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Konfokale Kegelschnitte In der Geometrie heißen zwei Kegelschnitte konfokal wenn sie die gleichen Brennpunkte besitzen D

Konfokale Kegelschnitte

In der Geometrie heißen zwei Kegelschnitte konfokal, wenn sie die gleichen Brennpunkte besitzen. Da Ellipsen und Hyperbeln jeweils zwei Brennpunkte besitzen, gibt es konfokale Ellipsen, konfokale Hyperbeln und konfokale Ellipsen und Hyperbeln. Konfokale Ellipsen und Hyperbeln haben die bemerkenswerte Eigenschaft: Jede Ellipse schneidet jede Hyperbel senkrecht (s. unten). Parabeln besitzen jeweils nur einen Brennpunkt. Konfokale Parabeln haben den gleichen Brennpunkt und die gleiche Symmetrieachse. Durch diese Konvention gehen durch jeden Punkt, der nicht auf der Symmetrieachse liegt, genau zwei konfokale Parabeln, die sich senkrecht schneiden (s. unten).

Konfokale Ellipsen- und Hyperbelschar

Eine formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Kegelschnitte auf Flächen führt auf die konfokalen Quadriken.

Konfokale Ellipsen Bearbeiten

Eine Ellipse, die kein Kreis ist, ist durch ihre zwei Brennpunkte und einen Punkt, der nicht auf der Strecke zwischen den Brennpunkten liegt, eindeutig bestimmt (s. Definition einer Ellipse). Die Schar der konfokalen Ellipsen mit den Brennpunkten lässt sich durch die Gleichung

mit dem Scharparameter beschreiben. (Die lineare Exzentrizität und der Mittelpunkt sind durch die Brennpunkte eindeutig bestimmt.) Da ein Ellipsenpunkt den Scharparameter eindeutig bestimmt, gilt:

  • Zwei beliebige Ellipsen dieser Schar schneiden sich nicht.

Eine geometrische Figur, die von zwei konfokalen Ellipsen berandet wird, nennt man 2-dimensionales Fokaloid.

Konfokale Hyperbeln Bearbeiten

Eine Hyperbel ist durch ihre zwei Brennpunkte und einen Punkt, der nicht auf der Nebenachse und nicht auf der Hauptachse außerhalb der Strecke liegt, eindeutig bestimmt (s. Definition einer Hyperbel). Die Schar der konfokalen Hyperbeln mit den Brennpunkten lässt sich durch die Gleichung

mit dem Scharparameter beschreiben. (Die lineare Exzentrizität ist durch die Brennpunkte eindeutig bestimmt.) Da ein Hyperbelpunkt den Scharparameter eindeutig bestimmt, gilt:

  • Zwei beliebige Hyperbeln dieser Schar schneiden sich nicht.

Konfokale Ellipsen und Hyperbeln Bearbeiten

Gemeinsame Beschreibung Bearbeiten

Aus den obigen Darstellungen der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln ergibt sich eine gemeinsame Darstellung: Die Gleichung

beschreibt eine Ellipse, falls und eine Hyperbel, falls ist.

Eine weitere in der Literatur übliche Darstellung ist:

Dabei sind die Halbachsen einer vorgegebenen Ellipse (damit sind auch die Brennpunkte gegeben) und der Scharparameter.

Für erhält man konfokale Ellipsen (es ist ) und
für konfokale Hyperbeln mit den gemeinsamen Brennpunkten .

Grenzkurven Bearbeiten

Grenzkurven (blaue Strecke, rote Strahlen) für bzw.

An der Stelle hat die Schar als linksseitige Grenzkurve (unendlich dünne Ellipse) die Strecke auf der x-Achse und als rechtsseitige Grenzkurve (unendlich dünne Hyperbel) die beiden Strahlen . Also:

  • Die beiden Grenzkurven an der Stelle haben die beiden Brennpunkte gemeinsam.

Diese Eigenschaft findet im 3-dimensionalen Fall (s. u.) ihr Analogon und führt zur Definition der (unendlich vielen) Brennpunkte, Fokalkurven genannt, von konfokalen Quadriken.

An der Stelle hat die Schar als linksseitige Grenzkurve eine unendlich steile Hyperbel, bei der beide Äste auf die y-Achse fallen. Eine rechtsseitige Genzkurve gibt es hier nicht, da für die Kegelschnittgleichung keine Lösungen besitzt.

Zweifaches Orthogonalsystem Bearbeiten

Konfokale Ellipsen und Hyperbeln schneiden sich senkrecht: Beweis

Betrachtet man die zu zwei Brennpunkten gehörige Ellipsen- und Hyperbelschar (s. erstes Bild), so folgt aus der jeweiligen Brennpunktseigenschaft (Die Tangente einer Ellipse halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen, die Tangente einer Hyperbel halbiert den Winkel der Brennstrahlen.):

  • Jede Ellipse der Schar schneidet jede Hyperbel der Schar senkrecht (s. Bild).

Diese Aussage lässt sich auch rechnerisch beweisen, indem man die Ellipsen und Hyperbeln als implizite Kurven auffasst und mit Hilfe partieller Ableitungen Normalenvektoren in den Schnittpunkten (s. Abschnitt Satz von Ivory) berechnet.

Die Ebene lässt sich also mit einem orthogonalen Netz aus konfokalen Ellipsen und Hyperbeln überziehen.

Das orthogonale Netz von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln ist die Grundlage der elliptischen Koordinaten.

Konfokale Parabeln Bearbeiten

Schar konfokaler Parabeln

Parabeln besitzen jeweils nur einen Brennpunkt. Eine Parabel lässt sich als eine Grenzkurve einer Ellipsenschar (Hyperbelschar) auffassen, bei der ein Brennpunkt festgehalten wird und der zweite ins Unendliche wandert. Führt man diesen Grenzübergang für ein Netz von Ellipsen und Hyperbeln (s. 1. Bild) durch, so erhält man ein Netz aus zwei Scharen konfokaler Parabeln.

Verschiebt man die Parabel mit der Gleichung um in -Richtung, erhält man die Gleichung einer Parabel mit dem Ursprung als Brennpunkt. Es gilt:

  • sind nach rechts geöffnete Parabeln und

Anhand der Leitlinien-Definition einer Parabel erkennt man:

  • Die nach rechts (links) geöffneten Parabeln schneiden sich nicht.

Man rechnet nach:

  • Jede nach rechts geöffnete Parabel schneidet jede nach links geöffnete Parabel in den beiden Punkten senkrecht (s. Bild).

( sind Normalenvektoren in den Schnittpunkten. Ihr Skalarprodukt ist .)

Die Ebene lässt sich also (analog zu konfokalen Ellipsen und Hyperbeln) mit einem orthogonalen Netz aus konfokalen Parabeln überziehen.

Bemerkung: Das Netz aus konfokalen Parabeln lässt sich auffassen als das Bild eines achsenparallelen Netzes der rechten Halbebene unter der konformen Abbildung der komplexen Ebene (s. Weblink).

Parabolische Koordinaten:
Jeder Punkt der oberen Halbebene ist der Schnittpunkt zweier konfokaler Parabeln . Führt man neue Parameter so ein, dass ist, so erhält man für den Schnittpunkt (s. o.):

heißen parabolische Koordinaten des Punktes (siehe parabolische Zylinderkoordinaten).

Satz von Graves: Fadenkonstruktion konfokaler Ellipsen Bearbeiten

Fadenkonstruktion einer konfokalen Ellipse

1850 hat der irische Bischof von Limerick Charles Graves (en) die folgende Fadenkonstruktion einer zu einer gegebenen Ellipse konfokalen Ellipse angegeben und bewiesen:

  • Schlingt man um eine gegebene Ellipse E einen geschlossenen Faden, der länger als der Umfang von E ist, und zeichnet wie bei der Gärtner-Konstruktion einer Ellipse eine Kurve (s. Bild), so ist diese Kurve eine zu E konfokale Ellipse.

Der Beweis dieses Satzes verwendet elliptische Integrale und ist in dem Buch von Felix Klein enthalten. Otto Staude hat diese Methode zur Konstruktion konfokaler Ellipsoide verallgemeinert (s. Buch von F. Klein).

Artet die gegebene Ellipse zu der Strecke zwischen den beiden Brennpunkten aus, erhält man eine Variante der Gärtnerkonstruktion einer Ellipse: Man schlingt dann einen geschlossenen Faden der Länge um die Brennpunkte.

Konfokale Quadriken Bearbeiten

Konfokale Quadriken:

(rot), (blau), (lila)
Konfokale Quadriken in Abhängigkeit von

Definition Bearbeiten

Unter konfokalen Quadriken versteht man eine formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Kegelschnitte in den 3-dimensionalen Raum:

Es seien mit fest gewählt. Dann beschreibt die Gleichung

Fokalkurven Bearbeiten

Fokalkegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, schwarz)

oben: (Ellipsoid, rot), (einsch. Hyperb., blau),
(einsch. Hyperb., blau), (zweisch. Hyperb., lila)
unten: Grenzflächen zwischen den Typen

Grenzflächen für :

Lässt man in der Schar der Ellipsoide () den Scharparameter (von unten !) gegen laufen, erhält man ein „unendlich flaches“ Ellipsoid, genauer: das Gebiet in der x-y-Ebene, das aus der Ellipse mit der Gleichung und deren doppelt belegtem Inneren (im Bild unten, dunkelrot) besteht.

Lässt man in der Schar der einschaligen Hyperboloide () den Scharparameter (von oben !) gegen laufen, erhält man ein „unendlich flaches“ Hyperboloid, genauer: das Gebiet in der x-y-Ebene, das aus derselben Ellipse und deren doppelt belegtem Äußeren (im Bild unten, blau) besteht. D. h.:

Die beiden Grenzflächen an der Stelle haben die Ellipse

gemeinsam.

Grenzflächen für :

Analoge Überlegungen an der Stelle ergeben:

Die beiden Grenzflächen (im Bild unten rechts, blau und lila) an der Stelle haben die Hyperbel

gemeinsam.

Fokalkurven:

Man prüft leicht nach, dass die Brennpunkte der Ellipse die Scheitel der Hyperbel und umgekehrt sind. D. h.: Ellipse und Hyperbel sind Fokalkegelschnitte. Da sich umgekehrt aus den Fokalkegelschnitten jede der durch bestimmte Quadrik der konfokalen Schar mit Hilfe eines Fadens geeigneter Länge, analog zur Fadenkonstruktion einer Ellipse, konstruieren lässt, nennt man die Fokalkurven der durch bestimmten Schar konfokaler Quadriken. (siehe Fadenkonstruktion eines 3-achsigen Ellipsoids.)

Dreifaches Orthogonalsystem Bearbeiten

Analog zu der Eigenschaft konfokaler Ellipsen/Hyperbeln gilt:

  • Durch jeden Punkt mit geht genau eine Fläche jedes der drei Typen.
Beispiel einer Funktion

Beweis der Existenz dreier Quadriken durch einen Punkt:
Für einen Punkt mit sei . Diese Funktion hat die 3 Polstellen und ist in jedem der offenen Intervalle stetig und streng monoton steigend. Aus dem Verhalten der Funktion in der Nähe der Polstellen und für erkennt man (s. Bild):
Die Funktion hat genau 3 Nullstellen mit

Beweis der Orthogonalität der Flächen:
Mit Hilfe der Funktionenschar mit dem Scharparameter lassen sich die konfokalen Quadriken durch beschreiben. Für zwei sich schneidende Quadriken mit ergibt sich in einem gemeinsamen Punkt

Für das Skalarprodukt der Gradienten in einem gemeinsamen Punkt folgt daraus

Ellipsoid mit Krümmungslinien als Schnitte mit konfokalen Hyperboloiden

Anwendungen:
Nach einem Satz von Charles Dupin über dreifach orthogonale Flächensysteme gilt (s. Weblinks):

  • Je zwei verschiedenartige konfokale Quadriken schneiden sich in Krümmungslinien.
  • Analog zu den (ebenen) elliptischen Koordinaten gibt es im Raum Ellipsoid-Koordinaten. Die einfachste Form von Ellipsoid-Koordinaten verwendet die zu einem Punkt gehörigen Parameter der konfokalen Quadriken durch diesen Punkt.

In der Physik spielen konfokale Ellipsoide als Äquipotentialflächen eine Rolle:

  • Die Äquipotentialflächen der freien Ladungsverteilung auf einem Ellipsoid sind die dazu konfokalen Ellipsoide.

Satz von Ivory Bearbeiten

Konfokale Kegelschnitte: Satz von Ivory

Der Satz des schottischen Mathematikers und Astronomen James Ivory (1765–1842) macht eine Aussage über Diagonalen in einem „Netz-Rechteck“ (einem durch orthogonale Kurven gebildeten 4-Eck):

  • In jedem Viereck eines Netzes konfokaler Ellipsen und Hyperbeln, das von zwei Ellipsen und zwei Hyperbeln gebildet wird, sind die Diagonalen gleich lang (s. Bild).

Schnittpunkte einer Ellipse mit einer konfokalen Hyperbel:
sei die Ellipse mit den Brennpunkten und der Gleichung

sei die dazu konfokale Hyperbel mit der Gleichung

Berechnet man die Schnittpunkte von und , so ergeben sich folgende vier Punkte:

Diagonalen in einem Netzviereck:
Um die Rechnung übersichtlich zu halten, wird hier vorausgesetzt, dass

  1. ist, was keine wesentliche Einschränkung ist, da alle anderen konfokalen Netze durch eine Skalierung (Streckung am Mittelpunkt) erhalten werden können.
  2. Von den Alternativen (bei den Schnittpunkten) wird nur benutzt. Am Ende überlegt man sich, dass andere Vorzeichnenkombinationen zum selben Resultat führen.

Es seien zwei konfokale Ellipsen und zwei dazu konfokale Hyperbeln gegeben. Es werden die Diagonalen des Netzvierecks bestehend aus den 4 Schnittpunkten

berechnet:

Der letzte Term ist offensichtlich invariant gegenüber der Vertauschung . Genau diese Vertauschung führt zu . Also gilt:

Die Gültigkeit des Satzes von Ivory für konfokale Parabeln lässt sich auch leicht rechnerisch nachweisen.

Ivory hat auch die 3-dimensionale Form des Satzes bewiesen (s. Blaschke, S. 111):

  • In einem von konfokalen Quadriken begrenzten „krummflächigen Quader“ sind die 4 Diagonalen gegenüberliegender Punkte gleich lang. Dies gilt auch für jedes Diagonalenpaar der Seitenflächen.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. Schoenflies, Max Dehn: Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes. Grundlehren der math. Wiss. in Einzeld., Band XXI, Springer, Berlin 1931, S. 135.
  2. Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 1926, S. 32.
  3. Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642886744, S. 20.
  4. O. Staude: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides. Math. Ann. 20, 147–184 (1882).
  5. O. Staude: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades. Math. Ann. 27, 253–271 (1886).
  6. O. Staude: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ann. 50, 398–428 (1898).
  7. F. Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642886744, S. 19.
  8. D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9, S. 480.

Literatur Bearbeiten

  • W. Blaschke: Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6, S. 111.
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Springer, 1996, ISBN 978-3-642-19947-9.
  • Horst Knörrer: Geometrie. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0210-1, S. 198.
  • E. Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, S. 257.
  • R. Resel: Reise zum Mittelpunkt der Mathematik. Logos-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-8325-3672-5, S. 259.
  • K. Baer: Parabolische Koordinaten in der Ebene und im Raum. Königliche Hofbuchdruckerei Trowizsch u. Sohn, Frankfurt a. O. 1888.

Weblinks Bearbeiten

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In der Geometrie heissen zwei Kegelschnitte konfokal wenn sie die gleichen Brennpunkte besitzen Da Ellipsen und Hyperbeln jeweils zwei Brennpunkte besitzen gibt es konfokale Ellipsen konfokale Hyperbeln und konfokale Ellipsen und Hyperbeln Konfokale Ellipsen und Hyperbeln haben die bemerkenswerte Eigenschaft Jede Ellipse schneidet jede Hyperbel senkrecht s unten Parabeln besitzen jeweils nur einen Brennpunkt Konfokale Parabeln haben den gleichen Brennpunkt und die gleiche Symmetrieachse Durch diese Konvention gehen durch jeden Punkt der nicht auf der Symmetrieachse liegt genau zwei konfokale Parabeln die sich senkrecht schneiden s unten Konfokale Ellipsen und HyperbelscharEine formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Kegelschnitte auf Flachen fuhrt auf die konfokalen Quadriken Inhaltsverzeichnis 1 Konfokale Ellipsen 2 Konfokale Hyperbeln 3 Konfokale Ellipsen und Hyperbeln 3 1 Gemeinsame Beschreibung 3 2 Grenzkurven 3 3 Zweifaches Orthogonalsystem 4 Konfokale Parabeln 5 Satz von Graves Fadenkonstruktion konfokaler Ellipsen 6 Konfokale Quadriken 6 1 Definition 6 2 Fokalkurven 6 3 Dreifaches Orthogonalsystem 7 Satz von Ivory 8 Siehe auch 9 Einzelnachweise 10 Literatur 11 WeblinksKonfokale Ellipsen BearbeitenEine Ellipse die kein Kreis ist ist durch ihre zwei Brennpunkte F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp und einen Punkt der nicht auf der Strecke zwischen den Brennpunkten liegt eindeutig bestimmt s Definition einer Ellipse Die Schar der konfokalen Ellipsen mit den Brennpunkten F 1 e 0 F 2 e 0 displaystyle F 1 e 0 F 2 e 0 nbsp lasst sich durch die Gleichung x 2 a 2 y 2 a 2 e 2 1 a gt e gt 0 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 a 2 e 2 1 quad a gt e gt 0 nbsp mit dem Scharparameter a displaystyle a nbsp beschreiben Die lineare Exzentrizitat e displaystyle e nbsp und der Mittelpunkt sind durch die Brennpunkte eindeutig bestimmt Da ein Ellipsenpunkt den Scharparameter a displaystyle a nbsp eindeutig bestimmt gilt Zwei beliebige Ellipsen dieser Schar schneiden sich nicht Eine geometrische Figur die von zwei konfokalen Ellipsen berandet wird nennt man 2 dimensionales Fokaloid Konfokale Hyperbeln BearbeitenEine Hyperbel ist durch ihre zwei Brennpunkte F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp und einen Punkt der nicht auf der Nebenachse und nicht auf der Hauptachse ausserhalb der Strecke F 1 F 2 displaystyle overline F 1 F 2 nbsp liegt eindeutig bestimmt s Definition einer Hyperbel Die Schar der konfokalen Hyperbeln mit den Brennpunkten F 1 e 0 F 2 e 0 displaystyle F 1 e 0 F 2 e 0 nbsp lasst sich durch die Gleichung x 2 a 2 y 2 e 2 a 2 1 0 lt a lt e displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 e 2 a 2 1 quad 0 lt a lt e nbsp mit dem Scharparameter a displaystyle a nbsp beschreiben Die lineare Exzentrizitat e displaystyle e nbsp ist durch die Brennpunkte eindeutig bestimmt Da ein Hyperbelpunkt den Scharparameter a displaystyle a nbsp eindeutig bestimmt gilt Zwei beliebige Hyperbeln dieser Schar schneiden sich nicht Konfokale Ellipsen und Hyperbeln BearbeitenGemeinsame Beschreibung Bearbeiten Aus den obigen Darstellungen der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln ergibt sich eine gemeinsame Darstellung Die Gleichung x 2 a 2 y 2 a 2 e 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 a 2 e 2 1 nbsp beschreibt eine Ellipse falls 0 lt e lt a displaystyle 0 lt e lt a nbsp und eine Hyperbel falls 0 lt a lt e displaystyle 0 lt a lt e nbsp ist Eine weitere in der Literatur 1 ubliche Darstellung ist x 2 a 2 l y 2 b 2 l 1 displaystyle frac x 2 a 2 lambda frac y 2 b 2 lambda 1 nbsp Dabei sind a b displaystyle a b nbsp die Halbachsen einer vorgegebenen Ellipse damit sind auch die Brennpunkte F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp gegeben und l displaystyle lambda nbsp der Scharparameter Fur l lt b 2 displaystyle lambda lt b 2 nbsp erhalt man konfokale Ellipsen es ist a 2 l b 2 l e 2 displaystyle a 2 lambda b 2 lambda e 2 nbsp und fur b 2 lt l lt a 2 displaystyle b 2 lt lambda lt a 2 nbsp konfokale Hyperbeln mit den gemeinsamen Brennpunkten F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp Grenzkurven Bearbeiten nbsp Grenzkurven blaue Strecke rote Strahlen fur l b 2 displaystyle lambda color blue nearrow b 2 nbsp bzw l b 2 displaystyle lambda color red searrow b 2 nbsp An der Stelle l b 2 displaystyle lambda b 2 nbsp hat die Schar als linksseitige Grenzkurve unendlich dunne Ellipse die Strecke e e displaystyle e e nbsp auf der x Achse und als rechtsseitige Grenzkurve unendlich dunne Hyperbel die beiden Strahlen e e displaystyle infty e e infty nbsp Also Die beiden Grenzkurven an der Stelle l b 2 displaystyle lambda b 2 nbsp haben die beiden Brennpunkte F 1 e 0 F 2 e 0 displaystyle F 1 e 0 F 2 e 0 nbsp gemeinsam Diese Eigenschaft findet im 3 dimensionalen Fall s u ihr Analogon und fuhrt zur Definition der unendlich vielen Brennpunkte Fokalkurven genannt von konfokalen Quadriken An der Stelle a 2 displaystyle a 2 nbsp hat die Schar als linksseitige Grenzkurve eine unendlich steile Hyperbel bei der beide Aste auf die y Achse fallen Eine rechtsseitige Genzkurve gibt es hier nicht da fur a 2 lt l displaystyle a 2 lt lambda nbsp die Kegelschnittgleichung keine Losungen besitzt Zweifaches Orthogonalsystem Bearbeiten nbsp Konfokale Ellipsen und Hyperbeln schneiden sich senkrecht BeweisBetrachtet man die zu zwei Brennpunkten gehorige Ellipsen und Hyperbelschar s erstes Bild so folgt aus der jeweiligen Brennpunktseigenschaft Die Tangente einer Ellipse halbiert den Aussenwinkel der Brennstrahlen die Tangente einer Hyperbel halbiert den Winkel der Brennstrahlen Jede Ellipse der Schar schneidet jede Hyperbel der Schar senkrecht s Bild Diese Aussage lasst sich auch rechnerisch beweisen indem man die Ellipsen und Hyperbeln als implizite Kurven auffasst und mit Hilfe partieller Ableitungen Normalenvektoren in den Schnittpunkten s Abschnitt Satz von Ivory berechnet Die Ebene lasst sich also mit einem orthogonalen Netz aus konfokalen Ellipsen und Hyperbeln uberziehen Das orthogonale Netz von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln ist die Grundlage der elliptischen Koordinaten Konfokale Parabeln Bearbeiten nbsp Schar konfokaler ParabelnParabeln besitzen jeweils nur einen Brennpunkt Eine Parabel lasst sich als eine Grenzkurve einer Ellipsenschar Hyperbelschar auffassen bei der ein Brennpunkt festgehalten wird und der zweite ins Unendliche wandert Fuhrt man diesen Grenzubergang fur ein Netz von Ellipsen und Hyperbeln s 1 Bild durch so erhalt man ein Netz aus zwei Scharen konfokaler Parabeln Verschiebt man die Parabel mit der Gleichung y 2 2 p x displaystyle y 2 2px nbsp um p 2 displaystyle p 2 nbsp in x displaystyle x nbsp Richtung erhalt man die Gleichung y 2 2 p x p 2 2 p x p 2 displaystyle y 2 2p x p 2 2px p 2 nbsp einer Parabel mit dem Ursprung als Brennpunkt Es gilt y 2 2 p x p 2 p gt 0 displaystyle y 2 2px p 2 quad p gt 0 nbsp sind nach rechts geoffnete Parabeln undy 2 2 q x q 2 q gt 0 displaystyle y 2 2qx q 2 quad q gt 0 nbsp sind nach links geoffnete Parabeln mit dem gemeinsamen Brennpunkt F 0 0 displaystyle F 0 0 nbsp Anhand der Leitlinien Definition einer Parabel erkennt man Die nach rechts links geoffneten Parabeln schneiden sich nicht Man rechnet nach Jede nach rechts geoffnete Parabel y 2 2 p x p 2 displaystyle y 2 2px p 2 nbsp schneidet jede nach links geoffnete Parabel y 2 2 q x q 2 displaystyle y 2 2qx q 2 nbsp in den beiden Punkten q p 2 p q displaystyle tfrac q p 2 pm sqrt pq nbsp senkrecht s Bild n 1 p p q T n 2 q p q T displaystyle vec n 1 left p mp sqrt pq right T vec n 2 left q pm sqrt pq right T nbsp sind Normalenvektoren in den Schnittpunkten Ihr Skalarprodukt ist 0 displaystyle 0 nbsp Die Ebene lasst sich also analog zu konfokalen Ellipsen und Hyperbeln mit einem orthogonalen Netz aus konfokalen Parabeln uberziehen Bemerkung Das Netz aus konfokalen Parabeln lasst sich auffassen als das Bild eines achsenparallelen Netzes der rechten Halbebene unter der konformen Abbildung w z 2 displaystyle w z 2 nbsp der komplexen Ebene s Weblink Parabolische Koordinaten Jeder Punkt der oberen Halbebene ist der Schnittpunkt zweier konfokaler Parabeln y 2 2 p x p 2 y 2 2 q x q 2 p q gt 0 displaystyle y 2 2px p 2 y 2 2qx q 2 p q gt 0 nbsp Fuhrt man neue Parameter u v 0 displaystyle u v geq 0 nbsp so ein dass p u 2 q v 2 displaystyle p u 2 q v 2 nbsp ist so erhalt man fur den Schnittpunkt s o x v 2 u 2 2 y u v displaystyle x frac v 2 u 2 2 quad y u v nbsp u v displaystyle u v nbsp heissen parabolische Koordinaten des Punktes x y displaystyle x y nbsp siehe parabolische Zylinderkoordinaten Satz von Graves Fadenkonstruktion konfokaler Ellipsen Bearbeiten nbsp Fadenkonstruktion einer konfokalen Ellipse1850 hat der irische Bischof von Limerick Charles Graves en die folgende Fadenkonstruktion einer zu einer gegebenen Ellipse konfokalen Ellipse angegeben und bewiesen 2 Schlingt man um eine gegebene Ellipse E einen geschlossenen Faden der langer als der Umfang von E ist und zeichnet wie bei der Gartner Konstruktion einer Ellipse eine Kurve s Bild so ist diese Kurve eine zu E konfokale Ellipse Der Beweis dieses Satzes verwendet elliptische Integrale und ist in dem Buch von Felix Klein enthalten Otto Staude hat diese Methode zur Konstruktion konfokaler Ellipsoide verallgemeinert s Buch von F Klein Artet die gegebene Ellipse zu der Strecke zwischen den beiden Brennpunkten F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp aus erhalt man eine Variante der Gartnerkonstruktion einer Ellipse Man schlingt dann einen geschlossenen Faden der Lange 2 a F 1 F 2 displaystyle 2a F 1 F 2 nbsp um die Brennpunkte Konfokale Quadriken Bearbeiten nbsp Konfokale Quadriken a 1 b 0 8 c 0 6 displaystyle a 1 b 0 8 c 0 6 nbsp l 1 0 1 displaystyle lambda 1 0 1 nbsp rot l 2 0 5 displaystyle lambda 2 0 5 nbsp blau l 3 0 8 displaystyle lambda 3 0 8 nbsp lila nbsp Konfokale Quadriken in Abhangigkeit von l displaystyle lambda nbsp Definition Bearbeiten Unter konfokalen Quadriken versteht man eine formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Kegelschnitte in den 3 dimensionalen Raum 3 Es seien a b c displaystyle a b c nbsp mit a gt b gt c gt 0 displaystyle a gt b gt c gt 0 nbsp fest gewahlt Dann beschreibt die Gleichung x 2 a 2 l y 2 b 2 l z 2 c 2 l 1 displaystyle frac x 2 a 2 lambda frac y 2 b 2 lambda frac z 2 c 2 lambda 1 nbsp fur l lt c 2 displaystyle lambda lt c 2 nbsp ein Ellipsoid fur c 2 lt l lt b 2 displaystyle c 2 lt lambda lt b 2 nbsp ein einschaliges Hyperboloid im Bild blau fur b 2 lt l lt a 2 displaystyle b 2 lt lambda lt a 2 nbsp ein zweischaliges Hyperboloid Fur a 2 lt l displaystyle a 2 lt lambda nbsp hat die Gleichung keine Losung Fokalkurven Bearbeiten nbsp Fokalkegelschnitte Ellipse Hyperbel schwarz nbsp c 2 0 36 b 2 0 64 displaystyle c 2 0 36 b 2 0 64 quad nbsp oben l displaystyle lambda nbsp 0 357 5 displaystyle 0 3575 nbsp Ellipsoid rot 0 362 5 displaystyle 0 3625 nbsp einsch Hyperb blau 0 638 displaystyle 0 638 nbsp einsch Hyperb blau 0 642 displaystyle 0 642 nbsp zweisch Hyperb lila unten Grenzflachen zwischen den TypenGrenzflachen fur l c 2 displaystyle lambda to c 2 nbsp Lasst man in der Schar der Ellipsoide l lt c 2 displaystyle lambda lt c 2 nbsp den Scharparameter l displaystyle lambda nbsp von unten gegen c 2 displaystyle c 2 nbsp laufen erhalt man ein unendlich flaches Ellipsoid genauer das Gebiet in der x y Ebene das aus der Ellipse E displaystyle E nbsp mit der Gleichung x 2 a 2 c 2 y 2 b 2 c 2 1 displaystyle tfrac x 2 a 2 c 2 tfrac y 2 b 2 c 2 1 nbsp und deren doppelt belegtem Inneren im Bild unten dunkelrot besteht Lasst man in der Schar der einschaligen Hyperboloide l gt c 2 displaystyle lambda gt c 2 nbsp den Scharparameter l displaystyle lambda nbsp von oben gegen c 2 displaystyle c 2 nbsp laufen erhalt man ein unendlich flaches Hyperboloid genauer das Gebiet in der x y Ebene das aus derselben Ellipse E displaystyle E nbsp und deren doppelt belegtem Ausseren im Bild unten blau besteht D h Die beiden Grenzflachen an der Stelle c 2 displaystyle c 2 nbsp haben die Ellipse E x 2 a 2 c 2 y 2 b 2 c 2 1 displaystyle E frac x 2 a 2 c 2 frac y 2 b 2 c 2 1 nbsp gemeinsam Grenzflachen fur l b 2 displaystyle lambda to b 2 nbsp Analoge Uberlegungen an der Stelle l b 2 displaystyle lambda b 2 nbsp ergeben Die beiden Grenzflachen im Bild unten rechts blau und lila an der Stelle b 2 displaystyle b 2 nbsp haben die Hyperbel H x 2 a 2 b 2 z 2 b 2 c 2 1 displaystyle H frac x 2 a 2 b 2 frac z 2 b 2 c 2 1 nbsp gemeinsam Fokalkurven Man pruft leicht nach dass die Brennpunkte der Ellipse die Scheitel der Hyperbel und umgekehrt sind D h Ellipse E displaystyle E nbsp und Hyperbel H displaystyle H nbsp sind Fokalkegelschnitte Da sich umgekehrt aus den Fokalkegelschnitten E H displaystyle E H nbsp jede der durch a b c l displaystyle a b c lambda nbsp bestimmte Quadrik der konfokalen Schar mit Hilfe eines Fadens geeigneter Lange analog zur Fadenkonstruktion einer Ellipse konstruieren lasst nennt man E H displaystyle E H nbsp die Fokalkurven der durch a b c displaystyle a b c nbsp bestimmten Schar konfokaler Quadriken 4 5 6 siehe Fadenkonstruktion eines 3 achsigen Ellipsoids Dreifaches Orthogonalsystem Bearbeiten Analog zu der Eigenschaft konfokaler Ellipsen Hyperbeln gilt Durch jeden Punkt x 0 y 0 z 0 R 3 displaystyle x 0 y 0 z 0 in mathbb R 3 nbsp mit x 0 0 y 0 0 z 0 0 displaystyle x 0 neq 0 y 0 neq 0 z 0 neq 0 nbsp geht genau eine Flache jedes der drei Typen Die drei Quadriken durch x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp schneiden sich dort senkrecht nbsp Beispiel einer Funktion f l displaystyle f lambda nbsp Beweis der Existenz dreier Quadriken durch einen Punkt Fur einen Punkt x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp mit x 0 0 y 0 0 z 0 0 displaystyle x 0 neq 0 y 0 neq 0 z 0 neq 0 nbsp sei f l x 0 2 a 2 l y 0 2 b 2 l z 0 2 c 2 l 1 displaystyle f lambda tfrac x 0 2 a 2 lambda tfrac y 0 2 b 2 lambda tfrac z 0 2 c 2 lambda 1 nbsp Diese Funktion hat die 3 Polstellen c 2 lt b 2 lt a 2 displaystyle c 2 lt b 2 lt a 2 nbsp und ist in jedem der offenen Intervalle c 2 c 2 b 2 b 2 a 2 a 2 displaystyle infty c 2 c 2 b 2 b 2 a 2 a 2 infty nbsp stetig und streng monoton steigend Aus dem Verhalten der Funktion in der Nahe der Polstellen und fur l displaystyle lambda to pm infty nbsp erkennt man s Bild Die Funktion f displaystyle f nbsp hat genau 3 Nullstellen l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp mit l 1 lt c 2 lt l 2 lt b 2 lt l 3 lt a 2 displaystyle color red lambda 1 lt c 2 lt color red lambda 2 lt b 2 lt color red lambda 3 lt a 2 nbsp Beweis der Orthogonalitat der Flachen Mit Hilfe der Funktionenschar F l x y z x 2 a 2 l y 2 b 2 l z 2 c 2 l displaystyle F lambda x y z tfrac x 2 a 2 lambda tfrac y 2 b 2 lambda tfrac z 2 c 2 lambda nbsp mit dem Scharparameter l displaystyle lambda nbsp lassen sich die konfokalen Quadriken durch F l x y z 1 displaystyle F lambda x y z 1 nbsp beschreiben Fur zwei sich schneidende Quadriken mit F l i x y z 1 F l k x y z 1 displaystyle F lambda i x y z 1 F lambda k x y z 1 nbsp ergibt sich in einem gemeinsamen Punkt x y z displaystyle x y z nbsp 0 F l i x y z F l k x y z displaystyle 0 F lambda i x y z F lambda k x y z dotsb nbsp l i l k x 2 a 2 l i a 2 l k y 2 b 2 l i b 2 l k z 2 c 2 l i c 2 l k displaystyle quad lambda i lambda k left frac x 2 a 2 lambda i a 2 lambda k frac y 2 b 2 lambda i b 2 lambda k frac z 2 c 2 lambda i c 2 lambda k right nbsp Fur das Skalarprodukt der Gradienten in einem gemeinsamen Punkt folgt daraus grad F l i grad F l k 4 x 2 a 2 l i a 2 l k y 2 b 2 l i b 2 l k z 2 c 2 l i c 2 l k 0 displaystyle operatorname grad F lambda i cdot operatorname grad F lambda k 4 left frac x 2 a 2 lambda i a 2 lambda k frac y 2 b 2 lambda i b 2 lambda k frac z 2 c 2 lambda i c 2 lambda k right 0 nbsp nbsp Ellipsoid mit Krummungslinien als Schnitte mit konfokalen Hyperboloiden a 1 b 0 8 c 0 6 displaystyle a 1 b 0 8 c 0 6 nbsp Anwendungen Nach einem Satz von Charles Dupin uber dreifach orthogonale Flachensysteme gilt s Weblinks Je zwei verschiedenartige konfokale Quadriken schneiden sich in Krummungslinien Analog zu den ebenen elliptischen Koordinaten gibt es im Raum Ellipsoid Koordinaten Die einfachste Form von Ellipsoid Koordinaten verwendet die zu einem Punkt x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp gehorigen Parameter l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp der konfokalen Quadriken durch diesen Punkt 7 In der Physik spielen konfokale Ellipsoide als Aquipotentialflachen eine Rolle 8 Die Aquipotentialflachen der freien Ladungsverteilung auf einem Ellipsoid sind die dazu konfokalen Ellipsoide Satz von Ivory Bearbeiten nbsp Konfokale Kegelschnitte Satz von IvoryDer Satz des schottischen Mathematikers und Astronomen James Ivory 1765 1842 macht eine Aussage uber Diagonalen in einem Netz Rechteck einem durch orthogonale Kurven gebildeten 4 Eck In jedem Viereck eines Netzes konfokaler Ellipsen und Hyperbeln das von zwei Ellipsen und zwei Hyperbeln gebildet wird sind die Diagonalen gleich lang s Bild Schnittpunkte einer Ellipse mit einer konfokalen Hyperbel E a displaystyle E a nbsp sei die Ellipse mit den Brennpunkten F 1 e 0 F 2 e 0 displaystyle F 1 e 0 F 2 e 0 nbsp und der Gleichung x 2 a 2 y 2 a 2 e 2 1 a gt e gt 0 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 a 2 e 2 1 quad a gt e gt 0 nbsp H u displaystyle H u nbsp sei die dazu konfokale Hyperbel mit der Gleichung x 2 u 2 y 2 u 2 e 2 1 e gt u displaystyle frac x 2 u 2 frac y 2 u 2 e 2 1 quad e gt u nbsp Berechnet man die Schnittpunkte von E a displaystyle E a nbsp und H u displaystyle H u nbsp so ergeben sich folgende vier Punkte a u e a 2 e 2 e 2 u 2 e displaystyle left pm frac au e pm frac sqrt a 2 e 2 e 2 u 2 e right nbsp Diagonalen in einem Netzviereck Um die Rechnung ubersichtlich zu halten wird hier vorausgesetzt dass e 1 displaystyle e 1 nbsp ist was keine wesentliche Einschrankung ist da alle anderen konfokalen Netze durch eine Skalierung Streckung am Mittelpunkt erhalten werden konnen Von den Alternativen displaystyle pm nbsp bei den Schnittpunkten wird nur displaystyle nbsp benutzt Am Ende uberlegt man sich dass andere Vorzeichnenkombinationen zum selben Resultat fuhren Es seien zwei konfokale Ellipsen E a 1 E a 2 displaystyle E a 1 E a 2 nbsp und zwei dazu konfokale Hyperbeln H u 1 H u 2 displaystyle H u 1 H u 2 nbsp gegeben Es werden die Diagonalen des Netzvierecks bestehend aus den 4 Schnittpunkten P 11 a 1 u 1 a 1 2 1 1 u 1 2 P 22 a 2 u 2 a 2 2 1 1 u 2 2 displaystyle P 11 left a 1 u 1 sqrt a 1 2 1 1 u 1 2 right quad P 22 left a 2 u 2 sqrt a 2 2 1 1 u 2 2 right nbsp P 12 a 1 u 2 a 1 2 1 1 u 2 2 P 21 a 2 u 1 a 2 2 1 1 u 1 2 displaystyle P 12 left a 1 u 2 sqrt a 1 2 1 1 u 2 2 right quad P 21 left a 2 u 1 sqrt a 2 2 1 1 u 1 2 right nbsp berechnet P 11 P 22 2 a 2 u 2 a 1 u 1 2 a 2 2 1 1 u 2 2 a 1 2 1 1 u 1 2 2 a 1 2 a 2 2 u 1 2 u 2 2 2 1 a 1 a 2 u 1 u 2 a 1 2 1 a 2 2 1 1 u 1 2 1 u 2 2 displaystyle begin aligned P 11 P 22 2 amp a 2 u 2 a 1 u 1 2 left sqrt a 2 2 1 1 u 2 2 sqrt a 1 2 1 1 u 1 2 right 2 dotsb amp a 1 2 a 2 2 u 1 2 u 2 2 2 left 1 a 1 a 2 u 1 u 2 sqrt a 1 2 1 a 2 2 1 1 u 1 2 1 u 2 2 right end aligned nbsp Der letzte Term ist offensichtlich invariant gegenuber der Vertauschung u 1 u 2 displaystyle u 1 leftrightarrow u 2 nbsp Genau diese Vertauschung fuhrt zu P 1 2 P 2 1 2 displaystyle P 1 color red 2 P 2 color red 1 2 nbsp Also gilt P 11 P 22 P 12 P 21 displaystyle P 11 P 22 P 12 P 21 nbsp Die Gultigkeit des Satzes von Ivory fur konfokale Parabeln lasst sich auch leicht rechnerisch nachweisen Ivory hat auch die 3 dimensionale Form des Satzes bewiesen s Blaschke S 111 In einem von konfokalen Quadriken begrenzten krummflachigen Quader sind die 4 Diagonalen gegenuberliegender Punkte gleich lang Dies gilt auch fur jedes Diagonalenpaar der Seitenflachen Siehe auch BearbeitenFokaloidEinzelnachweise Bearbeiten A Schoenflies Max Dehn Einfuhrung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes Grundlehren der math Wiss in Einzeld Band XXI Springer Berlin 1931 S 135 Felix Klein Vorlesungen uber Hohere Geometrie Springer Verlag Berlin 1926 S 32 Felix Klein Vorlesungen uber hohere Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3642886744 S 20 O Staude Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides Math Ann 20 147 184 1882 O Staude Ueber neue Focaleigenschaften der Flachen 2 Grades Math Ann 27 253 271 1886 O Staude Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flachen 2 Ordnung Math Ann 50 398 428 1898 F Klein Vorlesungen uber Hohere Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3642886744 S 19 D Fuchs S Tabachnikov Ein Schaubild der Mathematik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 12959 9 S 480 Literatur BearbeitenW Blaschke Analytische Geometrie Springer Basel 1954 ISBN 978 3 0348 6813 6 S 111 D Hilbert S Cohn Vossen Anschauliche Geometrie Springer 1996 ISBN 978 3 642 19947 9 Horst Knorrer Geometrie Vieweg Verlag Wiesbaden 2006 ISBN 978 3 8348 0210 1 S 198 E Pascal Repertorium der hoheren Mathematik Teubner Leipzig Berlin 1910 S 257 R Resel Reise zum Mittelpunkt der Mathematik Logos Verlag Berlin ISBN 978 3 8325 3672 5 S 259 K Baer Parabolische Koordinaten in der Ebene und im Raum Konigliche Hofbuchdruckerei Trowizsch u Sohn Frankfurt a O 1888 Weblinks BearbeitenT Hoffmann Miniskript Differentialgeometrie I S 48 ff O Staude Die Fokaleigenschaften der Flachen 2 Ordnung Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen 1903 S 204 B Springborn Kurven und Flachen 12 Vorlesung Konfokale Quadriken S 22 f H Walser Konforme Abbildungen S 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konfokale Kegelschnitte amp oldid 225818539