www.wikidata.de-de.nina.az

Korteweg de Vries Gleichung Die KdV ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung Sie wurde 1895

Korteweg-de-Vries-Gleichung

Die Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV) ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung. Sie wurde 1895 von Diederik Korteweg und Gustav de Vries zur Analyse von Flachwasserwellen in engen Kanälen vorgeschlagen, zuvor aber schon von Boussinesq 1877 untersucht. Sie beschreibt Solitonen, die in Wasserkanälen erstmals 1834 von John Scott Russell beobachtet wurden. 1965 konnten Norman Zabusky und Martin Kruskal das quasi-periodische Verhalten im Fermi-Pasta-Ulam-Experiment erklären, indem sie zeigten, dass die KdV-Gleichung den kontinuierlichen Grenzfall darstellt.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Die KdV-Gleichung ist als partielle Differentialgleichung in einer Dimension und der Zeit formuliert. Sie ist eine Gleichung dritter Ordnung. Ursprünglich wurde sie von Korteweg und de Vries in der Form

mit explizit für Wellen in Kanälen formuliert, wobei

In der heutigen Fachliteratur findet man die Gleichung jedoch meist in der abstrahierten Form

die durch mehrere Transformationsschritte aus der ursprünglichen Gleichung herleitbar ist.

Eine der wichtigen Eigenschaften ist die Existenz von Solitonenlösungen. Die einfachste davon ist

wobei

  • beliebige Konstanten sind, die ein einzelnes nach rechts laufendes Soliton mit Geschwindigkeit beschreiben, und
  • für den Sekans hyperbolicus steht.

Mathematische Methoden Bearbeiten

Die KdV-Gleichung ist ein Beispiel eines vollständig integrablen Systems. Die Lösungen können in geschlossener Form exakt angegeben werden. Das hängt damit zusammen, dass sie als unendlich-dimensionales Hamiltonsches System aufgefasst werden können mit unendlich vielen Erhaltungsgrößen (Konstanten der Bewegung), die auch explizit angegeben werden können.

Man kann die KdV-Gleichung mit der von Clifford Gardner, John Greene, Martin Kruskal und Robert Miura entwickelten inversen Streutransformation lösen: Hierzu ordnet man einer Lösung einen eindimensionalen Schrödingeroperator

zu. Dieser bildet zusammen mit dem Operator

das Lax-Paar der KdV-Gleichung. D. h., löst genau dann die KdV-Gleichung, wenn gilt:

Ebenfalls kann man dem Schrödinger-Operator die Streudaten (Reflexionskoeffizient und Eigenwerte plus Normierungskonstanten) zuordnen. Die Eigenwerte sind aufgrund der Lax-Gleichung zeitunabhängig. Reflexionskoeffizient und Normierungskonstanten erfüllen lineare Differentialgleichungen, welche explizit gelöst werden können. Danach wird dann per inverser Streutheorie die Lösung rekonstruiert.

Dies hat einige interessante Folgen. Einerseits erhält man, dass Lösungen der KdV-Gleichung für alle Zeiten existieren, andererseits erhält man, dass die Solitonen genau den Eigenwerten entsprechen. Man kann sogar zeigen, dass beliebige, genügend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch für große Zeiten t durch eine endliche Anzahl nach rechts laufender Solitonen und einen nach links laufenden dispersiven Anteil gegeben sind.

Neben der Inversen Streutransformationen gibt es weitere Lösungsmethoden, insbesondere die direkte Methode von Ryōgo Hirota und die Methode der Bäcklund-Transformationen (mit der man eine ganze Hierarchie von Lösungen erzeugen kann).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J. Boussinesq, Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires presentes par divers savants, l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII (1877), pp. 1–680
  • C. S. Gardner, J. M. Green, M. D. Kruskal, R. M. Miura, A method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Letters 19 (1967), S. 1095–1097
  • Diederik Korteweg, Gustav de Vries: On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves. In: Philosophical Magazine. 5th series, Nr. 36, 1895, S. 422–443
  • K. Grunert, G. Teschl, „Long-Time Asymptotics for the Korteweg-de Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent“, Math. Phys. Anal. Geom. 12 (2009), 287–324, arxiv:0807.5041, doi:10.1007/s11040-009-9062-2
  • P. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Applied Math. 21 (1968), S. 467–490
  • V. A. Marchenko, Sturm-Liouville Operators and Applications, Birkhäuser, Basel, 1986
  • N. J. Zabusky und M. D. Kruskal, Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett. 15 (1965), S. 240–243

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Korteweg de Vries Gleichung KdV ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung Sie wurde 1895 von Diederik Korteweg und Gustav de Vries zur Analyse von Flachwasserwellen in engen Kanalen vorgeschlagen zuvor aber schon von Boussinesq 1877 untersucht Sie beschreibt Solitonen die in Wasserkanalen erstmals 1834 von John Scott Russell beobachtet wurden 1965 konnten Norman Zabusky und Martin Kruskal das quasi periodische Verhalten im Fermi Pasta Ulam Experiment erklaren indem sie zeigten dass die KdV Gleichung den kontinuierlichen Grenzfall darstellt Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 2 Mathematische Methoden 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksMathematische Formulierung BearbeitenDie KdV Gleichung ist als partielle Differentialgleichung in einer Dimension x displaystyle x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp formuliert Sie ist eine Gleichung dritter Ordnung Ursprunglich wurde sie von Korteweg und de Vries in der Form h t 3 2 g l 1 2 h 2 2 3 a h 1 3 s 2 h x 2 x displaystyle frac partial eta partial t frac 3 2 cdot sqrt frac g l cdot frac partial left frac 1 2 eta 2 frac 2 3 alpha cdot eta frac 1 3 sigma cdot frac partial 2 eta partial x 2 right partial x nbsp mit s l 3 3 T l r g displaystyle sigma tfrac l 3 3 tfrac T cdot l rho cdot g nbsp explizit fur Wellen in Kanalen formuliert wobei l displaystyle l nbsp die Tiefe g displaystyle g nbsp die Schwerebeschleunigung T displaystyle T nbsp die Oberflachenspannung r displaystyle rho nbsp die Dichte der Flussigkeit angibt In der heutigen Fachliteratur findet man die Gleichung jedoch meist in der abstrahierten Form u t 6 u u x 3 u x 3 0 displaystyle frac partial u partial t 6u cdot frac partial u partial x frac partial 3 u partial x 3 0 nbsp die durch mehrere Transformationsschritte aus der ursprunglichen Gleichung herleitbar ist Eine der wichtigen Eigenschaften ist die Existenz von Solitonenlosungen Die einfachste davon ist u x t 1 2 c s e c h 2 c 2 x c t a displaystyle u x t frac 1 2 cdot c cdot mathrm sech 2 left frac sqrt c 2 cdot x c cdot t a right nbsp wobei a c gt 0 displaystyle a c gt 0 nbsp beliebige Konstanten sind die ein einzelnes nach rechts laufendes Soliton mit Geschwindigkeit c displaystyle c nbsp beschreiben und s e c h displaystyle mathrm sech nbsp fur den Sekans hyperbolicus steht Mathematische Methoden BearbeitenDie KdV Gleichung ist ein Beispiel eines vollstandig integrablen Systems Die Losungen konnen in geschlossener Form exakt angegeben werden Das hangt damit zusammen dass sie als unendlich dimensionales Hamiltonsches System aufgefasst werden konnen mit unendlich vielen Erhaltungsgrossen Konstanten der Bewegung die auch explizit angegeben werden konnen Man kann die KdV Gleichung mit der von Clifford Gardner John Greene Martin Kruskal und Robert Miura entwickelten inversen Streutransformation losen Hierzu ordnet man einer Losung u x t displaystyle u x t nbsp einen eindimensionalen Schrodingeroperator L t d 2 d x 2 u x t displaystyle L t frac d 2 dx 2 u x t nbsp zu Dieser bildet zusammen mit dem Operator P t d 3 d x 3 3 u x t d d x d d x u x t displaystyle P t frac d 3 dx 3 3 left u x t frac d dx frac d dx u x t right nbsp das Lax Paar der KdV Gleichung D h u x t displaystyle u x t nbsp lost genau dann die KdV Gleichung wenn gilt d d t L t P t L t P t L t L t P t displaystyle frac d dt L t left P t L t right equiv P t L t L t P t nbsp Ebenfalls kann man dem Schrodinger Operator L t displaystyle L t nbsp die Streudaten Reflexionskoeffizient und Eigenwerte plus Normierungskonstanten zuordnen Die Eigenwerte sind aufgrund der Lax Gleichung zeitunabhangig Reflexionskoeffizient und Normierungskonstanten erfullen lineare Differentialgleichungen welche explizit gelost werden konnen Danach wird dann per inverser Streutheorie die Losung u x t displaystyle u x t nbsp rekonstruiert Dies hat einige interessante Folgen Einerseits erhalt man dass Losungen der KdV Gleichung fur alle Zeiten existieren andererseits erhalt man dass die Solitonen genau den Eigenwerten entsprechen Man kann sogar zeigen dass beliebige genugend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch fur grosse Zeiten t durch eine endliche Anzahl nach rechts laufender Solitonen und einen nach links laufenden dispersiven Anteil gegeben sind Neben der Inversen Streutransformationen gibt es weitere Losungsmethoden insbesondere die direkte Methode von Ryōgo Hirota und die Methode der Backlund Transformationen mit der man eine ganze Hierarchie von Losungen erzeugen kann Siehe auch BearbeitenKadomtsev Petviashvili GleichungLiteratur BearbeitenJ Boussinesq Essai sur la theorie des eaux courantes Memoires presentes par divers savants l Acad des Sci Inst Nat France XXIII 1877 pp 1 680 C S Gardner J M Green M D Kruskal R M Miura A method for solving the Korteweg de Vries equation Phys Rev Letters 19 1967 S 1095 1097 Diederik Korteweg Gustav de Vries On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves In Philosophical Magazine 5th series Nr 36 1895 S 422 443 K Grunert G Teschl Long Time Asymptotics for the Korteweg de Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent Math Phys Anal Geom 12 2009 287 324 arxiv 0807 5041 doi 10 1007 s11040 009 9062 2 P Lax Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves Comm Pure Applied Math 21 1968 S 467 490 V A Marchenko Sturm Liouville Operators and Applications Birkhauser Basel 1986 N J Zabusky und M D Kruskal Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states Phys Rev Lett 15 1965 S 240 243Weblinks BearbeitenKorteweg de Vries Equation Mathworld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korteweg de Vries Gleichung amp oldid 208673556