Im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- oder Auswertungshomomorphismus) die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings in einer oder mehreren Veränderlichen.
Definition Bearbeiten
Es sei ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne den zu gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.
Zu jedem lässt sich nun eine Abbildung definieren, welche ein Polynom
abbildet auf
Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus als Einsetzungshomomorphismus.
Eigenschaften Bearbeiten
Im Einzelnen gilt für alle , es setzt also den Homomorphismus auf den Polynomring fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt , was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement für die durch symbolisierte Veränderliche ein.
Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der Satz über den Einsetzungshomomorphismus.
Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen Bearbeiten
Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen Bearbeiten
Ist ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring entsteht so anfangs , indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.
Ist nun ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und der zu gehörigen Polynomring in Veränderlichen, so lässt sich zu jedem -Tupel in eine Abbildung definieren, die ein Polynom
abbildet auf
Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen Bearbeiten
Für einen kommutativen Ring mit Eins lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen
wobei eine beliebige Indexmenge sei und die Menge aller Abbildungen von nach mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über in unendlich vielen Veränderlichen mit .
Für einen Homomorphismus zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie in eine Abbildung definieren, welche ein Polynom abbildet auf
wobei und .
Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge .
Punktauswertung als Spezialfall Bearbeiten
Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus , ist also eine Ringerweiterung von , so nennt man für ein in diesem Spezialfall den zu gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung . Man schreibt in diesem Fall häufig für den Wert von an der Stelle .
Man bezeichnet das Bild oft mit . Das Bild ist der kleinste Unterring von , welcher sowohl das Bild als auch enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form .
Existiert für ein ein , sodass gilt, so bezeichnet man als Nullstelle von . Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung für ein Element aus , welches nicht notwendigerweise in liegt. Ist injektiv, gilt also genau dann, wenn das Nullpolynom ist, so bezeichnet man auch als transzendent über und es ist isomorph zu . Andernfalls nennt man algebraisch über , was gleichbedeutend damit ist, dass als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus auftritt.
Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.
Beispiele Bearbeiten
Ist ein Ideal in einem Ring (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus , welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus . Die Koeffizienten eines Polynoms werden also modulo reduziert. Hierbei wird das Monom durch das entsprechende Monom aus substituiert.
Literatur Bearbeiten
- Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-39567-3.
- Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, S. 104, 112–114, doi:10.1007/978-3-642-40533-4.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Günter Scheja: Lehrbuch der Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 24 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).