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Elliptische Koordinaten In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfo

Elliptische Koordinaten

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch verschiedene Erweiterungen elliptischer Koordinaten zu 3-dimensionalen Koordinaten.

Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Exzentrizität ist hier mit e bezeichnet.
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Definition Bearbeiten

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen und auf der -Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten hat dann die kartesischen Koordinaten

mit und . Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

Transformationen Bearbeiten

Zur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten werden die obigen Beziehungen verwendet.

Um die inverse Transformation durchzuführen, muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen. Diese besagt, dass der Punkt sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss. Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben. Mithilfe der Ellipsen- und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten in Hauptlage folgt daraus:

Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfüllt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

folgende Transformationsvorschriften ableiten:

mit der schreibvereinfachenden Substitution .

Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich durch einen Zwischenschritt über kartesische Koordinaten durchführen.

Eigenschaften Bearbeiten

Die -Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die -Koordinatenlinien Ellipsen. Für ist die -Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für ist die -Koordinatenlinie zur Halbgeraden auf der -Achse entartet, für zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen -Achse. Für und ist die -Koordinatenlinie die positive bzw. die negative -Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität . Die Ellipsen, auf denen konstant ist, haben die große Halbachse , die kleine Halbachse und numerische Exzentrizität . Die Hyperbeln, auf denen konstant ist, haben die reelle Halbachse , die imaginäre Halbachse und numerische Exzentrizität .

Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse () bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln () trivial erfüllen.

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen Bearbeiten

Elliptische Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden.

  1. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische -Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt.
  2. Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates) oder um deren kleine Achse (oblate spheroidal coordinates).
  3. Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die räumlichen elliptischen Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.

Anwendungen Bearbeiten

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung komplett separiert, aber dennoch nicht analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten.

Literatur Bearbeiten

  • D. D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. George Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Band 1. B. G. Teubner, Leipzig/Berlin 1915, DNB 367816768, S. 422.
  2. Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642886744, S. 19.
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Veröffentlichungsdatum:
In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt 1 Allgemeiner existieren auch verschiedene Erweiterungen elliptischer Koordinaten zu 3 dimensionalen Koordinaten Elliptische Koordinaten in der Ebene fur c 1 Die numerische Exzentrizitat ist hier mit e bezeichnet Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Transformationen 3 Eigenschaften 4 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen 5 Anwendungen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenUblicherweise wahlt man die zwei Brennpunkte an den Stellen c displaystyle c nbsp und c displaystyle c nbsp auf der x displaystyle x nbsp Achse eines kartesischen Koordinatensystems Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten u v displaystyle u v nbsp hat dann die kartesischen Koordinaten x c cosh u cos v displaystyle x c cdot cosh u cdot cos v nbsp y c sinh u sin v displaystyle y c cdot sinh u cdot sin v nbsp mit u 0 displaystyle u in left 0 infty right nbsp und v 0 2 p displaystyle v in left 0 2 pi right nbsp Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf so gilt x i y c cosh u i v displaystyle x iy c cdot cosh u iv nbsp Transformationen BearbeitenZur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten u v x y displaystyle u v rightarrow x y nbsp werden die obigen Beziehungen verwendet Um die inverse Transformation x y u v displaystyle x y rightarrow u v nbsp durchzufuhren muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen Diese besagt dass der Punkt x y displaystyle x y nbsp sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben Mithilfe der Ellipsen und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten in Hauptlage folgt daraus x 2 a 2 y 2 b 2 1 x 2 c cosh u 2 y 2 c sinh u 2 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 frac x 2 c cosh u 2 frac y 2 c sinh u 2 nbsp x 2 a 2 y 2 b 2 1 x 2 c cos v 2 y 2 c sin v 2 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 frac x 2 c cos v 2 frac y 2 c sin v 2 nbsp Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfullt Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen sin 2 x cos 2 x 1 displaystyle sin 2 x cos 2 x 1 nbsp cosh 2 x sinh 2 x 1 displaystyle cosh 2 x sinh 2 x 1 nbsp folgende Transformationsvorschriften ableiten c 2 sinh 2 u x 2 y 2 c 2 2 x 2 y 2 c 2 2 2 c 2 y 2 m m 2 c 2 y 2 displaystyle c 2 sinh 2 u frac x 2 y 2 c 2 2 sqrt left frac x 2 y 2 c 2 2 right 2 c 2 y 2 m sqrt m 2 c 2 y 2 nbsp c 2 sin 2 v x 2 y 2 c 2 2 x 2 y 2 c 2 2 2 c 2 y 2 m m 2 c 2 y 2 displaystyle c 2 sin 2 v frac x 2 y 2 c 2 2 sqrt left frac x 2 y 2 c 2 2 right 2 c 2 y 2 m sqrt m 2 c 2 y 2 nbsp mit der schreibvereinfachenden Substitution m x 2 y 2 c 2 2 displaystyle m tfrac x 2 y 2 c 2 2 nbsp Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich durch einen Zwischenschritt uber kartesische Koordinaten durchfuhren Eigenschaften BearbeitenDie u displaystyle u nbsp Koordinatenlinien sind Hyperbeln die v displaystyle v nbsp Koordinatenlinien Ellipsen Fur u 0 displaystyle u 0 nbsp ist die v displaystyle v nbsp Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet Fur v 0 displaystyle v 0 nbsp ist die u displaystyle u nbsp Koordinatenlinie zur Halbgeraden c displaystyle left c infty right nbsp auf der x displaystyle x nbsp Achse entartet fur v p displaystyle v pi nbsp zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen x displaystyle x nbsp Achse Fur v p 2 displaystyle v tfrac pi 2 nbsp und v 3 p 2 displaystyle v tfrac 3 pi 2 nbsp ist die u displaystyle u nbsp Koordinatenlinie die positive bzw die negative y displaystyle y nbsp Achse Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizitat e c displaystyle e c nbsp Die Ellipsen auf denen u displaystyle u nbsp konstant ist haben die grosse Halbachse a c cosh u displaystyle a c cosh u nbsp die kleine Halbachse b c sinh u displaystyle b c sinh u nbsp und numerische Exzentrizitat e 1 cosh u displaystyle varepsilon tfrac 1 cosh u nbsp Die Hyperbeln auf denen v displaystyle v nbsp konstant ist haben die reelle Halbachse a c cos v displaystyle a c cos v nbsp die imaginare Halbachse b c sin v displaystyle b c sin v nbsp und numerische Exzentrizitat e 1 cos v displaystyle varepsilon tfrac 1 cos v nbsp Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur moglich weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen grosser und kleiner Halbachse a 2 e 2 b 2 displaystyle a 2 e 2 b 2 nbsp bei Ellipsen bzw reeller und imaginarer Halbachse bei Hyperbeln a 2 e 2 b 2 displaystyle a 2 e 2 b 2 nbsp trivial erfullen Verallgemeinerung auf drei Dimensionen BearbeitenElliptische Koordinaten konnen auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z displaystyle z nbsp Koordinate als weitere Koordinate hinzugefugt Zwei weitere raumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die grosse Achse der Ellipsen prolate spheroidal coordinates oder um deren kleine Achse oblate spheroidal coordinates Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln fuhrt auf die raumlichen elliptischen Koordinaten die konfokale Quadriken Ellipsoide ein und zweischalige Hyperboloide verwenden 2 Anwendungen BearbeitenDurch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrodinger Gleichung fur das H2 Molekul in Born Oppenheimer Naherung komplett separiert aber dennoch nicht analytisch gelost werden da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten Literatur BearbeitenD D Sokolov Elliptic coordinates In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer 2001 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Elliptic Cylindrical Coordinates In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten George Salmon Analytische Geometrie der Kegelschnitte Band 1 B G Teubner Leipzig Berlin 1915 DNB 367816768 S 422 Felix Klein Vorlesungen uber hohere Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3642886744 S 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Elliptische Koordinaten amp oldid 238135937