nicht ändert, wenn man auf die Unteralgebra beschränkt. Diese Details stimmen und sind in elementaren Einführungen von -Algebren zu finden.)

Auch wenn nicht alle Elemente normal sind, besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Norm und dem Spektrum. Im Allgemeinen gilt für alle

weil selbstadjungiert und deshalb normal ist.

Literatur Bearbeiten

Stoer: Numerische Mathematik. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-21395-3.
Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 14:36 pm

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis Der Name erklart sich dadurch dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist deren Radius der Spektralradius ist Inhaltsverzeichnis 1 Spektralradius von Matrizen 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 1 3 Anwendungen 2 Spektralradius in der Funktionalanalysis 2 1 Definition 2 2 Eigenschaften 2 3 C Algebren 3 LiteraturSpektralradius von Matrizen BearbeitenDefinition Bearbeiten Der Spektralradius r displaystyle rho nbsp Rho einer n n displaystyle n times n nbsp Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp ist der Betrag des betragsmassig grossten Eigenwerts von A displaystyle A nbsp das heisst r displaystyle rho nbsp ist definiert durch r A max 1 i n l i A displaystyle rho A max limits 1 leq i leq n lambda i A nbsp Dabei durchlauft l i displaystyle lambda i nbsp die hochstens n displaystyle n nbsp verschiedenen Eigenwerte von A displaystyle A nbsp Der Spektralradius wird auch mit spr A displaystyle operatorname spr A nbsp statt mit r A displaystyle rho A nbsp notiert Eigenschaften Bearbeiten Jede induzierte Matrixnorm von A displaystyle A nbsp ist mindestens so gross wie der Spektralradius Ist namlich l displaystyle lambda nbsp ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v displaystyle v nbsp von A displaystyle A nbsp dann gilt A sup x 0 A x x A v v l v v l v v l displaystyle A sup x neq 0 frac Ax x geq frac Av v frac lambda v v lambda frac v v lambda nbsp Allgemeiner gilt diese Abschatzung fur alle mit einer Vektornorm vertraglichen Matrixnormen Weiterhin gibt es zu jedem ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp mindestens eine induzierte Norm die fur verschiedene Matrizen A displaystyle A nbsp unterschiedlich sein kann sodass r A A lt r A ϵ displaystyle rho A leq A lt rho A epsilon nbsp gilt Ferner gilt fur jede induzierte Matrixnorm r A inf n N A n n lim n A n n displaystyle rho A inf n in mathbb N sqrt n A n lim n to infty sqrt n A n nbsp Anwendungen Bearbeiten Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting Verfahren von Bedeutung Falls r I B 1 A lt 1 displaystyle rho left I B 1 A right lt 1 nbsp fur eine invertierbare Matrix B C n n displaystyle B in mathbb C n times n nbsp gilt dann konvergiert die Iteration x k 1 B 1 B A x k B 1 b displaystyle x k 1 B 1 left B A right x k B 1 b nbsp fur jeden Startvektor x 0 displaystyle x 0 nbsp gegen die exakte Losung x displaystyle x ast nbsp des linearen Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp Spektralradius in der Funktionalanalysis BearbeitenDefinition Bearbeiten Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch fur beschrankte lineare Operatoren auf Banachraumen definiert werden Fur einen beschrankten linearen Operator T displaystyle T nbsp definiert man r T sup l l s T displaystyle rho T sup lambda lambda in sigma T nbsp wobei s T t C T t I nicht invertierbar displaystyle sigma T t in mathbb C mid T t cdot I text nicht invertierbar nbsp das Spektrum von T displaystyle T nbsp bezeichnet Operatoen mit Spektralradius gleich 0 displaystyle 0 nbsp nennt man quasinilpotent Nilpotente Operatoren sind quasinilpotent denn dann ist die Folge in der nachfolgenden Grenzwertformel ab einer Stelle gleich 0 displaystyle 0 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Da das Spektrum abgeschlossen ist wird das Supremum angenommen es liegt also ein Maximum vor Ausserdem kann man auch hier zeigen dass r T lim n T n n inf n N T n n displaystyle rho T lim n to infty sqrt n T n inf n in mathbb N sqrt n T n nbsp gilt wobei displaystyle cdot nbsp hier die Operatornorm meint Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch wie im Endlichdimensionalen nie grosser als die Norm des Operators d h r T T displaystyle rho T leq T nbsp Ist T displaystyle T nbsp ein normaler Operator auf einem Hilbertraum dann gilt immer Gleichheit wie der Abschnitt uber C Algebren genauer erklaren wird C Algebren Bearbeiten Falls wir uns auf Hilbertraume beschranken so konnen wir uns C displaystyle C ast nbsp Algebren widmen Und dank der GNS Konstruktion lassen sich alle C displaystyle C ast nbsp Algebren als Operatoralgebren uber Hilbertraumen darstellen In diesen Algebren gibt es fur besondere Klassen von Elementen Operatoren einen engeren Zusammenhang zwischen dem Spektralradius und der Norm Sei A displaystyle mathcal A nbsp eine C displaystyle C ast nbsp Algebra Bezeichne mit W A displaystyle Omega mathcal A nbsp die Menge aller Charaktere d h algebraischen Homomorphismen Dies bildet einen lokal kompakten Hausdorff schen Raum und wir konnen die Abbildung a A a C 0 W A displaystyle a in mathcal A mapsto hat a in C 0 Omega mathcal A nbsp betrachten wobei a displaystyle hat a nbsp durch a t t a displaystyle hat a tau tau a nbsp definiert wird Das Gelfand Reprasentationstheorem fur C displaystyle C ast nbsp Algebra besagt dass dies eine Isometrie ist solange A displaystyle mathcal A nbsp kommutativ ist Fur a A displaystyle a in mathcal A nbsp normal d h a a displaystyle a a ast nbsp kommutieren konnen wir die durch a a displaystyle a a ast nbsp erzeugte Unter C displaystyle C ast nbsp algebra betrachten die notwendigerweise kommutativ ist und erhalten a a sup t t a sup l l s a r a displaystyle a hat a infty sup tau tau a sup lambda mid lambda in sigma a rho a nbsp Hier sind einige Details noch zu klaren z B dass das Spektrum von a displaystyle a nbsp sich nicht andert wenn man auf die Unteralgebra beschrankt Diese Details stimmen und sind in elementaren Einfuhrungen von C displaystyle C ast nbsp Algebren zu finden Auch wenn nicht alle Elemente normal sind besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Norm und dem Spektrum Im Allgemeinen gilt fur alle a A displaystyle a in mathcal A nbsp a a a r a a displaystyle a sqrt a ast a sqrt rho a ast a nbsp weil a a displaystyle a ast a nbsp selbstadjungiert und deshalb normal ist Literatur BearbeitenStoer Numerische Mathematik Springer Verlag Berlin 2005 ISBN 3 540 21395 3 Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spektralradius amp oldid 239013846