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Splitting Verfahren Dieser Artikel befasst sich mit dem der numerischen Mathematik Davon zu unterscheiden sind Splitting

Splitting-Verfahren

In der numerischen Mathematik sind Splitting-Verfahren iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit einer Matrix und rechter Seite Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

Beschreibung Bearbeiten

Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix mit einer invertierbaren Matrix .

Daraus erhält man die Fixpunktgleichung

Mit , wobei die Einheitsmatrix bezeichnet, ergibt sich die Fixpunktiteration

  1. Wähle einen Startvektor .
  2. Setze .

Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des Residuums eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet. Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius der Matrix kleiner 1 ist. Mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich und nur wenig unterscheiden, kann man mit dem Störungslemma zeigen, dass auch der Spektralradius von klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz ( approximiert sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration ( ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar. Darüber hinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem Mehrgitterverfahren geeignet.

Beispiele Bearbeiten

Modifikationen Bearbeiten

Man unterscheidet zwischen stationären Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationären Verfahren, wo die Matrizen vom Index abhängen dürfen.

Literatur Bearbeiten

  • A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel befasst sich mit dem Splitting Verfahren der numerischen Mathematik Davon zu unterscheiden sind Splittingverfahren im Steuer und Abgabenrecht wie zum Beispiel das deutsche Ehegattensplitting In der numerischen Mathematik sind Splitting Verfahren iterative Verfahren zum Losen linearer Gleichungssysteme A x b displaystyle Ax b mit einer Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n und rechter Seite b C n displaystyle b in mathbb C n Im Unterschied zu direkten Verfahren nahert man sich dabei ausgehend von einer Startnaherung schrittweise der gesuchten Losung an und bricht ab falls die Genauigkeit hoch genug ist Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Beispiele 3 Modifikationen 4 LiteraturBeschreibung BearbeitenDas Verfahren ergibt sich uber ein Splitting der Systemmatrix A B A B displaystyle A B A B nbsp mit einer invertierbaren Matrix B C n n displaystyle B in mathbb C n times n nbsp A x b B 1 B A B x B 1 b displaystyle Ax b Leftrightarrow B 1 B A B x B 1 b nbsp Daraus erhalt man die Fixpunktgleichung x B 1 B A x B 1 b displaystyle x B 1 B A x B 1 b nbsp Mit M B 1 B A I B 1 A displaystyle M B 1 B A I B 1 A nbsp wobei I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix bezeichnet ergibt sich die Fixpunktiteration Wahle einen Startvektor x 0 C n displaystyle x 0 in mathbb C n nbsp Setze x k M x k 1 B 1 b I B 1 A x k 1 B 1 b displaystyle x k Mx k 1 B 1 b I B 1 A x k 1 B 1 b nbsp Man kann die Iteration abbrechen falls die Norm des Residuums r k b A x k displaystyle r k b Ax k nbsp eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet Das Verfahren konvergiert genau dann wenn der Spektralradius der Matrix M displaystyle M nbsp kleiner 1 ist Mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse Je kleiner der Spektralradius ist umso schneller konvergiert das Verfahren Falls sich B displaystyle B nbsp und A displaystyle A nbsp nur wenig unterscheiden kann man mit dem Storungslemma zeigen dass auch der Spektralradius von M displaystyle M nbsp klein ist Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz B displaystyle B nbsp approximiert A displaystyle A nbsp sehr gut zu geringen Kosten pro Iteration B displaystyle B nbsp ist einfach invertierbar Insgesamt sind diese Verfahren fur viele praktische Probleme zu langsam Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar Daruber hinaus sind viele Splitting Verfahren als Glatter in einem Mehrgitterverfahren geeignet Beispiele BearbeitenJacobi Verfahren B diag A displaystyle B operatorname diag A nbsp ist die Hauptdiagonale von A displaystyle A nbsp Richardson Verfahren B t I displaystyle B tau cdot I nbsp mit einem Parameter t displaystyle tau nbsp Gauss Seidel Verfahren B D L displaystyle B D L nbsp die untere linke Dreiecksmatrix Hauptdiagonale Weitere sind das SOR Verfahren B 1 w D L displaystyle B 1 omega D L nbsp und SSOR eine Moglichkeit der Nachiteration fur das gausssche Eliminationsverfahren B L R displaystyle B LR nbsp Modifikationen BearbeitenMan unterscheidet zwischen stationaren Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationaren Verfahren wo die Matrizen M displaystyle M nbsp vom Index i displaystyle i nbsp abhangen durfen Literatur BearbeitenA Meister Numerik linearer Gleichungssysteme 2 Auflage Vieweg 2005 ISBN 3528131357 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Splitting Verfahren amp oldid 183544154