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Normaler Operator In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der

Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition Bearbeiten

Ist ein Hilbertraum und bezeichnet die Menge aller stetigen Endomorphismen von , so heißt ein Operator normal, falls er mit seinem adjungierten Operator kommutiert, also wenn

gilt.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Sei ein normaler Operator. Dann gilt:

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Ein Operator heißt

  • quasinormal, falls mit vertauscht, das heißt .
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum gibt, so dass Unterraum von ist, und einen normalen Operator , so dass und .
  • hyponormal, falls für alle .
  • paranormal, falls für alle .
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: .

Es gelten folgende Implikationen:

normal quasinormal subnormal hyponormal paranormal normaloid.

Unbeschränkte Operatoren Bearbeiten

Ein unbeschränkter Operator mit Definitionsbereich heißt normal falls

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt .

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
  • Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Verwandte Begriffe 5 Unbeschrankte Operatoren 6 LiteraturDefinition BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein Hilbertraum und bezeichnet L X displaystyle mathcal L X nbsp die Menge aller stetigen Endomorphismen von X displaystyle X nbsp so heisst ein Operator A L X displaystyle A in mathcal L X nbsp normal falls er mit seinem adjungierten Operator A displaystyle A ast nbsp kommutiert also wenn A A A A displaystyle AA ast A ast A nbsp gilt Beispiele BearbeitenSelbstadjungierte und unitare Operatoren sind offenbar normal Der unilaterale Shift ist ein Beispiel fur einen nicht normalen Operator Eigenschaften BearbeitenSei A L X displaystyle A in mathcal L X nbsp ein normaler Operator Dann gilt A x A x displaystyle Ax A ast x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp A x 2 A 2 x x displaystyle Ax 2 leq A 2 x x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp Die Operatornorm von A displaystyle A nbsp ist gleich dem Spektralradius A sup l l s A displaystyle A sup lambda colon lambda in sigma A nbsp Dabei bezeichnet s A displaystyle sigma A nbsp das Spektrum von A displaystyle A nbsp Die von A displaystyle A nbsp erzeugte C Algebra und die von A displaystyle A nbsp erzeugte Von Neumann Algebra sind kommutativ Dieser Sachverhalt ermoglicht einen Funktionalkalkul Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl unitarer Aquivalenz modulo kompakter Operatoren indem man zur Calkin Algebra ubergeht die im endlich dimensionalen Fall 0 displaystyle 0 nbsp ist Das ist im Artikel zur Calkin Algebra ausgefuhrt Ein beschrankter Operator A displaystyle A nbsp in einem komplexen Hilbertraum lasst sich zerlegen in A W 1 i W 2 displaystyle A W 1 i W 2 nbsp mit dem Realteil W 1 1 2 A A displaystyle W 1 tfrac 1 2 A A ast nbsp und dem Imaginarteil W 2 1 2 i A A displaystyle W 2 tfrac 1 2i A A ast nbsp Dabei sind die Operatoren W i displaystyle W i nbsp selbstadjungiert A displaystyle A nbsp ist genau dann normal wenn W 1 W 2 W 2 W 1 displaystyle W 1 W 2 W 2 W 1 nbsp Verwandte Begriffe BearbeitenEin Operator A L X displaystyle A in mathcal L X nbsp heisst quasinormal falls A displaystyle A nbsp mit A A displaystyle A ast A nbsp vertauscht das heisst A A A A A A displaystyle AA ast A A ast AA nbsp subnormal falls es einen Hilbertraum Y displaystyle Y nbsp gibt so dass X displaystyle X nbsp Unterraum von Y displaystyle Y nbsp ist und einen normalen Operator B L Y displaystyle B in mathcal L Y nbsp so dass B X X displaystyle B X subset X nbsp und A B X displaystyle A B X nbsp hyponormal falls A x A x displaystyle A ast x leq Ax nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp paranormal falls A x 2 A 2 x x displaystyle Ax 2 leq A 2 x x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp normaloid falls Operatornorm Spektralradius d h A sup l l s A displaystyle A sup lambda lambda in sigma A nbsp Es gelten folgende Implikationen normal displaystyle Rightarrow nbsp quasinormal displaystyle Rightarrow nbsp subnormal displaystyle Rightarrow nbsp hyponormal displaystyle Rightarrow nbsp paranormal displaystyle Rightarrow nbsp normaloid Unbeschrankte Operatoren BearbeitenEin unbeschrankter Operator A D A X X displaystyle A D A subseteq X to X nbsp mit Definitionsbereich D A displaystyle D A nbsp heisst normal falls A x A x x D A D A displaystyle Ax A ast x qquad forall x in D A D A ast nbsp gilt Oben genannte aquivalente Charakterisierung der Normalitat zeigt dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalitat beschrankter Operatoren handelt Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal denn fur diese gilt A A displaystyle A ast A nbsp Literatur BearbeitenHarro Heuser Funktionalanalysis B G Teubner Stuttgart 1986 ISBN 3 519 22206 X Gerald Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics American Mathematical Society Providence 2009 ISBN 978 0 8218 4660 5 freie Online Version Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normaler Operator amp oldid 218452651