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Fokaloid Ein ist eine geometrische Figur die durch konfokale Ellipsen 2D oder durch konfokale Ellipsoide 3D berandet ist

Fokaloid

Ein Fokaloid ist eine geometrische Figur, die durch konfokale Ellipsen (2D) oder durch konfokale Ellipsoide (3D) berandet ist.

Fokaloid in 3D
Fokaloid in 2D

Mathematische Definition (3D) Bearbeiten

Wird eine Berandung durch ein implizit gegebenes Ellipsoid

mit den Halbachsen beschrieben, so ist die zweite Berandung durch

gegeben.

Im Grenzfall spricht man von dünnen, andernfalls von dicken Fokaloiden.

Konfokalität Bearbeiten

Die obigen konfokalen Ellipsoide haben die gleichen Brennpunkte. Mit gilt für deren Abstände zum Mittelpunkt O:

Definition fokaloide Verteilung Bearbeiten

Eine konfokale oder fokaloide Verteilung liegt z. B. vor, wenn die Schichten konstanter Dichte einer Massenverteilung oder die Schichten gleicher Ladungsdichte durch konfokale Ellipsoide bzw. Ellipsen (siehe Bild) gegeben sind.

Linien konstanter Dichte einer konfokalen Verteilung

Physikalische Bedeutung Bearbeiten

Fokaloide haben auch Bedeutung in der physikalischen Potentialtheorie. Sie liegt darin, dass zwei konfokale, homogen mit Masse oder Ladung gefüllte Ellipsoide in einem außerhalb befindlichen Probekörper Kräfte bewirken, die in die gleiche Richtung weisen und proportional zu den jeweiligen Massen bzw. Ladungen der jeweils einzelnen Ellipsoide sind.

Hieraus kann man schließen, dass auch verschiedene konfokale, homogen mit Masse oder Ladung gefüllte Fokaloide gleicher Masse bzw. Ladung außerhalb ihrer Ausdehnung unabhängig von ihrer Geometrie die gleiche Wirkung hervorrufen.

Dies bedeutet auch, dass die äußere Wirkung einer fokaloiden Verteilung durch die äußere Wirkung eines dazu konfokalen, homogen mit gleicher Masse gefüllten Ellipsoids beschrieben werden kann.

Weiterhin lässt sich das äußere Feld einer Strecke (dünner Stab) mit homogen darauf verteilter Masse oder konstantem Potential entlang des Stabes als fokaloide Verteilung beschreiben, wobei die Enden der Strecke (des Stabes) die Brennpunkte (Fokusse) des fokaloiden Feldes sind. Die Feldvektoren stehen dabei senkrecht auf den Ellipsoiden gleichen Feldbetrages.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • S. Chandrasekhar: Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale Univ. Press, London 1969.
  • E. J. Routh: A Treatise on Analytical Statics. Band II. Cambridge University Press, Cambridge 1882.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Fokaloid ist eine geometrische Figur die durch konfokale Ellipsen 2D oder durch konfokale Ellipsoide 3D berandet ist Fokaloid in 3DFokaloid in 2D Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Definition 3D 2 Konfokalitat 3 Definition fokaloide Verteilung 4 Physikalische Bedeutung 5 Siehe auch 6 LiteraturMathematische Definition 3D BearbeitenWird eine Berandung durch ein implizit gegebenes Ellipsoidx 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 frac z 2 c 2 1 nbsp mit den Halbachsen a b c displaystyle a b c nbsp beschrieben so ist die zweite Berandung durchx 2 a 2 l y 2 b 2 l z 2 c 2 l 1 displaystyle frac x 2 a 2 lambda frac y 2 b 2 lambda frac z 2 c 2 lambda 1 nbsp gegeben Im Grenzfall l 0 displaystyle lambda to 0 nbsp spricht man von dunnen andernfalls von dicken Fokaloiden Konfokalitat BearbeitenDie obigen konfokalen Ellipsoide haben die gleichen Brennpunkte Mit a b c displaystyle a geq b geq c nbsp gilt fur deren Abstande f 1 f 2 f 3 displaystyle f 1 f 2 f 3 nbsp zum Mittelpunkt O f 1 2 a 2 b 2 a 2 l b 2 l displaystyle f 1 2 a 2 b 2 a 2 lambda b 2 lambda nbsp f 2 2 a 2 c 2 a 2 l c 2 l displaystyle f 2 2 a 2 c 2 a 2 lambda c 2 lambda nbsp f 3 2 b 2 c 2 b 2 l c 2 l displaystyle f 3 2 b 2 c 2 b 2 lambda c 2 lambda nbsp Definition fokaloide Verteilung BearbeitenEine konfokale oder fokaloide Verteilung liegt z B vor wenn die Schichten konstanter Dichte einer Massenverteilung oder die Schichten gleicher Ladungsdichte durch konfokale Ellipsoide bzw Ellipsen siehe Bild gegeben sind nbsp Linien konstanter Dichte einer konfokalen VerteilungPhysikalische Bedeutung BearbeitenFokaloide haben auch Bedeutung in der physikalischen Potentialtheorie Sie liegt darin dass zwei konfokale homogen mit Masse oder Ladung gefullte Ellipsoide in einem ausserhalb befindlichen Probekorper Krafte bewirken die in die gleiche Richtung weisen und proportional zu den jeweiligen Massen bzw Ladungen der jeweils einzelnen Ellipsoide sind Hieraus kann man schliessen dass auch verschiedene konfokale homogen mit Masse oder Ladung gefullte Fokaloide gleicher Masse bzw Ladung ausserhalb ihrer Ausdehnung unabhangig von ihrer Geometrie die gleiche Wirkung hervorrufen Dies bedeutet auch dass die aussere Wirkung einer fokaloiden Verteilung durch die aussere Wirkung eines dazu konfokalen homogen mit gleicher Masse gefullten Ellipsoids beschrieben werden kann Weiterhin lasst sich das aussere Feld einer Strecke dunner Stab mit homogen darauf verteilter Masse oder konstantem Potential entlang des Stabes als fokaloide Verteilung beschreiben wobei die Enden der Strecke des Stabes die Brennpunkte Fokusse des fokaloiden Feldes sind Die Feldvektoren stehen dabei senkrecht auf den Ellipsoiden gleichen Feldbetrages Siehe auch BearbeitenHomooid Kreisring Kugelschale Konfokale KegelschnitteLiteratur BearbeitenS Chandrasekhar Ellipsoidal Figures of Equilibrium Yale Univ Press London 1969 E J Routh A Treatise on Analytical Statics Band II Cambridge University Press Cambridge 1882 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fokaloid amp oldid 195868162