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Molekularfeldtheorie Die engl mean field theory ist eine Näherung die Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen als

Molekularfeldtheorie

Die Molekularfeldtheorie (engl. mean-field theory) ist eine Näherung, die Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen als Systeme freier Teilchen in einem externen Feld betrachtet. Das externe Feld wird dabei als konstant angesehen und berücksichtigt somit nicht, dass jedes Teilchen durch sein Verhalten das Feld lokal verändert (d. h., Fluktuationen werden vernachlässigt).

Obwohl bei dieser Näherung für viele Größen quantitativ ungenaue Werte entstehen, gibt sie zahlreiche qualitative Hinweise auf das Skalenverhalten, also auf die kritischen Exponenten bei Phasenübergängen. Die Molekularfeldtheorie hängt eng mit der Landau-Theorie der Phasenübergänge zusammen.

Formal betrachtet die Molekularfeldtheorie den Zustand mit dem größten Beitrag zur Zustandssumme, weshalb sie auch als klassische Näherung oder Molekularfeldnäherung bezeichnet wird.

Anwendungen Bearbeiten

Die Molekularfeldtheorie wird häufig angewendet in der statistischen Physik oder der statistischen Thermodynamik, u. a. bei der Bestimmung der Permittivität polarisierbarer Medien, im Ising-Modell (Gitter aus N Spins) und in der Van-der-Waals-Theorie (Flüssigkeiten). Dabei ergibt sich die Beziehung zwischen dem Isingmodell und der Flüssigkeitstheorie aus der Gittergas-Interpretation des Ising-Modells (spin up 'Gitterplatz ist besetzt', spin down 'Gitterplatz ist leer').

Beispiel: N-Spin-System Bearbeiten

Ein System aus Spins ist charakterisiert durch seinen Hamilton-Operator:

wobei

beschreibt.

Im Sinn der Molekularfeldtheorie wird der Wechselwirkungsterm nun abgeschätzt, indem man die Spins ersetzt durch ihren Mittelwert über das gesamte System:

Der Erwartungswert eines einzelnen Spins ist dann in der Molekularfeldnäherung .

Damit wird der Hamilton-Operator zu:

wobei .

In einer weiteren Abschätzung wird als gleich für alle angenommen:

Der Term in der Klammer ist nun unabhängig von den einzelnen Wechselwirkungen im System und kann wie ein effektives äußeres Magnetfeld verstanden werden. Dieses kann man anstelle des Magnetfelds einsetzen in die Lösungen für das Problem freier Spins ().

Im Fall eines entlang der z-Achse ausgerichteten Magnetfeldes ergibt sich aus dem Erwartungswert der -Komponente der Spinssumme :

mit

der Erwartungswert für wechselwirkende Spins zu:

Einschränkungen Bearbeiten

Die Molekularfeldtheorie vernachlässigt Korrelationen der physikalischen Größen, d. h., es wird angenommen, dass . Daraus folgt, dass die Molekularfeldtheorie am kritischen Punkt eines Phasenübergangs, und in dessen Nähe, zusammenbricht.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Kern der Theorie besteht darin, dass für einen komplizierteren Operator eine lineare Näherung, d. h. eine Einteilchennäherung gemacht wird. Analog kann man z. B. in der Quantentheorie eine komplizierte Vielteilchentheorie auf eine optimal angepasste Einteilchentheorie zurückführen, indem man den Hamiltonoperator beispielsweise durch die zugehörige Hartree-Fock-Näherung approximiert oder passende Quasiteilchen einführt.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D.J. Amit: Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena, World Scientific, 1978, ISBN 9971-966-10-7.
  2. C. Itzykson, J.M. Drouffe: Statistical Field Theory, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-40805-9.
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Die Molekularfeldtheorie engl mean field theory ist eine Naherung die Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen als Systeme freier Teilchen in einem externen Feld betrachtet Das externe Feld wird dabei als konstant angesehen und berucksichtigt somit nicht dass jedes Teilchen durch sein Verhalten das Feld lokal verandert d h Fluktuationen werden vernachlassigt 1 Obwohl bei dieser Naherung fur viele Grossen quantitativ ungenaue Werte entstehen gibt sie zahlreiche qualitative Hinweise auf das Skalenverhalten also auf die kritischen Exponenten bei Phasenubergangen Die Molekularfeldtheorie hangt eng mit der Landau Theorie der Phasenubergange zusammen Formal betrachtet die Molekularfeldtheorie den Zustand mit dem grossten Beitrag zur Zustandssumme weshalb sie auch als klassische Naherung oder Molekularfeldnaherung bezeichnet wird Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen 2 Beispiel N Spin System 2 1 Einschrankungen 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAnwendungen BearbeitenDie Molekularfeldtheorie wird haufig angewendet in der statistischen Physik oder der statistischen Thermodynamik u a bei der Bestimmung der Permittivitat polarisierbarer Medien 2 im Ising Modell Gitter aus N Spins und in der Van der Waals Theorie Flussigkeiten Dabei ergibt sich die Beziehung zwischen dem Isingmodell und der Flussigkeitstheorie aus der Gittergas Interpretation des Ising Modells spin up displaystyle hat nbsp Gitterplatz ist besetzt spin down displaystyle hat nbsp Gitterplatz ist leer Beispiel N Spin System BearbeitenEin System aus N displaystyle N nbsp Spins ist charakterisiert durch seinen Hamilton Operator H j g m B S j B i j J j i S j S i j g m B S j B 1 g m B i J j i S i displaystyle begin aligned hat H amp sum j g mu mathrm B hat vec S j vec B sum i j J ji hat vec S j hat vec S i amp sum j g mu mathrm B hat vec S j left vec B frac 1 g mu mathrm B sum i J ji hat vec S i right end aligned nbsp wobei der erste Summand den Energiebeitrag durch die Wechselwirkung der Spins S displaystyle hat vec S nbsp mit der magnetischen Flussdichte B displaystyle vec B nbsp eines ausseren Magnetfeldes der zweite Summand die Wechselwirkung der Spins untereinander deren Eintrag in der Wechselwirkungsmatrix J j i displaystyle J ji nbsp von Null verschieden ist g displaystyle g nbsp den gyromagnetischen Faktor m B displaystyle mu mathrm B nbsp das Bohrsche Magnetonbeschreibt Im Sinn der Molekularfeldtheorie wird der Wechselwirkungsterm nun abgeschatzt indem man die Spins ersetzt durch ihren Mittelwert uber das gesamte System S 1 N i 0 N S i displaystyle langle hat vec S rangle frac 1 N sum i 0 N hat vec S i nbsp dd Der Erwartungswert eines einzelnen Spins S i displaystyle S i nbsp ist dann in der Molekularfeldnaherung S i S displaystyle langle hat vec S i rangle langle hat vec S rangle nbsp Damit wird der Hamilton Operator zu H j g m B S j B 1 g m B J j S displaystyle hat H sum j g mu mathrm B hat vec S j left vec B frac 1 g mu mathrm B J j langle hat vec S rangle right nbsp wobei J j i J j i displaystyle J j sum i J ji nbsp In einer weiteren Abschatzung wird J j displaystyle J j nbsp als gleich fur alle j displaystyle j nbsp angenommen J j J displaystyle J j J nbsp dd Der Term in der Klammer B eff B 1 g m B J S displaystyle vec B text eff left vec B frac 1 g mu mathrm B J langle hat vec S rangle right nbsp ist nun unabhangig von den einzelnen Wechselwirkungen im System und kann wie ein effektives ausseres Magnetfeld verstanden werden Dieses kann man anstelle des Magnetfelds einsetzen in die Losungen fur das Problem freier Spins J j i 0 displaystyle J ji 0 nbsp Im Fall eines entlang der z Achse ausgerichteten Magnetfeldes B B e z displaystyle vec B B vec e z nbsp ergibt sich aus dem Erwartungswert der z displaystyle z nbsp Komponente der Spinssumme S displaystyle S nbsp S z S B S S g m B B k B T displaystyle langle hat S z rangle S operatorname B S left frac Sg mu mathrm B B k mathrm B T right nbsp mit der Brillouin Funktion B S displaystyle operatorname B S cdot nbsp zum Spin S der Boltzmann Konstante k B displaystyle k mathrm B nbsp der absoluten Temperatur T displaystyle T nbsp der Erwartungswert fur wechselwirkende Spins zu S z S B S S g m B k B T B 1 g m B J S displaystyle langle hat S z rangle S operatorname B S left frac Sg mu mathrm B k mathrm B T left vec B frac 1 g mu mathrm B J langle hat vec S rangle right right nbsp Einschrankungen Bearbeiten Die Molekularfeldtheorie vernachlassigt Korrelationen der physikalischen Grossen d h es wird angenommen dass S 1 S 2 S 1 S 2 displaystyle langle S 1 S 2 rangle langle S 1 rangle langle S 2 rangle nbsp Daraus folgt dass die Molekularfeldtheorie am kritischen Punkt eines Phasenubergangs und in dessen Nahe zusammenbricht Verallgemeinerungen BearbeitenDer Kern der Theorie besteht darin dass fur einen komplizierteren Operator eine lineare Naherung d h eine Einteilchennaherung gemacht wird Analog kann man z B in der Quantentheorie eine komplizierte Vielteilchentheorie auf eine optimal angepasste Einteilchentheorie zuruckfuhren indem man den Hamiltonoperator beispielsweise durch die zugehorige Hartree Fock Naherung approximiert oder passende Quasiteilchen einfuhrt Literatur BearbeitenMolekularfeldtheorie des Ferromagnetismus Universitat Bayreuth abgerufen am 24 Dezember 2009 16 57 Mean Field Theory fur Ferromagnetismus engl CAU Kiel Hyperscript Prof H Foll 24 Juni 2012Einzelnachweise Bearbeiten D J Amit Field Theory the Renormalization Group and Critical Phenomena World Scientific 1978 ISBN 9971 966 10 7 C Itzykson J M Drouffe Statistical Field Theory Cambridge University Press 1989 ISBN 0 521 40805 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Molekularfeldtheorie amp oldid 208916229