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Quotientenmodul Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen

Quotientenmodul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul und einem Untermodul ist der Quotientenmodul das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus mit Kern .

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Ring. Zu einem -(Links-)Modul und einem Untermodul ist der Quotientenmodul die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von nach der Äquivalenzrelation

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung ein Homomorphismus ist:

Eigenschaften Bearbeiten

Für Untermoduln gilt
  • Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle ; einem Monomorphismus entspricht der Quotientenmodul , einem Epimorphismus der Untermodul .
  • Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
  • Ist eine (unitäre, assoziative) -Algebra, so ist
dabei steht für das Bild von in .
  • Ist ein (zweiseitiges) Ideal in , so ist der Faktormodul dasselbe wie der Faktorring .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: Linksmoduln
  2. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7
  3. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln Zu einem Modul M displaystyle M und einem Untermodul N M displaystyle N subseteq M ist der Quotientenmodul M N displaystyle M N das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus M M N displaystyle M to M N mit Kern N displaystyle N Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorraume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie Definition BearbeitenEs sei A displaystyle A nbsp ein Ring Zu einem A displaystyle A nbsp Links Modul M displaystyle M nbsp und einem Untermodul N M displaystyle N subseteq M nbsp ist der Quotientenmodul M N displaystyle M N nbsp die Menge der Aquivalenzklassen von Elementen von M displaystyle M nbsp nach der Aquivalenzrelation m 1 m 2 mod N m 1 m 2 N displaystyle m 1 equiv m 2 mod N iff m 1 m 2 in N nbsp mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur fur die die kanonische surjektive Abbildung M M N displaystyle M to M N nbsp ein Homomorphismus ist 1 a m N a m N m M a A displaystyle a cdot m N am N quad m in M a in A nbsp m 1 N m 2 N m 1 m 2 N m 1 m 2 M displaystyle m 1 N m 2 N m 1 m 2 N quad m 1 m 2 in M nbsp Eigenschaften BearbeitenIsomorphiesatze Fur zwei Untermoduln M N displaystyle M N nbsp eines Moduls Q displaystyle Q nbsp gilt 2 M M N M N N displaystyle M M cap N cong M N N nbsp dd Fur Untermoduln N Q P displaystyle N subseteq Q subseteq P nbsp gilt 3 P N Q N P Q displaystyle P N Q N cong P Q nbsp dd Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel M displaystyle M nbsp und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle M displaystyle M nbsp einem Monomorphismus i N M displaystyle i colon N to M nbsp entspricht der Quotientenmodul M i N displaystyle M i N nbsp einem Epimorphismus p M Q displaystyle p colon M to Q nbsp der Untermodul ker p displaystyle ker p nbsp Ist ein Modul endlich erzeugt oder hat er eine endliche Lange so gilt dies auch fur jeden Quotientenmodul Ist B displaystyle B nbsp eine unitare assoziative A displaystyle A nbsp Algebra so istB A M N B A M U displaystyle B otimes A M N cong B otimes A M U nbsp dd dabei steht U displaystyle U nbsp fur das Bild von B A N displaystyle B otimes A N nbsp in B A M displaystyle B otimes A M nbsp Ist I displaystyle I nbsp ein zweiseitiges Ideal in A displaystyle A nbsp so ist der Faktormodul A I displaystyle A I nbsp dasselbe wie der Faktorring A I displaystyle A I nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Kapitel 5 1 Linksmoduln Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Satz 5 1 7 Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Satz 5 1 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientenmodul amp oldid 206764128