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Funktionalkalkül e sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Banachalgebren Im Rahmen der Opera

Funktionalkalkül

Funktionalkalküle sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Banachalgebren. Im Rahmen der Operatortheorie ist hier insbesondere die Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren von Interesse. Zur Behandlung von unbeschränkten linearen Operatoren werden verallgemeinerte Funktionalkalküle betrachtet, bei denen zwar grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen, die aber dennoch ein effektives Werkzeug zum Rechnen mit unbeschränkten Operatoren zur Verfügung stellen.

Ist ein komplexes Polynom und ein Element einer -Banachalgebra mit Einselement , so kann man in das Polynom einsetzen, indem man setzt. Die Grundidee der Funktionalkalküle besteht darin, dieses Einsetzen in Polynome auf größere Klassen von Funktionen auszudehnen. Für beliebige -Banachalgebren mit Einselement kann ein Element in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums von definiert sind, eingesetzt werden. Für noch größere Funktionsklassen, etwa stetige oder messbare Funktionen, die auf dem Spektrum von erklärt sind, muss man sich auf spezielle Klassen von Banachalgebren beschränken, und zwar auf C*-Algebren bzw. Von-Neumann-Algebren. Dazu muss natürlich erklärt werden, was dieses Einsetzen in Funktionen überhaupt bedeuten soll.

Polynome Bearbeiten

Elemente einer -Banachalgebra mit Einselement können, wie in der Einleitung erwähnt, direkt in Polynome eingesetzt werden. Sind Polynome, so gilt

.

Man beachte die unterschiedlichen Rollen des Pluszeichens; auf der linken Seite werden Polynome addiert, auf der rechten Seite Elemente einer Banachalgebra. Entsprechend gilt

,

.

Bezeichnet das Spektrum von , so gilt der spektrale Abbildungssatz

.

Auf der linken Seite dieser Formel steht das Spektrum des Banachalgebren-Elementes , auf der rechten Seite steht das Bild des Spektrums von unter der Polynom-Abbildung . Der Beweis des spektralen Abbildungssatzes benutzt wesentlich, dass nicht-konstante Polynome eine Nullstelle haben, d. h., es wird der Fundamentalsatz der Algebra verwendet. Dies erklärt die Einschränkung auf -Banachalgebren.

Diese Situation ist aus der linearen Algebra wohlbekannt. Bei der Untersuchung der Diagonalisierbarkeit oder der Jordanschen Normalform werden ebenfalls Banachalgebren-Elemente, nämlich quadratische Matrizen, in Polynome eingesetzt. Beispielsweise besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass man die Nullmatrix erhält, wenn man eine quadratische Matrix in ihr eigenes charakteristisches Polynom einsetzt.

Zur Ausdehnung des Einsetzens auf größere Funktionsklassen betrachten wir das Einsetzen von in Polynome als Abbildung

.

Dann ist ein Algebren-Homomorphismus, der sogenannte Einsetzungshomomorphismus von , und es gilt sowie . Hat man umgekehrt einen solchen Homomorphismus von einer größeren Funktionsklasse in die Banachalgebra und ist eine Funktion dieser Klasse, so kann man die Einsetzung von in die Funktion durch die Formel definieren.

Funktionalkalküle Bearbeiten

Die weitere Ausarbeitung der hier vorgestellten Ideen führt zu unterschiedlichen Funktionalkalkülen, die nach der verwendeten Funktionsklasse benannt sind. Als plausible Faustregel kann man sagen, dass mit größer werdenden Funktionsklassen die Situationen, in denen zugehörige Funktionalkalküle eingesetzt werden können, spezieller werden. Typische Anwendungsbeispiele werden in den Artikeln zu den einzelnen Funktionalkalkülen behandelt.

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0123933013
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)
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Funktionalkalkule sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Banachalgebren Im Rahmen der Operatortheorie ist hier insbesondere die Banachalgebra der beschrankten linearen Operatoren von Interesse Zur Behandlung von unbeschrankten linearen Operatoren werden verallgemeinerte Funktionalkalkule betrachtet bei denen zwar grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen die aber dennoch ein effektives Werkzeug zum Rechnen mit unbeschrankten Operatoren zur Verfugung stellen Ist p z l n z n l 1 z l 0 displaystyle p z lambda n z n ldots lambda 1 z lambda 0 ein komplexes Polynom und a displaystyle a ein Element einer C displaystyle mathbb C Banachalgebra mit Einselement e displaystyle e so kann man a displaystyle a in das Polynom p displaystyle p einsetzen indem man p a l n a n l 1 a l 0 e displaystyle p a lambda n a n ldots lambda 1 a lambda 0 e setzt Die Grundidee der Funktionalkalkule besteht darin dieses Einsetzen in Polynome auf grossere Klassen von Funktionen 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p q a p a q a displaystyle p q a p a q a nbsp Man beachte die unterschiedlichen Rollen des Pluszeichens auf der linken Seite werden Polynome addiert auf der rechten Seite Elemente einer Banachalgebra Entsprechend gilt p q a p a q a displaystyle p cdot q a p a cdot q a nbsp p q a p q a displaystyle p circ q a p q a nbsp Bezeichnet s a displaystyle sigma a nbsp das Spektrum von a displaystyle a nbsp so gilt der spektrale Abbildungssatzs p a p s a displaystyle sigma p a p sigma a nbsp Auf der linken Seite dieser Formel steht das Spektrum des Banachalgebren Elementes p a displaystyle p a nbsp auf der rechten Seite steht das Bild des Spektrums von a displaystyle a nbsp unter der Polynom Abbildung p C C displaystyle p mathbb C rightarrow mathbb C nbsp Der Beweis des spektralen Abbildungssatzes benutzt wesentlich dass nicht konstante Polynome eine Nullstelle haben d h es wird der Fundamentalsatz der Algebra verwendet Dies erklart die Einschrankung auf C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebren Diese Situation ist aus der linearen Algebra wohlbekannt Bei der Untersuchung der Diagonalisierbarkeit oder der Jordanschen Normalform werden ebenfalls Banachalgebren Elemente namlich quadratische Matrizen in Polynome eingesetzt Beispielsweise besagt der Satz von Cayley Hamilton dass man die Nullmatrix erhalt wenn man eine quadratische Matrix in ihr eigenes charakteristisches Polynom einsetzt Zur Ausdehnung des Einsetzens auf grossere Funktionsklassen betrachten wir das Einsetzen von a A displaystyle a in A nbsp in Polynome als AbbildungF a C z A p p a displaystyle Phi a mathbb C z rightarrow A p mapsto p a nbsp Dann ist F a displaystyle Phi a nbsp ein Algebren Homomorphismus der sogenannte Einsetzungshomomorphismus von a displaystyle a nbsp und es gilt F a 1 e displaystyle Phi a 1 e nbsp sowie F a z a displaystyle Phi a z a nbsp Hat man umgekehrt einen solchen Homomorphismus F a displaystyle Phi a nbsp von einer grosseren Funktionsklasse in die Banachalgebra A displaystyle A nbsp und ist f displaystyle f nbsp eine Funktion dieser Klasse so kann man die Einsetzung von a displaystyle a nbsp in die Funktion f displaystyle f nbsp durch die Formel f a F a f displaystyle f a Phi a f nbsp definieren Funktionalkalkule BearbeitenDie weitere Ausarbeitung der hier vorgestellten Ideen fuhrt zu unterschiedlichen Funktionalkalkulen die nach der verwendeten Funktionsklasse benannt sind Als plausible Faustregel kann man sagen dass mit grosser werdenden Funktionsklassen die Situationen in denen zugehorige Funktionalkalkule eingesetzt werden konnen spezieller werden Typische Anwendungsbeispiele werden in den Artikeln zu den einzelnen Funktionalkalkulen behandelt holomorpher Funktionalkalkul fur beliebige Banachalgebren holomorpher Funktionalkalkul mehrerer Veranderlicher fur kommutative Banachalgebren stetiger Funktionalkalkul fur C Algebren beschrankter Borel Funktionalkalkul fur Von Neumann Algebren unbeschrankter Borel Funktionalkalkul fur dicht definierte selbstadjungierte OperatorenWeblinks BearbeitenFunctional calculus Encyclopedia of Mathematics Quellen BearbeitenJ Dixmier Les C algebres et leurs representations Gauthier Villars 1969 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras 1983 ISBN 0123933013 M Takesaki Theory of Operator Algebras I Springer 1979 2002 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktionalkalkul amp oldid 208748858