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Fokalkegelschnitt In der Geometrie sind e ein Kurvenpaar bestehend aus 1 2 entwedereiner Ellipse und einer Hyperbel wobe

Fokalkegelschnitt

In der Geometrie sind Fokalkegelschnitte ein Kurvenpaar bestehend aus entweder

  • einer Ellipse und einer Hyperbel, wobei die Hyperbel in einer zur Ellipsenebene senkrechten Ebene liegt und deren Scheitel die Brennpunkte der Ellipse und deren Brennpunkte die Hauptscheitel der Ellipse sind (siehe Bild).
Fokalkegelschnitte: Ellipse, Hyperbel
A,C: Hauptscheitel der Ellipse und Brennpunkte der Hyperbel
E,F: Brennpunkte der Ellipse und Scheitel der Hyperbel
Fokalkegelschnitte: zwei Parabeln
A: Scheitel der roten Parabel und Brennpunkt der blauen Parabel
F: Brennpunkt der roten Parabel und Scheitel der blauen Parabel

oder

  • zwei Parabeln in zueinander senkrechten Ebenen, wobei der Scheitel der einen der Brennpunkt der anderen ist.

Fokalkegelschnitte ergeben sich in natürlicher Weise bei der Beantwortung der Frage „Welche Rotationskegel enthalten als Schnitt eine vorgegebene Ellipse bzw. Hyperbel bzw. Parabel?“ (siehe unten)

Weiterhin spielen sie in der Geometrie eine wesentliche Rolle

  1. bei der Erzeugung von Dupinschen Zykliden. Sie sind dort Leitkurven für die Darstellung einer Zyklide als Kanalfläche.
  2. bei der Fadenkonstruktion von 3-achsigen Ellipsoiden.

In der physikalischen Chemie verwendet man Fokalkegelschnitte (engl.: focal conics) bei der Beschreibung von geometrischen Eigenschaften von Flüssigkristallen.

Man sollte Fokalkegelschnitte nicht mit konfokalen Kegelschnitten verwechseln. Bei letzteren haben alle Kegelschnitte dieselben Brennpunkte.

Gleichungen und Parameterdarstellungen Bearbeiten

Ellipse und Hyperbel Bearbeiten

Beschreibt man die Ellipse in der x-y-Ebene wie üblich durch die Gleichung

genügt die zugehörige Fokalhyperbel in der x-z-Ebene der Gleichung

wobei die lineare Exzentrizität der Ellipse ist, d. h. es gilt

Zwei Parabeln Bearbeiten

Zwei Parabeln in der x-y-Ebene bzw. x-z-Ebene:

Dabei ist der Halbparameter der beiden Parabeln.

Kreiskegel (grün) durch eine Ellipse (blau)

Rotationskegel durch eine Ellipse bzw. eine Hyperbel Bearbeiten

  • Die Spitzen der Rotationskegel durch eine vorgegebene Ellipse (Hyperbel) liegen auf der zur Ellipse (Hyperbel) gehörenden Fokalhyperbel (Fokalellipse).
oben: Rotationskegel (grün, Spitze S) durch die Ellipse (blau),
k: Dandelinsche Kugel (lila, Mittelpunkt K)

Gegeben: Ellipse mit Hauptscheitel und Brennpunkten und ein die Ellipse enthaltender Rotationskegel (im Bild grün) mit Spitze .

Aus Symmetriegründen muss die Rotationsachse des Kegels in der zur Ellipsenebene senkrechten Ebene durch die Hauptachse der Ellipse liegen. Es gibt eine Dandelinsche Kugel , die die Ellipsenebene in dem Brennpunkt und den Kegel in einem Kreis berührt. Mit Hilfe des Bildes und der Tatsache, dass alle tangentialen Abstände eines Punktes von einer Kugel gleich sind, erkennt man:

Also ist:

und die Menge aller möglichen Kegelspitzen liegen auf der Hyperbel mit den Scheiteln und den Brennpunkten .

Lässt man die Kegelspitze ins Unendliche wandern, geht der Kegel in einen Zylinder über mit der Asymptote der Hyperbel als Achse und mit der kleinen Ellipsenhalbachse (= kleine Hyperbelhalbachse) als Radius.

Analog beweist man den Fall, dass eine Hyperbel gegeben ist.

Schnitt der Kegel durch Fokalkegelschnitte Bearbeiten

Orthogonale Kegel (grün, braun) durch (lila)

Die einem Paar von Fokalkegelschnitten zugeordneten senkrechten Kreiskegel durch die Kegelschnitte (s. vorigen Abschnitt) spielen bei der Anwendung des Satzes von Dupin auf Dupinsche Zykliden eine wichtige Rolle. Denn es gilt

Der Schlüssel zum Beweis liegt in der Tatsache, dass die Kegelachse von die Tangente an die Hyperbel im Punkt ist. Analog gilt: Die Achse des Kegels ist Tangente an die Ellipse in . Beide Aussagen folgen aus den Brennstrahleigeneschaften einer Ellipse bzw. Hyperbel (siehe Bild).

Da es sich um senkrechte Kreiszylinder handelt, genügt es zu zeigen, dass die Normalebenen der Kegel durch sich orthogonal schneiden:

Ist

Es gilt: (s. oben).

Es ist nachzuweisen, dass die Normalenvektoren der beiden Normalebenen senkrecht zueinander stehen, d. h., dass

Beim Nachrechnen kann man das Kreuzprodukt mit Hilfe der Lagrange-Identität vermeiden:

Literatur Bearbeiten

  • Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of Conics, Springer, 2016, ISBN 3662454505.
  • E. Müller, E. Kruppa: Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Springer-Verlag, Wien, 1961, ISBN 978-3-211-80589-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Müller-Kruppa, S. 104
  2. Glaeser-Stachel-Odehnal, S. 137
  3. Felix Klein: Vorlesungen Über Höhere Geometrie, Herausgeber: W. Blaschke, Richard Courant, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642498485, S. 58.
  4. Glaeser-Stachel-Odehnal: S. 147
  5. D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851, S. 18.
  6. Thomas Andrew Waigh: The Physics of Living Processes, Verlag John Wiley & Sons, 2014, ISBN 1118698274, S. 128.
  7. Glaeser-Stachel-Odehnal S. 139
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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie sind Fokalkegelschnitte ein Kurvenpaar bestehend aus 1 2 entwedereiner Ellipse und einer Hyperbel wobei die Hyperbel in einer zur Ellipsenebene senkrechten Ebene liegt und deren Scheitel die Brennpunkte der Ellipse und deren Brennpunkte die Hauptscheitel der Ellipse sind siehe Bild Fokalkegelschnitte Ellipse Hyperbel A C Hauptscheitel der Ellipse und Brennpunkte der Hyperbel E F Brennpunkte der Ellipse und Scheitel der HyperbelFokalkegelschnitte zwei Parabeln A Scheitel der roten Parabel und Brennpunkt der blauen Parabel F Brennpunkt der roten Parabel und Scheitel der blauen Parabel oder zwei Parabeln in zueinander senkrechten Ebenen wobei der Scheitel der einen der Brennpunkt der anderen ist Fokalkegelschnitte ergeben sich in naturlicher Weise bei der Beantwortung der Frage Welche Rotationskegel enthalten als Schnitt eine vorgegebene Ellipse bzw Hyperbel bzw Parabel siehe unten Weiterhin spielen sie in der Geometrie eine wesentliche Rolle bei der Erzeugung von Dupinschen Zykliden 3 4 Sie sind dort Leitkurven fur die Darstellung einer Zyklide als Kanalflache bei der Fadenkonstruktion von 3 achsigen Ellipsoiden 5 In der physikalischen Chemie verwendet man Fokalkegelschnitte engl focal conics bei der Beschreibung von geometrischen Eigenschaften von Flussigkristallen 6 Man sollte Fokalkegelschnitte nicht mit konfokalen Kegelschnitten verwechseln Bei letzteren haben alle Kegelschnitte dieselben Brennpunkte Inhaltsverzeichnis 1 Gleichungen und Parameterdarstellungen 1 1 Ellipse und Hyperbel 1 2 Zwei Parabeln 2 Rotationskegel durch eine Ellipse bzw eine Hyperbel 3 Schnitt der Kegel durch Fokalkegelschnitte 4 Literatur 5 EinzelnachweiseGleichungen und Parameterdarstellungen BearbeitenEllipse und Hyperbel Bearbeiten GleichungenBeschreibt man die Ellipse in der x y Ebene wie ublich durch die Gleichung x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp genugt die zugehorige Fokalhyperbel in der x z Ebene der Gleichung x 2 c 2 z 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 c 2 frac z 2 b 2 1 nbsp wobei c displaystyle c nbsp die lineare Exzentrizitat der Ellipse ist d h es gilt c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp Parameterdarstellungen Ellipse u f a cos f b sin f 0 T displaystyle quad vec u varphi a cos varphi b sin varphi 0 T nbsp und Hyperbel v ps c cosh ps 0 b sinh ps T displaystyle vec v psi c cosh psi 0 b sinh psi T nbsp Zwei Parabeln Bearbeiten Zwei Parabeln in der x y Ebene bzw x z Ebene 1 Parabel y 2 p 2 2 p x displaystyle y 2 p 2 2px nbsp und 2 Parabel z 2 2 p x displaystyle z 2 2px nbsp Dabei ist p displaystyle p nbsp der Halbparameter der beiden Parabeln nbsp Kreiskegel grun durch eine Ellipse blau Rotationskegel durch eine Ellipse bzw eine Hyperbel BearbeitenDie Spitzen der Rotationskegel durch eine vorgegebene Ellipse Hyperbel liegen auf der zur Ellipse Hyperbel gehorenden Fokalhyperbel Fokalellipse nbsp oben Rotationskegel grun Spitze S durch die Ellipse blau k Dandelinsche Kugel lila Mittelpunkt K NachweisGegeben Ellipse mit Hauptscheitel A B displaystyle A B nbsp und Brennpunkten E F displaystyle E F nbsp und ein die Ellipse enthaltender Rotationskegel im Bild grun mit Spitze S displaystyle S nbsp Aus Symmetriegrunden muss die Rotationsachse des Kegels in der zur Ellipsenebene senkrechten Ebene durch die Hauptachse der Ellipse liegen Es gibt eine Dandelinsche Kugel k displaystyle k nbsp die die Ellipsenebene in dem Brennpunkt F displaystyle F nbsp und den Kegel in einem Kreis beruhrt Mit Hilfe des Bildes und der Tatsache dass alle tangentialen Abstande eines Punktes von einer Kugel gleich sind erkennt man A S A A 1 A 1 S A F B 1 S displaystyle AS AA 1 A 1 S AF B 1 S nbsp B S B B 1 B 1 S B F B 1 S displaystyle BS BB 1 B 1 S BF B 1 S nbsp Also ist A S B S A F B F E F c o n s t displaystyle AS BS AF BF EF const nbsp und die Menge aller moglichen Kegelspitzen S displaystyle S nbsp liegen auf der Hyperbel mit den Scheiteln E F displaystyle E F nbsp und den Brennpunkten A B displaystyle A B nbsp Lasst man die Kegelspitze ins Unendliche wandern geht der Kegel in einen Zylinder uber mit der Asymptote der Hyperbel als Achse und mit der kleinen Ellipsenhalbachse kleine Hyperbelhalbachse als Radius Analog beweist man den Fall dass eine Hyperbel gegeben ist 7 Schnitt der Kegel durch Fokalkegelschnitte Bearbeiten nbsp Orthogonale Kegel grun braun durch S T displaystyle overline ST nbsp lila Die einem Paar von Fokalkegelschnitten zugeordneten senkrechten Kreiskegel durch die Kegelschnitte s vorigen Abschnitt spielen bei der Anwendung des Satzes von Dupin auf Dupinsche Zykliden eine wichtige Rolle Denn es gilt Wahlt man einen beliebigen Punkt S displaystyle S nbsp der Hyperbel und einen beliebigen Punkt T displaystyle T nbsp der Ellipse und ist k S displaystyle k S nbsp der Kreiskegel grun durch die Ellipse mit Spitze S displaystyle S nbsp und k T displaystyle k T nbsp der Kreiskegel braun durch die Hyperbel mit Spitze T displaystyle T nbsp so schneiden sich beide Kegel in der gemeinsamen Gerade S T displaystyle overline ST nbsp senkrecht Der Schlussel zum Beweis liegt in der Tatsache dass die Kegelachse a S displaystyle a S nbsp von k S displaystyle k S nbsp die Tangente an die Hyperbel im Punkt S displaystyle S nbsp ist Analog gilt Die Achse a T displaystyle a T nbsp des Kegels k T displaystyle k T nbsp ist Tangente an die Ellipse in T displaystyle T nbsp Beide Aussagen folgen aus den Brennstrahleigeneschaften einer Ellipse bzw Hyperbel siehe Bild Da es sich um senkrechte Kreiszylinder handelt genugt es zu zeigen dass die Normalebenen der Kegel durch S T displaystyle overline ST nbsp sich orthogonal schneiden Ist S s c cosh ps 0 b sinh ps T displaystyle S vec s c cosh psi 0 b sinh psi T nbsp und T t a cos f b sin f 0 T displaystyle T vec t a cos varphi b sin varphi 0 T nbsp so ist s c sinh ps 0 b cosh ps T displaystyle vec s c sinh psi 0 b cosh psi T nbsp und t a sin f b cos f 0 T displaystyle vec t a sin varphi b cos varphi 0 T nbsp Es gilt c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp s oben Es ist nachzuweisen dass die Normalenvektoren der beiden Normalebenen senkrecht zueinander stehen d h dass s s t t s t 0 displaystyle vec s times vec s vec t cdot vec t times vec s vec t 0 nbsp ist Beim Nachrechnen kann man das Kreuzprodukt mit Hilfe der Lagrange Identitat vermeiden s s t t s t s t s t 2 t s t s s t displaystyle vec s times vec s vec t cdot vec t times vec s vec t vec s cdot vec t vec s vec t 2 vec t cdot vec s vec t vec s cdot vec s vec t nbsp Literatur BearbeitenGeorg Glaeser Hellmuth Stachel Boris Odehnal The Universe of Conics Springer 2016 ISBN 3662454505 E Muller E Kruppa Lehrbuch der darstellenden Geometrie Springer Verlag Wien 1961 ISBN 978 3 211 80589 3 Einzelnachweise Bearbeiten Muller Kruppa S 104 Glaeser Stachel Odehnal S 137 Felix Klein Vorlesungen Uber Hohere Geometrie Herausgeber W Blaschke Richard Courant Springer Verlag 2013 ISBN 3642498485 S 58 Glaeser Stachel Odehnal S 147 D Hilbert amp S Cohn Vossen Anschauliche Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3662366851 S 18 Thomas Andrew Waigh The Physics of Living Processes Verlag John Wiley amp Sons 2014 ISBN 1118698274 S 128 Glaeser Stachel Odehnal S 139 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fokalkegelschnitt amp oldid 227099064