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Gruppengeschwindigkeit Die v g displaystyle v mathrm g ist die Geschwindigkeit mit der sich die Hüllkurve d h der Amplit

Gruppengeschwindigkeit

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Hüllkurve (d. h. der Amplitudenverlauf) eines Wellenpakets fortbewegt

Die grünen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit,
der rote mit Phasengeschwindigkeit.

also die partielle Ableitung der Kreisfrequenz der Welle nach der Kreiswellenzahl .

Zusammenhänge Bearbeiten

Mit der Phasengeschwindigkeit Bearbeiten

Über eine Fourier-Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Überlagerung von Einzelwellen verschiedener Frequenzen vorstellen. Die Einzelwellen breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit aus, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen:

mit

Durch Einsetzen von in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung:

Mit der Wellenlänge lässt sie sich auch schreiben als:

Mit der Dispersion Bearbeiten

Die Dispersionsrelation beschreibt, wie von abhängt:

  • Wenn nicht proportional zu ist:

Mit der Signalgeschwindigkeit Bearbeiten

In praktisch verlustfreien Medien Bearbeiten

Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Signalgeschwindigkeit vor, mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert:

Dies stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können:

In verlustbehafteten Medien Bearbeiten

In verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit:

Bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien kann die Phasengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Gruppengeschwindigkeit und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht möglich, da hierfür die Frontgeschwindigkeit entscheidend ist, die niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen kann:

Die Frontgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten (d. h. Flächen gleicher Amplitude) und Diskontinuitäten der Welle bewegen. Sie ist definiert als Grenzwert der Phasengeschwindigkeit für unendlich große Kreiswellenzahl:

Weblinks Bearbeiten

  • GAP-Optique – Department of Physics University of Geneva Switzerland: (Memento vom 1. April 2007 im Internet Archive) (engl.; PDF-Datei; 89 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Gruppengeschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g ist die Geschwindigkeit mit der sich die Hullkurve d h der Amplitudenverlauf eines Wellenpakets fortbewegtDie grunen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit der rote mit Phasengeschwindigkeit v g w k displaystyle v mathrm g frac partial omega partial k also die partielle Ableitung der Kreisfrequenz w displaystyle omega der Welle nach der Kreiswellenzahl k displaystyle k Inhaltsverzeichnis 1 Zusammenhange 1 1 Mit der Phasengeschwindigkeit 1 2 Mit der Dispersion 1 3 Mit der Signalgeschwindigkeit 1 3 1 In praktisch verlustfreien Medien 1 3 2 In verlustbehafteten Medien 2 WeblinksZusammenhange BearbeitenMit der Phasengeschwindigkeit Bearbeiten Uber eine Fourier Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Uberlagerung von Einzelwellen verschiedener Frequenzen vorstellen Die Einzelwellen breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit v p displaystyle v mathrm p nbsp aus die angibt mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen v p w k l f displaystyle v mathrm p frac omega k lambda f nbsp mit der Wellenlange l displaystyle lambda nbsp der Frequenz f displaystyle f nbsp Durch Einsetzen von w v p k displaystyle omega v rm p cdot k nbsp in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung v g v p k v p k displaystyle v mathrm g v mathrm p k frac mathrm partial v mathrm p mathrm partial k nbsp Mit der Wellenlange l 2 p k displaystyle lambda 2 pi k nbsp lasst sie sich auch schreiben als v g v p l v p l displaystyle v mathrm g v mathrm p lambda frac mathrm partial v mathrm p mathrm partial lambda nbsp Mit der Dispersion Bearbeiten Die Dispersionsrelation w k displaystyle omega k nbsp beschreibt wie w displaystyle omega nbsp von k displaystyle k nbsp abhangt ist w displaystyle omega nbsp proportional zu k displaystyle k nbsp w k v p konst displaystyle frac omega k v mathrm p text konst nbsp v p k v p l 0 displaystyle Rightarrow frac partial v mathrm p partial k frac partial v mathrm p partial lambda 0 nbsp dd so ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit v p v g displaystyle Rightarrow v mathrm p v mathrm g nbsp dd und die Form der Einhullenden bleibt erhalten Wenn w displaystyle omega nbsp nicht proportional zu k displaystyle k nbsp ist w k v p f f konst v p v g displaystyle frac omega k v mathrm p text f f neq text konst Rightarrow v mathrm p neq v mathrm g nbsp dd liegt Dispersion vor In diesem Fall verbreitert sich die Hullkurve des Wellenpakets wahrend es sich ausbreitet z B bei Signalen in Lichtwellenleitern Mit der Signalgeschwindigkeit Bearbeiten In praktisch verlustfreien Medien Bearbeiten Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Signalgeschwindigkeit v s displaystyle v s nbsp vor mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert v s v g displaystyle v mathrm s v mathrm g nbsp Dies stimmt in den meisten Fallen und zwar immer dann wenn Verluste vernachlassigt werden konnen In verlustbehafteten Medien Bearbeiten In verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit v s v g displaystyle v mathrm s neq v mathrm g nbsp Bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien kann die Phasengeschwindigkeit wesentlich grosser sein als die Gruppengeschwindigkeit und sogar grosser als die Lichtgeschwindigkeit c 0 displaystyle c 0 nbsp im Vakuum Informationsubertragung mit Uberlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht moglich da hierfur die Frontgeschwindigkeit entscheidend ist die niemals Uberlichtgeschwindigkeit erreichen kann v s v f c 0 displaystyle v mathrm s v mathrm f leq c 0 nbsp Die Frontgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit mit der sich die Wellenfronten d h Flachen gleicher Amplitude und Diskontinuitaten der Welle bewegen Sie ist definiert als Grenzwert der Phasengeschwindigkeit fur unendlich grosse Kreiswellenzahl v f lim k v p displaystyle v mathrm f lim k to infty v mathrm p nbsp Weblinks BearbeitenGAP Optique Department of Physics University of Geneva Switzerland Quantum Correlations With Moving Observers Memento vom 1 April 2007 im Internet Archive engl PDF Datei 89 kB Wellengeschwindigkeiten Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit SignalgeschwindigkeitPhasenlaufzeit Gruppenlaufzeit Signallaufzeit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppengeschwindigkeit amp oldid 218394683