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Gross Pitaevskii Gleichung Die nach Eugene P Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski beschreibt die zeitliche Entwicklung d

Gross-Pitaevskii-Gleichung

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (nach Eugene P. Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Kondensats eines quantenmechanischen Vielteilchensystems in einem externen Potential :

Die Funktion ist der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend () oder abstoßend () ist.

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von bosonischen Quantenflüssigkeiten wie Bose-Einstein-Kondensaten (BEC), Supraleitern und Supraflüssigkeiten. Sie beinhaltet unter anderem solitäre Lösungen (nichtlineare Wellen) und Vortices (quantisierte Wirbel). Sie entspricht einer Molekularfeldnäherung mit der Wechselwirkung mit dem mittleren Feld der übrigen Bosonen im nichtlinearen Term.

Berücksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen (Ladung , Vektorpotential ), so muss man den Impulsoperator ersetzen: . In diesem Fall wird aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung die Ginzburg-Landau-Gleichung, die der phänomenologischen Beschreibung von Supraleitern dient.

Interpretation Bearbeiten

Den Freiheitsgrad der Gross-Pitaevskii-Gleichung, ein klassisches komplexwertiges Feld, kann man als Mittelwert eines Feldoperators interpretieren. Die Approximation des Feldoperators durch den Mittelwert ist zulässig, wenn sich viele Teilchen im selben quantenmechanischen Einteilchenzustand befinden, was nur bei Bosonen möglich ist. Im Rahmen der Quantenmechanik entspricht die Gross-Pitaevskii-Gleichung in diesem Sinn den Maxwell-Gleichungen.

Im Fall entfällt die Nichtlinearität und es besteht formale Übereinstimmung mit der 1-Teilchen-Schrödingergleichung. Die Freiheitsgrade der Schrödingergleichung sind allerdings die Teilchenkoordinaten. Eine Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung aus der Schrödingergleichung ist mit Hilfe des Formalismus der zweiten Quantisierung möglich.

Energie und Dispersion Bearbeiten

Die Energiedichte eines Systems, das durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben wird, ist gegeben durch:

Die Dispersionsrelation lautet:

Literatur Bearbeiten

Andere Arbeiten Bearbeiten

  • Alexander Pascal Guthmann: Numerische Simulation der Gross-Pitaevskii-Gleichung für ein Bose-Einstein-Kondensat in dynamischer Unordnung. TU Kaiserslautern 2020 (alexanderguthmann.de [PDF]).

Fachartikel Bearbeiten

  • László Erdős, Benjamin Schlein, Horng-Tzer Yau: Rigorous Derivation of the Gross-Pitaevskii Equation. In: Physical Review Letters. Band 98, Nr. 4, 26. Januar 2007, S. 040404, doi:10.1103/PhysRevLett.98.040404 (englisch).
  • Anthony J. Leggett: Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental concepts. In: Reviews of Modern Physics. Band 73, Nr. 2, 24. April 2001, S. 307–356, doi:10.1103/RevModPhys.73.307 (englisch).

Originalarbeiten Bearbeiten

  • E. P. Gross: Structure of a quantized vortex in boson systems. In: Il Nuovo Cimento. Band 20, Nr. 3, Mai 1961, S. 454–477, doi:10.1007/BF02731494 (englisch).
  • L.P. Pitaevskii: Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas. In: JETP. Band 13, Nr. 2, 1961, S. 451 (englisch, ras.ru [PDF]).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John M. Blatt: Theory of Superconductivity. Academic Press, New York and London 1964 (englisch, archive.org).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Gross Pitaevskii Gleichung nach Eugene P Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski beschreibt die zeitliche Entwicklung des Kondensats ps r t displaystyle psi vec r t eines quantenmechanischen Vielteilchensystems in einem externen Potential V r t displaystyle V vec r t i ℏ ps t ℏ 2 2 m 2 V r t g ps 2 ps displaystyle mathrm i hbar frac partial psi partial t left frac hbar 2 2m vec nabla 2 V vec r t g psi 2 right psi Die Funktion ps r t displaystyle psi vec r t ist der Ordnungsparameter des Phasenubergangs Der Parameter g displaystyle g beschreibt ob die Wechselwirkung anziehend g lt 0 displaystyle g lt 0 oder abstossend g gt 0 displaystyle g gt 0 ist Die Gross Pitaevskii Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von bosonischen Quantenflussigkeiten wie Bose Einstein Kondensaten BEC Supraleitern und Supraflussigkeiten Sie beinhaltet unter anderem solitare Losungen nichtlineare Wellen und Vortices quantisierte Wirbel Sie entspricht einer Molekularfeldnaherung mit der Wechselwirkung mit dem mittleren Feld der ubrigen Bosonen im nichtlinearen Term Berucksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen Ladung q displaystyle q Vektorpotential A displaystyle vec A so muss man den Impulsoperator ersetzen i ℏ i ℏ q A displaystyle mathrm i hbar vec nabla rightarrow mathrm i hbar vec nabla q vec A In diesem Fall wird aus der Gross Pitaevskii Gleichung die Ginzburg Landau Gleichung die der phanomenologischen Beschreibung von Supraleitern dient 1 Inhaltsverzeichnis 1 Interpretation 2 Energie und Dispersion 3 Literatur 3 1 Andere Arbeiten 3 2 Fachartikel 3 3 Originalarbeiten 4 EinzelnachweiseInterpretation BearbeitenDen Freiheitsgrad ps r t displaystyle psi vec r t nbsp der Gross Pitaevskii Gleichung ein klassisches komplexwertiges Feld kann man als Mittelwert eines Feldoperators ps r t displaystyle hat psi vec r t nbsp interpretieren Die Approximation des Feldoperators durch den Mittelwert ist zulassig wenn sich viele Teilchen im selben quantenmechanischen Einteilchenzustand befinden was nur bei Bosonen moglich ist Im Rahmen der Quantenmechanik entspricht die Gross Pitaevskii Gleichung in diesem Sinn den Maxwell Gleichungen Im Fall g 0 displaystyle g 0 nbsp entfallt die Nichtlinearitat und es besteht formale Ubereinstimmung mit der 1 Teilchen Schrodingergleichung Die Freiheitsgrade der Schrodingergleichung sind allerdings die Teilchenkoordinaten Eine Herleitung der Gross Pitaevskii Gleichung aus der Schrodingergleichung ist mit Hilfe des Formalismus der zweiten Quantisierung moglich Energie und Dispersion BearbeitenDie Energiedichte eines Systems das durch die Gross Pitaevskii Gleichung beschrieben wird ist gegeben durch ϵ ps ℏ 2 2 m ps 2 V ps 2 1 2 g ps 4 displaystyle epsilon left psi right frac hbar 2 2m vec nabla psi 2 V psi 2 frac 1 2 g psi 4 nbsp Die Dispersionsrelation lautet E ℏ w ℏ 2 k 2 2 m ℏ 2 k 2 2 m 2 g ps 2 displaystyle E hbar omega sqrt frac hbar 2 k 2 2m left frac hbar 2 k 2 2m 2g psi 2 right nbsp Literatur BearbeitenSiehe auch Quantenflussigkeit und Supraleiter Andere Arbeiten Bearbeiten Alexander Pascal Guthmann Numerische Simulation der Gross Pitaevskii Gleichung fur ein Bose Einstein Kondensat in dynamischer Unordnung TU Kaiserslautern 2020 alexanderguthmann de PDF Fachartikel Bearbeiten Laszlo Erdos Benjamin Schlein Horng Tzer Yau Rigorous Derivation of the Gross Pitaevskii Equation In Physical Review Letters Band 98 Nr 4 26 Januar 2007 S 040404 doi 10 1103 PhysRevLett 98 040404 englisch Anthony J Leggett Bose Einstein condensation in the alkali gases Some fundamental concepts In Reviews of Modern Physics Band 73 Nr 2 24 April 2001 S 307 356 doi 10 1103 RevModPhys 73 307 englisch Originalarbeiten Bearbeiten E P Gross Structure of a quantized vortex in boson systems In Il Nuovo Cimento Band 20 Nr 3 Mai 1961 S 454 477 doi 10 1007 BF02731494 englisch L P Pitaevskii Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas In JETP Band 13 Nr 2 1961 S 451 englisch ras ru PDF Einzelnachweise Bearbeiten John M Blatt Theory of Superconductivity Academic Press New York and London 1964 englisch archive org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gross Pitaevskii Gleichung amp oldid 231191239