Die nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind benannte Etafunktion h Funktion ist eine auf der oberen Halbebene H t C I m t gt 0 displaystyle mathbb H tau in mathbb C mid mathrm Im tau gt 0 holomorphe Funktion Die Dedekindsche Etafunktion in der komplexen EbeneSie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der Thetafunktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition nach Dedekind 1 2 Definition nach Weber 2 Transformationsverhalten 3 Pentagonalzahlensatz und Partitionsfolgen 3 1 Funfeckszahlen und Kartenhauszahlen 3 2 Normale und strikte Partitionszahlen und Oberpartitionszahlen 3 3 Definitionen der Partitionszahlenfolgen 3 4 Tabelle und Beziehungsformeln der Folgen 4 Bezug zum elliptischen Integral und zum Nomen 5 Etafunktion und andere Modulfunktionen 5 1 Jacobische und Webersche Funktionen 5 2 Etafunktion fur die funfte Potenz des Nomens 6 Rogers Ramanujan Identitaten 7 Liste exemplarischer Werte 8 Losungsverfahren quintischer Gleichungen 8 1 Entdeckung durch Hermite 8 2 Losung nach Prasolov und Solovyev 9 Numerische Ausfuhrung an einem Rechenbeispiel 10 Siehe auch 11 Literatur 12 Weblinks 13 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDefinition nach Dedekind Bearbeiten Die Etafunktion wird ublicherweise folgendermassen als unendliches Produkt definiert h t e p i t 12 n 1 1 e 2 p i n t displaystyle eta tau e pi i tau 12 prod n 1 infty 1 e 2 pi in tau nbsp Aus der Definition folgt unmittelbar dass h displaystyle eta nbsp in H displaystyle mathbb H nbsp keine Nullstellen hat Die Funktion ist eng verwandt mit der Diskriminante D displaystyle Delta nbsp es ist D t 2 p 12 h 24 t displaystyle Delta tau 2 pi 12 eta 24 tau nbsp Definition nach Weber Bearbeiten Nach dem Braunschweiger Mathematiker Heinrich Weber ist die Dedekinsche Etafunktion 1 auf folgende Weise definiert h W x x 1 24 n 1 1 x n x 1 24 x x displaystyle eta W x x 1 24 prod n 1 infty 1 x n x 1 24 x x infty nbsp h W exp 2 p i t h t displaystyle eta W exp 2 pi i tau eta tau nbsp Die gezeigte Definition veroffentlichte Weber im dritten Volumen seines Werkes Lehrbuch der Algebra aus dem Jahre 1902 auf der Seite 112 Also ist die Etafunktion nach Weberscher Definition direkt das Produkt aus dem Eulerschen Produkt und der vierundzwanzigsten Wurzelfunktion Der Klammerausdruck mit den zwei x Eintragen stellt das Pochhammer Symbol dar Somit kann die Dedekindsche Etafunktion nach der Weberschen Definition auf mit der Jacobischen Thetafunktion definiert werden h W x 3 1 2 ϑ 10 1 6 p x 1 6 displaystyle eta W x 3 1 2 vartheta 10 tfrac 1 6 pi x 1 6 nbsp h W x 2 1 6 ϑ 10 x 1 6 ϑ 00 x 1 6 ϑ 01 x 2 3 displaystyle eta W x 2 1 6 vartheta 10 x 1 6 vartheta 00 x 1 6 vartheta 01 x 2 3 nbsp h W x 2 1 3 ϑ 10 x 1 2 1 3 ϑ 00 x 1 2 1 3 ϑ 01 x 1 2 1 3 displaystyle eta W x 2 1 3 vartheta 10 x 1 2 1 3 vartheta 00 x 1 2 1 3 vartheta 01 x 1 2 1 3 nbsp Diese drei soeben gezeigten Formeln stimmen miteinander uberein Im Folgenden wird ein wichtiges Beispiel formuliert h i h W e 2 p e p 12 e 2 p e 2 p 3 1 2 ϑ 10 1 6 p e p 3 displaystyle eta i eta W text e 2 pi text e pi 12 text e 2 pi text e 2 pi infty 3 1 2 vartheta 10 tfrac 1 6 pi text e pi 3 nbsp 2 1 6 ϑ 10 e 2 p 1 6 ϑ 00 e 2 p 1 6 ϑ 01 e 2 p 2 3 2 1 3 ϑ 10 e p 1 3 ϑ 00 e p 1 3 ϑ 01 e p 1 3 displaystyle 2 1 6 vartheta 10 text e 2 pi 1 6 vartheta 00 text e 2 pi 1 6 vartheta 01 text e 2 pi 2 3 2 1 3 vartheta 10 text e pi 1 3 vartheta 00 text e pi 1 3 vartheta 01 text e pi 1 3 nbsp 1 2 p 3 4 G 1 4 2 1 4 G displaystyle tfrac 1 2 pi 3 4 Gamma tfrac 1 4 2 1 4 sqrt G nbsp Hierbei stellt das Symbol G die Gammafunktion dar und das G bringt die Gausssche Konstante zum Ausdruck Ausserdem gelten folgende Definitionen fur die Thetafunktionen ϑ 00 x 1 2 k 1 x k 2 n 1 1 x 2 n 1 x 2 n 1 2 displaystyle vartheta 00 x 1 2 biggl sum k 1 infty x k 2 biggr prod n 1 infty 1 x 2n 1 x 2n 1 2 nbsp ϑ 01 x 1 2 k 1 x 2 k 1 2 x 2 k 2 n 1 1 x 2 n 1 x 2 n 1 2 displaystyle vartheta 01 x 1 2 biggl sum k 1 infty x 2k 1 2 x 2k 2 biggr prod n 1 infty 1 x 2n 1 x 2n 1 2 nbsp ϑ 10 x 2 k 1 x k 1 2 2 2 x 1 4 n 1 1 x 2 n 1 x 2 n 2 displaystyle vartheta 10 x 2 biggl sum k 1 infty x k frac 1 2 2 biggr 2x 1 4 prod n 1 infty 1 x 2n 1 x 2n 2 nbsp Transformationsverhalten BearbeitenIhre Bedeutung erhalt die Funktion aus ihrem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Erzeugenden der Modulgruppe G S L 2 Z a b c d a b c d Z a d b c 1 displaystyle Gamma mathrm SL 2 mathbb Z bigl begin smallmatrix a amp b c amp d end smallmatrix bigr mid a b c d in mathbb Z ad bc 1 nbsp Es gilt namlich h t 1 e p i 12 h t displaystyle eta tau 1 e pi i 12 eta tau nbsp Und es gilt h 1 t t i h t displaystyle eta left frac 1 tau right sqrt frac tau i eta tau nbsp Pentagonalzahlensatz und Partitionsfolgen BearbeitenFunfeckszahlen und Kartenhauszahlen Bearbeiten Zur Berechnung der Dedekindschen Etafunktion kann der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler verwendet werden h W x x 1 24 n 1 1 x n x 1 24 m 0 x m 6 m 1 x 2 m 1 3 m 1 x 2 m 1 3 m 2 x m 1 6 m 5 displaystyle eta W x x 1 24 prod n 1 infty 1 x n x 1 24 sum m 0 infty bigl x m 6m 1 x 2m 1 3m 1 x 2m 1 3m 2 x m 1 6m 5 bigr nbsp Die verallgemeinerten Pentagonalzahlen bilden eine Doppelfolge aus Funfeckszahlen und Kartenhauszahlen Denn dieselbe Formel kann auch so ausgedruckt werden h W x x 1 24 k 0 x Kr 2 k x Fn 2 k 1 x Kr 2 k 1 x Fn 2 k 2 displaystyle eta W x x 1 24 sum k 0 infty bigl x text Kr 2k x text Fn 2k 1 x text Kr 2k 1 x text Fn 2k 2 bigr nbsp Hier steht Fn z fur die z te Funfeckszahl und Kr z fur die z te Kartenhauszahl Fn z 1 2 z 3 z 1 displaystyle text Fn z tfrac 1 2 z 3z 1 nbsp Kr z 1 2 z 3 z 1 displaystyle text Kr z tfrac 1 2 z 3z 1 nbsp Fur die Synthese der Partitionszahlenfolge mit Hilfe einer Rekursionsformel konnen die Pentagonalzahlen ebenso verwendet werden Aus den nun gezeigten Formeln folgt dieses bestimmte Integral 0 1 h W x d x k 1 k 1 2 k 3 k 1 25 24 2 p sinh 2 3 6 p sech 6 p 0 341 6968346 displaystyle int 0 1 eta W x mathrm d x sum k infty infty frac 1 k tfrac 1 2 k 3k 1 tfrac 25 24 sqrt 2 pi sinh tfrac 2 3 sqrt 6 pi text sech sqrt 6 pi approx 0 3416968346 ldots nbsp Normale und strikte Partitionszahlen und Oberpartitionszahlen Bearbeiten Die Partitionszahlenfolge P selbst erscheint als Folge der Koeffizienten von folgender Funktion x 1 24 h W x 1 n 1 1 x n 1 m 0 P m x m displaystyle x 1 24 eta W x 1 prod n 1 infty 1 x n 1 sum m 0 infty P m x m nbsp Ahnliche Folgen gelten fur die strikte Partitionszahlenfolge Q und die Oberpartitionszahlenfolge P displaystyle overline P nbsp x 1 24 h W x ϑ 01 x 1 n 1 1 x n m 0 Q m x m displaystyle x 1 24 eta W x vartheta 01 x 1 prod n 1 infty 1 x n sum m 0 infty Q m x m nbsp 1 ϑ 01 x n 1 1 x n 1 x n m 0 P m x m displaystyle frac 1 vartheta 01 x prod n 1 infty frac 1 x n 1 x n sum m 0 infty overline P m x m nbsp Definitionen der Partitionszahlenfolgen Bearbeiten Normale Partitionszahlenfolge P Die normale Partitionszahlenfolge gibt bei einer naturlichen Zahl die Anzahl der Moglichkeiten an die betroffene Zahl in naturlich zahlige Summanden zu zerlegen Bei diesen Zerlegungen wird die Reihenfolge der jeweiligen Summanden nicht berucksichtigt Strikte Partitionszahlenfolge Q Wenn jeder Summand nur einmal 2 in der Partitionssumme erscheinen darf und somit kein Summand wiederholt in der Partitionssumme vorkommt dann liegen die sogenannten strikten Partitionen vor deren Anzahl in Abhangigkeit vom Wert der Summe durch die Zahlenfolge Q beschrieben wird Oberpartitionszahlenfolge P displaystyle overline P nbsp Wenn zu einer Zahl z alle Partitionen so aufgestellt werden dass die Summandengrosse nie steigt und bei jeder solchen Partition all diejenigen Summanden markiert werden durfen welche keinen gleich grossen Summanden links von sich haben dann wird die sich dadurch ergebende Anzahl der markierten Partitionen 3 in Abhangigkeit von z durch die Oberpartitionsfunktion P z displaystyle overline P z nbsp beschrieben Tabelle und Beziehungsformeln der Folgen Bearbeiten Tabelle der Zahlenfolgen z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15P z 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 101 135 176Q z 1 1 1 2 2 3 4 5 6 8 10 12 15 18 22 27P z displaystyle overline P z nbsp 1 2 4 8 14 24 40 64 100 154 232 344 504 728 1040 1472Wichtige Summenbeziehungen zu den genannten Zahlenfolgen untereinander P 2 n k 0 n P n k Q 2 k displaystyle P 2n sum k 0 n P n k Q 2k nbsp P 2 n 1 k 0 n P n k Q 2 k 1 displaystyle P 2n 1 sum k 0 n P n k Q 2k 1 nbsp P n k 0 n P n k Q k displaystyle overline P n sum k 0 n P n k Q k nbsp Bezug zum elliptischen Integral und zum Nomen BearbeitenDiese Beziehungen gelten zwischen dem elliptischen Nomen und dem vollstandigen elliptischen Integral erster Art h W q e 2 1 3 p 1 2 e 1 12 1 e 2 1 6 K e 1 2 displaystyle eta W q varepsilon 2 1 3 pi 1 2 varepsilon 1 12 1 varepsilon 2 1 6 K varepsilon 1 2 nbsp h W q e 2 2 1 6 p 1 2 e 1 6 1 e 2 1 12 K e 1 2 p 1 2 sin 2 arcsin e 1 6 K e 1 2 displaystyle eta W q varepsilon 2 2 1 6 pi 1 2 varepsilon 1 6 1 varepsilon 2 1 12 K varepsilon 1 2 pi 1 2 sin 2 arcsin varepsilon 1 6 K varepsilon 1 2 nbsp Diese Beziehungen gelten fur alle reellen Werte e im Intervall 0 lt e lt 1 Wichtiger Hinweis uber das elliptische Nomen q k exp p K 1 k 2 K k 1 displaystyle q k exp pi K sqrt 1 k 2 K k 1 nbsp Folgende Quotienten ergeben folgende Werte h W q e 10 h W q e 2 5 1 2 W R 5 e 1 3 2 W R 5 e 1 3 2 W R 5 e 1 1 6 displaystyle frac eta W q varepsilon 10 eta W q varepsilon 2 5 1 2 W R5 varepsilon 1 3 2 W R5 varepsilon 1 3 2W R5 varepsilon 1 1 6 nbsp h W q e 2 5 h W q e 2 W R 5 1 e 2 1 3 2 W R 5 1 e 2 1 3 2 W R 5 1 e 2 1 1 6 displaystyle frac eta W q varepsilon 2 5 eta W q varepsilon 2 W R5 sqrt 1 varepsilon 2 1 3 2 W R5 sqrt 1 varepsilon 2 1 3 2W R5 sqrt 1 varepsilon 2 1 1 6 nbsp Fur die reduzierte Webersche Modulfunktion W R 5 displaystyle W R5 nbsp gelten diese Formeln W R 5 e 2 q e 10 q e 20 q e q e 2 n q e 5 q e 10 q e 2 q e 4 n displaystyle W R5 varepsilon frac 2 q varepsilon 10 q varepsilon 20 infty q varepsilon q varepsilon 2 infty n q varepsilon 5 q varepsilon 10 infty q varepsilon 2 q varepsilon 4 infty n nbsp W R 5 e 5 ϑ 00 q e 5 2 2 ϑ 00 q e 2 1 2 dn 2 5 K e e dn 4 5 K e e displaystyle W R5 varepsilon frac 5 vartheta 00 q varepsilon 5 2 2 vartheta 00 q varepsilon 2 frac 1 2 text dn bigl tfrac 2 5 K varepsilon varepsilon bigr text dn bigl tfrac 4 5 K varepsilon varepsilon bigr nbsp 2 W R 5 e 5 W R 5 e 6 sin 2 arcsin e 2 2 W R 5 e 1 displaystyle 2 W R5 varepsilon 5 W R5 varepsilon 6 sin bigl 2 arcsin varepsilon bigr 2 bigl 2 W R5 varepsilon 1 bigr nbsp Etafunktion und andere Modulfunktionen BearbeitenJacobische und Webersche Funktionen Bearbeiten So sind die Weberschen Modulfunktionen uber die Pochhammerschen Produkte definiert f 10 x 2 x 1 12 x 2 x 4 1 displaystyle mathfrak f 10 x sqrt 2 x 1 12 x 2 x 4 infty 1 nbsp f 01 x x 1 24 x x 2 displaystyle mathfrak f 01 x x 1 24 x x 2 infty nbsp f 00 x x 1 24 x 2 x 4 x x 2 displaystyle mathfrak f 00 x x 1 24 frac x 2 x 4 infty x x 2 infty nbsp Zwischen den Jacobischen Funktionen und den Weberschen Modulfunktionen besteht folgender Zusammenhang ϑ 01 x x x x x 2 h W x f 01 x displaystyle vartheta 01 x x x infty x x 2 infty eta W x mathfrak f 01 x nbsp ϑ 01 x h W x 2 f 01 x 2 displaystyle vartheta 01 x eta W x 2 mathfrak f 01 x 2 nbsp ϑ 10 x h W x 2 f 10 x 2 displaystyle vartheta 10 x eta W x 2 mathfrak f 10 x 2 nbsp ϑ 00 x h W x 2 f 00 x 2 displaystyle vartheta 00 x eta W x 2 mathfrak f 00 x 2 nbsp Anhand dieser drei Formeln kann die Jacobische Identitat fur die Weberschen Funktionen angewendet werden f 00 x 8 f 01 x 8 f 10 x 8 displaystyle mathfrak f 00 x 8 mathfrak f 01 x 8 mathfrak f 10 x 8 nbsp Die Weberschen Modulfunktionen lassen sich ebenso uber die Dedekindsche Etafunktion direkt darstellen f 00 x ϑ 01 x 2 h W x ϑ 01 x h W x 2 displaystyle mathfrak f 00 x frac vartheta 01 x 2 eta W x vartheta 01 x eta W x 2 nbsp f 01 x h W x h W x 2 displaystyle mathfrak f 01 x frac eta W x eta W x 2 nbsp f 10 x 2 ϑ 01 x h W x 2 2 ϑ 01 x 2 h W x 2 displaystyle mathfrak f 10 x frac sqrt 2 vartheta 01 x eta W x 2 2 vartheta 01 x 2 eta W x 2 nbsp Etafunktion fur die funfte Potenz des Nomens Bearbeiten Fur die funften Potenzen des elliptischen Nomens existiert dieser Zusammenhang 2 f 01 q 5 f 01 q 5 5 ϑ 01 q 5 2 2 ϑ 01 q 2 1 2 displaystyle frac 2 mathfrak f 01 q 5 mathfrak f 01 q 5 frac 5 vartheta 01 q 5 2 2 vartheta 01 q 2 frac 1 2 nbsp Aus der genannten Identitat fur die Thetafunktion ϑ 01 displaystyle vartheta 01 nbsp konn folgende Quotienten direkt hervorgebracht werden ϑ 01 q 5 ϑ 01 q h W q 5 f 01 q 5 h W q f 01 q displaystyle frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q frac eta W q 5 mathfrak f 01 q 5 eta W q mathfrak f 01 q nbsp ϑ 01 q 5 ϑ 01 q h W q 10 f 01 q 5 2 h W q 2 f 01 q 2 displaystyle frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q frac eta W q 10 mathfrak f 01 q 5 2 eta W q 2 mathfrak f 01 q 2 nbsp Durch Kombination dieser beiden zuletzt genannten Formeln kann folgende Formel fur die Dedekindsche Etafunktion aufgestellt werden ϑ 01 q 5 ϑ 01 q f 01 q 4 h W q 5 h W q 5 ϑ 01 q 5 2 4 ϑ 01 q 2 1 4 displaystyle frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q frac mathfrak f 01 q 4 eta W q 5 eta W q biggl frac 5 vartheta 01 q 5 2 4 vartheta 01 q 2 frac 1 4 biggr nbsp ϑ 01 q 5 ϑ 01 q f 01 q 8 h W q 10 h W q 2 5 ϑ 01 q 5 2 4 ϑ 01 q 2 1 4 2 displaystyle frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q frac mathfrak f 01 q 8 eta W q 10 eta W q 2 biggl frac 5 vartheta 01 q 5 2 4 vartheta 01 q 2 frac 1 4 biggr 2 nbsp Nun wird erneut folgender Quotient hinzugefugt f 01 x h W x h W x 2 displaystyle mathfrak f 01 x frac eta W x eta W x 2 nbsp Aufgelost ergibt sich h W q 5 h W q h W q 2 4 h W q 4 ϑ 01 q 5 ϑ 01 q 5 ϑ 01 q 5 2 4 ϑ 01 q 2 1 4 1 displaystyle frac eta W q 5 eta W q frac eta W q 2 4 eta W q 4 frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q biggl frac 5 vartheta 01 q 5 2 4 vartheta 01 q 2 frac 1 4 biggr 1 nbsp h W q 10 h W q 2 h W q 2 8 h W q 8 ϑ 01 q 5 ϑ 01 q 5 ϑ 01 q 5 2 4 ϑ 01 q 2 1 4 2 displaystyle frac eta W q 10 eta W q 2 frac eta W q 2 8 eta W q 8 frac vartheta 01 q 5 vartheta 01 q biggl frac 5 vartheta 01 q 5 2 4 vartheta 01 q 2 frac 1 4 biggr 2 nbsp Rogers Ramanujan Identitaten BearbeitenDer Mathematiker Michael Trott behandelte in seinem Werk Modular Equations of the Rogers Ramanujan Continued Fraction fur den Rogers Ramanujan Kettenbruch folgende Identitat R x tan 1 2 arccot h W x 1 5 2 h W x 5 1 2 displaystyle R x tan biggl frac 1 2 operatorname arccot biggl frac eta W x 1 5 2 eta W x 5 frac 1 2 biggr biggr nbsp Somit kann der Rogers Ramanujan Kettenbruch mit dem Halbierungstheorem der Tangensfunktion dargestellt werden Auch die Rogers Ramanujan Funktionen G und H konnen mit Hilfe der Dedekindschen Etafunktion vereinfacht beschrieben werden G q 1 q q 5 q 4 q 5 q 1 60 h W q 5 1 2 h W q 1 2 R q 1 2 displaystyle G q frac 1 q q 5 infty q 4 q 5 infty q 1 60 eta W q 5 1 2 eta W q 1 2 R q 1 2 nbsp H q 1 q 2 q 5 q 3 q 5 q 11 60 h W q 5 1 2 h W q 1 2 R q 1 2 displaystyle H q frac 1 q 2 q 5 infty q 3 q 5 infty q 11 60 eta W q 5 1 2 eta W q 1 2 R q 1 2 nbsp Liste exemplarischer Werte BearbeitenNach Weberscher Definition werden hier einige Dedekindsche Etafunktionswerte aufgelistet Werte von geradexponentigen Potenzen des Kehrwerts der Gelfondschen 4 Konstante h W e 2 p 2 1 4 G displaystyle eta W text e 2 pi 2 1 4 sqrt G nbsp h W e 4 p 2 5 8 G displaystyle eta W text e 4 pi 2 5 8 sqrt G nbsp h W e 6 p 2 1 4 3 3 8 2 3 1 12 G displaystyle eta W text e 6 pi 2 1 4 3 3 8 2 sqrt 3 1 12 sqrt G nbsp h W e 8 p 2 17 16 2 1 1 4 G displaystyle eta W text e 8 pi 2 17 16 sqrt 2 1 1 4 sqrt G nbsp h W e 10 p 2 3 4 5 1 2 5 1 1 2 G displaystyle eta W text e 10 pi 2 3 4 5 1 2 sqrt 5 1 1 2 sqrt G nbsp h W e 12 p 2 15 8 3 3 8 12 4 3 1 2 3 1 12 G displaystyle eta W text e 12 pi 2 15 8 3 3 8 sqrt 4 12 sqrt 3 1 2 sqrt 3 1 12 sqrt G nbsp Werte von ungeradexponentigen Potenzen des Kehrwerts der Gelfondschen Konstante h W e p 2 1 8 G displaystyle eta W text e pi 2 1 8 sqrt G nbsp h W e 3 p 2 11 8 3 3 8 12 4 3 1 2 3 1 12 G displaystyle eta W text e 3 pi 2 11 8 3 3 8 sqrt 4 12 sqrt 3 1 2 sqrt 3 1 12 sqrt G nbsp h W e 5 p 2 9 8 5 1 2 5 4 1 5 1 1 2 G displaystyle eta W text e 5 pi 2 9 8 5 1 2 sqrt 4 5 1 sqrt 5 1 1 2 sqrt G nbsp Losungsverfahren quintischer Gleichungen BearbeitenEntdeckung durch Hermite Bearbeiten Der Allgemeinfall der Gleichungen funften Grades kann nach dem Satz von Abel Ruffini nicht mit elementar mathematischen Ausdrucken gelost werden Aber dieses Losen der allgemeinen quintischen Gleichung ist sehr wohl uber elliptische Modulfunktionen erster Art moglich Die Formel fur die Ermittlung des elliptischen Moduls ausgehend von einer quintischen Gleichung in Bring Jerrard Form wurde vom franzosischen Mathematiker Charles Hermite erforscht Er fand heraus dass fur eine Gleichung des folgenden Musters der zugehorige elliptische Modul k fur die Losungsformel der betroffenen Gleichung auf folgende Weise gebildet werden kann x 5 x t displaystyle x 5 x t nbsp k 50 5 t 2 32 2 3125 t 4 256 1 2 3125 t 4 256 16 5 5 4 t displaystyle k bigl 50 sqrt 5 t 2 32 2 sqrt 3125 t 4 256 bigr 1 2 bigl sqrt sqrt 3125 t 4 256 16 5 sqrt 4 5 t bigr nbsp Mit Hilfe von hyperbolisch lemniskatischen Funktionen kann derselbe Modul auch so dargestellt werden k ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 t 2 displaystyle k text ctlh bigl tfrac 1 2 text aclh bigl tfrac 5 4 sqrt 4 5 t bigr bigr 2 nbsp Diese Uberleitung vom absoluten Glied der gezeigten Bring Jerrard Gleichung hin zum elliptischen Modul wurde im Werk Sur la resolution de l Equation du cinquieme degre Comptes rendus von Charles Hermite exakt beschrieben Die von Francesco Brioschi angefertigte italienische Version dieses Werkes von Charles Hermite mit dem Titel Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado beinhaltet auf der Seite 258 diejenige Formel aus welcher die soeben gezeigte Modulermittlungsformel hervorgeht Losung nach Prasolov und Solovyev Bearbeiten Die russischen Mathematiker 5 Viktor Prasolov Viktor Prasolov und Yuri Solovyev Yurij Solovyov haben in ihrem Werk Elliptische Funktionen und elliptische Integrale Ellipticheskie funkcii i ellipticheskie integraly Elliptic functions and Elliptic integrals aus dem Jahre 1997 die exakte Losung der allgemeinen quintischen Gleichung in Bring Jerrard Form uber die Dedekindsche Etafunktion niedergeschrieben Vor allem im darin enthaltenen siebten Kapitel Thetafunktionen und Losungen von quintischen Gleichungen erlauterten sie die Ermittlung der Losungen mit den Thetafunktionen aus den Potenzen des elliptischen Nomens akkurat Hierbei fuhrten sie bei ihrer Beschreibung mehrere Funktionen und ebenso Funktionenscharen mit Indizes ein Der genannte Abschnitt befindet sich in der amerikanischen Ausgabe der American Mathematical Society auf den Seiten 155 bis 169 Die erste ihrer Funktionen die Funktion u q displaystyle u q nbsp hatte diese Definition u q q 1 24 n 1 1 q 2 n 1 q 1 24 q 2 q 4 q q 2 ϑ 01 q 2 h W q ϑ 01 q h W q 2 displaystyle u q q 1 24 prod n 1 infty 1 q 2n 1 q 1 24 frac q 2 q 4 infty q q 2 infty frac vartheta 01 q 2 eta W q vartheta 01 q eta W q 2 nbsp Diese Funktion ist exakt gleich der folgenden Weberschen Funktion u q f 00 q displaystyle u q mathfrak f 00 q nbsp Die zweite ihrer Funktionen die Funktion v q displaystyle v infty q nbsp hatte jene Definition v q u q 5 ϑ 01 q 10 h W q 5 ϑ 01 q 5 h W q 10 displaystyle v infty q u q 5 frac vartheta 01 q 10 eta W q 5 vartheta 01 q 5 eta W q 10 nbsp Als Drittes wurde im Werk die Funktionenschar v c displaystyle v c nbsp definiert v c q u exp 2 5 p i c q 1 5 displaystyle v c q u bigl exp bigl tfrac 2 5 pi ic bigr q 1 5 bigr nbsp Zusatzlich wurden folgende zwei Gleichungsbeziehung zu den einzelnen Funktionen genannt u q 6 v c q 6 u q 5 v c q 5 4 u q v c q displaystyle u q 6 v c q 6 u q 5 v c q 5 4u q v c q nbsp u q 12 64 u q 12 w z q w z q 2 5 2 displaystyle u q 12 64u q 12 w z q w z q 2 5 2 nbsp Zuletzt wurde die Funktionenschar w z q displaystyle w z q nbsp auf der Seite 166 der amerikanischen Version aufgestellt w z q 5 1 2 u q 3 v q v z q v z 1 q v z 1 q v z 2 q v z 2 q displaystyle w z q 5 1 2 u q 3 v infty q v z q v z 1 q v z 1 q v z 2 q v z 2 q nbsp In demjenigen Abschnitt dieses Werks von Prasolov und Solovyev welcher in der amerikanischen Version die Uberschrift The general scheme of solution of quintic equations tragt wird die exakte Losungsformel fur die Gleichung in Bring Jerrard Form beschrieben x 5 x t displaystyle x 5 x t nbsp k ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 t 2 displaystyle k text ctlh bigl tfrac 1 2 text aclh bigl tfrac 5 4 sqrt 4 5 t bigr bigr 2 nbsp x z 5 t w z q k 2 5 displaystyle x z frac 5 t w z q k 2 5 nbsp Numerische Ausfuhrung an einem Rechenbeispiel BearbeitenExemplarisch soll fur folgende Gleichung die reelle Losung hervorgebracht werden x 5 x 3 displaystyle x 5 x 3 nbsp k ctlh 1 2 aclh 15 4 5 4 2 450 5 32 2 253381 1 2 253381 16 15 5 4 displaystyle k text ctlh bigl tfrac 1 2 text aclh bigl tfrac 15 4 sqrt 4 5 bigr bigr 2 bigl 450 sqrt 5 32 2 sqrt 253381 bigr 1 2 bigl sqrt sqrt 253381 16 15 sqrt 4 5 bigr nbsp q q k 0 452 374059450344348576600264284387826 displaystyle q q k approx color blueviolet 0 452374059450344348576600264284387826 nbsp u q 1 679 3766370329236781186109016896650381 displaystyle u q approx color blue 1 6793766370329236781186109016896650381 nbsp v q 1 202 05654154478830540216287770857506625 displaystyle v infty q approx 1 20205654154478830540216287770857506625 nbsp v 0 q 13 357 708459902567001594418100339414049 displaystyle v 0 q approx 13 357708459902567001594418100339414049 nbsp v 1 q v 1 q 2 217 00531118412507928834105052918488698 i displaystyle v 1 q v 1 q approx 2 21700531118412507928834105052918488698 i nbsp v 2 q v 2 q 1 128 0472481977097041939578138011514475 i displaystyle v 2 q v 2 q approx 1 1280472481977097041939578138011514475 i nbsp w 0 q 2 870 403532491899703750395629829405173173 displaystyle w 0 q approx color Cyan 2 870403532491899703750395629829405173173 nbsp x 0 15 2 870 403532491899703750395629829405173173 2 5 displaystyle x 0 frac 15 color Cyan 2 870403532491899703750395629829405173173 2 5 nbsp x 0 1 132 9975658850652667211416342885323798165 displaystyle x 0 approx color green 1 1329975658850652667211416342885323798165 nbsp Siehe auch BearbeitenThetafunktion Webersche Modulfunktionen PartitionsfunktionLiteratur BearbeitenTom M Apostol Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990 ISBN 3 540 97127 0 Eberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 4 Auflage Springer Verlag Berlin 2006 ISBN 3 540 31764 3 Max Koecher Aloys Krieg Elliptische Funktionen und Modulformen 2 Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49324 2 Michael Trott Modular Equations of the Rogers Ramanujan Continued Fraction Mathematica J 9 314 333 2004 Charles Hermite Sur la resolution de l Equation du cinquieme degre Comptes rendus Comptes Rendus Acad Sci Paris Nr 11 Marz 1858 F Brioschi Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado Hermite Sur la resolution de l Equation du cinquieme degre Comptes rendus N 11 Mars 1858 1 Dezember 1858 doi 10 1007 bf03197334 Viktor Prasolov Yuri Solovyev Elliptic Functions and Elliptic Integrals American Mathematical Society Translation of Mathematical Monographs vol 170 Rhode Island 1991 pp 149 169 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dedekind Eta Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Dedekind Eta Function Abgerufen am 15 Marz 2022 englisch code golf Strict partitions of a positive integer Abgerufen am 9 Marz 2022 A015128 OEIS Abgerufen am 24 April 2022 Eric W Weisstein Gelfond s Constant Abgerufen am 15 Marz 2022 englisch https staff math su se mleites books prasolov soloviev 1997 elliptic pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dedekindsche Etafunktion amp oldid 236812130
