In der Differentialgeometrie ist der Zusammenhang ein Konzept mit dem der Paralleltransport zwischen den Fasern eines Prinzipalbundels erklart werden kann In der Physik werden solche Zusammenhange zur Beschreibung von Feldern bei den Yang Mills Theorien verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Krummung 2 1 Bianchi Identitat 3 Horizontale Unterraume 4 Paralleltransport 5 Riemannscher Zusammenhang 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenSei p P M displaystyle pi colon P rightarrow M nbsp ein Prinzipalbundel mit der Strukturgruppe G displaystyle G nbsp Die Gruppe wirke durch R P G P displaystyle R colon P times G rightarrow P nbsp Ferner bezeichne g displaystyle mathfrak g nbsp die Lie Algebra der Lie Gruppe G displaystyle G nbsp Ein Zusammenhang ist dann eine g displaystyle mathfrak g nbsp wertige 1 Form w W 1 P g displaystyle omega in Omega 1 P mathfrak g nbsp die G displaystyle G nbsp aquivariant ist und deren Einschrankung auf die Fasern mit der Maurer Cartan Form ubereinstimmt Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfullt sein D R g w Ad g 1 w displaystyle D R g omega operatorname Ad g 1 omega nbsp fur alle g G displaystyle g in G nbsp und w X X displaystyle omega X sharp X nbsp fur alle X g displaystyle X in mathfrak g nbsp Hierbei ist R g P P displaystyle R g colon P to P nbsp definiert durch R g p R p g displaystyle R g p R p g nbsp D R g displaystyle D R g nbsp bezeichnet das Differential von R g displaystyle R g nbsp Ad G GL g displaystyle operatorname Ad colon G to operatorname GL mathfrak g nbsp ist die adjungierte Wirkung und X displaystyle X sharp nbsp ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld Es wird durch X p d d t t 0 R exp t X p displaystyle X sharp p left frac mathrm d mathrm d t right t 0 R exp tX p nbsp fur p P displaystyle p in P nbsp auf P displaystyle P nbsp definiert Krummung BearbeitenDie Krummung einer Zusammenhangsform ist definiert durch W d w 1 2 w w displaystyle Omega d omega tfrac 1 2 omega wedge omega nbsp Hierbei ist der Kommutator Lie Algebra wertiger Differentialformen durch w h v 1 v 2 w v 1 h v 2 w v 2 h v 1 displaystyle omega wedge eta v 1 v 2 omega v 1 eta v 2 omega v 2 eta v 1 nbsp und die aussere Ableitung d w displaystyle d omega nbsp durch d w X Y X w Y Y w X w X Y displaystyle d omega X Y X omega Y Y omega X omega X Y nbsp definiert Die Krummungsform ist G displaystyle G nbsp invariant und definiert deshalb eine 2 Form W W 2 M g displaystyle Omega in Omega 2 M mathfrak g nbsp auf M displaystyle M nbsp Bianchi Identitat Bearbeiten Zusammenhangs und Krummungsform genugen der Gleichung d W W w displaystyle d Omega left Omega omega right nbsp Horizontale Unterraume BearbeitenFur eine Zusammenhangsform w W 1 P g displaystyle omega in Omega 1 P mathfrak g nbsp auf einem G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel p P M displaystyle pi P rightarrow M nbsp sind die horizontalen Unterraume H p p P displaystyle H p p in P nbsp definiert durch H p ker w T p P g displaystyle H p ker omega T p P rightarrow mathfrak g nbsp Die horizontalen Unterraume sind transversal zu den Tangentialraumen der Fasern von p displaystyle pi nbsp und sie sind G displaystyle G nbsp invariant d h H g p D R g H p displaystyle H gp DR g H p nbsp fur alle g G p P displaystyle g in G p in P nbsp Aus den horizontalen Unterraumen kann man die Zusammenhangsform zuruckgewinnen nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit g displaystyle mathfrak g nbsp durch Projektion von T p P displaystyle T p P nbsp entlang H p displaystyle H p nbsp auf den Tangentialraum der Faser Paralleltransport BearbeitenZu jedem Weg g 0 1 M displaystyle gamma left 0 1 right rightarrow M nbsp und jedem x p 1 g 0 displaystyle x in pi 1 gamma 0 nbsp gibt es einen Weg g 0 1 P displaystyle tilde gamma left 0 1 right rightarrow P nbsp mit g x 0 x displaystyle tilde gamma x 0 x nbsp und p g x g displaystyle pi tilde gamma x gamma nbsp Das folgt aus dem Existenz und Eindeutigkeitssatz fur gewohnliche Differentialgleichungen Insbesondere hat man zu jedem Weg g 0 1 M displaystyle gamma left 0 1 right rightarrow M nbsp eine durch P g x g x 1 displaystyle P gamma x tilde gamma x 1 nbsp definierte Abbildung P g p 1 g 0 p 1 g 1 displaystyle P gamma pi 1 gamma 0 rightarrow pi 1 gamma 1 nbsp den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges g displaystyle gamma nbsp Zu einem Punkt b B displaystyle b in B nbsp definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser F b p 1 b displaystyle F b pi 1 b nbsp wie folgt Zu einem geschlossenen Weg g 0 1 B displaystyle gamma left 0 1 right rightarrow B nbsp mit g 0 g 1 b displaystyle gamma 0 gamma 1 b nbsp und einem x F b displaystyle x in F b nbsp gibt es eine eindeutige Hochhebung g displaystyle tilde gamma nbsp mit g 0 x displaystyle tilde gamma 0 x nbsp und wir definieren f g x g 1 displaystyle f gamma x tilde gamma 1 nbsp Die Gruppe der f g displaystyle f gamma nbsp fur alle g displaystyle gamma nbsp ist die Holonomiegruppe Hauptartikel HolonomieRiemannscher Zusammenhang BearbeitenFur eine riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist das Rahmenbundel ein Prinzipalbundel mit der linearen Gruppe G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp Sei A displaystyle A nbsp die Matrix die mit Hilfe einer lokalen Basis durch A v X v displaystyle A v nabla X v nbsp definiert wird wobei displaystyle nabla nbsp der Levi Civita Zusammenhang ist so wird durch 8 X A displaystyle theta X A nbsp die riemannsche Zusammenhangform definiert Es gilt 8 W 1 M g l n R displaystyle theta in Omega 1 M mathfrak gl n mathbb R nbsp Seien x i i displaystyle x i i nbsp lokale Koordinaten in einer Umgebung von p M displaystyle p in M nbsp und w i i displaystyle omega i i nbsp die kanonischen 1 Formen des Rahmenbundels dann hangt die Krummungsform des Levi Civita Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krummungstensor uber die Gleichung W i j 1 2 k l R i j k l w k w l displaystyle Omega ij frac 1 2 sum kl R ijkl omega k wedge omega l nbsp zusammen Literatur BearbeitenDavid Bleecker 1981 Gauge Theory and Variational Principles Addison Wesley Publishing ISBN 0 486 44546 1 Dover edition Weblinks BearbeitenManifold Atlas Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zusammenhang Prinzipalbundel amp oldid 233436420
