Metrischer Zusammenhang Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein

Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition Bearbeiten

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik . Ein Zusammenhang auf heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle

Beispiele Bearbeiten

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel an mit der riemannschen Metrik von . Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum Bearbeiten

Sei ein Vektorbündel mit Metrik dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus d. h., es gibt eine Abbildung

so dass mit der Notation

für jedes die Gleichung gilt,
für jedes und für alle das Assoziativgesetz gilt und
für alle die Abbildung bijektiv ist.

Literatur Bearbeiten

John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
Ü. Lumiste: Metric connection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 16:04 pm

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Affiner Raum 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei M g displaystyle M tilde g nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei E M g displaystyle E to M g nbsp ein Vektorbundel mit induzierter Metrik g displaystyle g nbsp Ein Zusammenhang displaystyle nabla nbsp auf E displaystyle E nbsp heisst metrischer Zusammenhang wenn fur alle Schnitte X Y Z G E displaystyle X Y Z in Gamma E nbsp X g Y Z 0 displaystyle nabla X g Y Z 0 nbsp gilt Die Metrik ist also kovariant konstant bezuglich des metrischen Zusammenhangs Aus dieser Eigenschaft folgt fur alle X Y Z G E displaystyle X Y Z in Gamma E nbsp X g Y Z g X Y Z g Y X Z displaystyle X g Y Z g nabla X Y Z g Y nabla X Z nbsp Beispiele BearbeitenDas bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi Civita Zusammenhang In diesem Fall ist das Vektorbundel das Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp an M displaystyle M nbsp mit der riemannschen Metrik von M displaystyle M nbsp Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi Civita Zusammenhang existiert gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit Affiner Raum BearbeitenSei E M g displaystyle E to M g nbsp ein Vektorbundel mit Metrik g displaystyle g nbsp dann ist die Menge X displaystyle X nbsp der metrischen Zusammenhange auf E displaystyle E nbsp ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den vektorwertigen 1 Formen aus A 1 M End E displaystyle mathcal A 1 M operatorname End E nbsp d h es gibt eine Abbildung l A 1 M End E X X displaystyle l mathcal A 1 M operatorname End E times X to X nbsp so dass mit der Notation w l w displaystyle omega nabla l omega nabla nbsp fur jedes X displaystyle nabla in X nbsp die Gleichung 0 displaystyle 0 nabla nabla nbsp gilt fur jedes w n A 1 M End E displaystyle omega nu in mathcal A 1 M operatorname End E nbsp und fur alle E displaystyle nabla in E nbsp das Assoziativgesetz w n w n displaystyle omega nu nabla omega nu nabla nbsp gilt und fur alle X displaystyle nabla in X nbsp die Abbildung w w displaystyle omega mapsto omega nabla nbsp bijektiv ist Literatur BearbeitenJohn M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Graduate Texts in Mathematics 176 Springer New York NY u a 1997 ISBN 0 387 98322 8 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston u a 1992 ISBN 0 8176 3490 8 Nicole Berlin Ezra Getzler Michele Vergne Heat Kernels and Dirac Operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Corrected 2nd printing Springer Berlin u a 1996 ISBN 3 540 53340 0 U Lumiste Metric connection In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Metrischer Zusammenhang amp oldid 229702729