Dieser Artikel behandelt unendliche Taylorreihen Zur Darstellung von Funktionen durch eine Partialsumme dieser Reihen das sog Taylorpolynom und ein Restglied siehe Taylor Formel Die Taylorreihe wird in der Analysis verwendet um eine analytische Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen die der Grenzwert der Taylor Polynome ist Diese Reihenentwicklung wird Taylor Entwicklung genannt Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor benannt Approximation von ln x durch Taylorpolynome der Grade 1 2 3 bzw 10 um die Entwicklungsstelle 1 Die Polynome konvergieren nur im Intervall 0 2 Der Konvergenzradius ist also 1 Animation zur Approximation ln 1 x an der Stelle x 0 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Ubereinstimmung an der Entwicklungsstelle 2 2 Gleichheit mit der Funktion 3 Wichtige Taylorreihen 3 1 Exponentialfunktionen und Logarithmen 3 2 Trigonometrische Funktionen 4 Produkt von Taylorreihen 4 1 Beispiel 5 Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen 5 1 Konvergenzradius 0 5 2 Eine Funktion die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann 6 Mehrdimensionale Taylorreihe 6 1 Beispiel 7 Operatorform 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein offenes Intervall f I R displaystyle f colon I rightarrow mathbb R nbsp eine glatte Funktion und a displaystyle a nbsp ein Element von I displaystyle I nbsp Dann heisst die unendliche Reihe T f x a n 0 f n a n x a n f a f a x a f a 2 x a 2 f a 6 x a 3 displaystyle Tf x a sum n 0 infty frac f n a n x a n f a f a x a frac f a 2 x a 2 frac f a 6 x a 3 dotsb nbsp die Taylorreihe von f displaystyle f nbsp mit Entwicklungsstelle a displaystyle a nbsp Hierbei bezeichnet n displaystyle n nbsp die Fakultat von n displaystyle n nbsp und f n displaystyle f n nbsp die n displaystyle n nbsp te Ableitung von f displaystyle f nbsp wobei man f 0 f displaystyle f 0 f nbsp setzt Die Reihe ist hier zunachst nur formal zu verstehen Das heisst dass die Konvergenz der Reihe nicht vorausgesetzt ist In der Tat gibt es Taylorreihen die nicht uberall konvergieren fur T log x 1 displaystyle T log x 1 nbsp siehe obige Abbildung Auch gibt es Taylorreihen die zwar konvergieren aber nicht gegen die Funktion aus der die Taylorreihe gebildet wird zum Beispiel T f x 0 displaystyle Tf x 0 nbsp fur f x exp 1 x 2 fur x 0 0 fur x 0 displaystyle f x begin cases exp left frac 1 x 2 right amp text fur x neq 0 0 amp text fur x 0 end cases nbsp Im Spezialfall a 0 displaystyle a 0 nbsp wird die Taylorreihe auch Maclaurin Reihe genannt Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe T 1 f x a f a f a x a displaystyle T 1 f x a f a f a cdot x a nbsp nennt man auch Linearisierung von f displaystyle f nbsp an der Stelle a displaystyle a nbsp Allgemeiner nennt man die Partialsumme T N f x a n 0 N f n a n x a n displaystyle T N f x a sum n 0 N frac f n a n x a n nbsp die fur festes a displaystyle a nbsp ein Polynom in der Variablen x displaystyle x nbsp darstellt das N displaystyle N nbsp te Taylorpolynom Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen daruber wie dieses Polynom von der Funktion f displaystyle f nbsp abweicht Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein haufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis der Numerik der Physik und der Ingenieurwissenschaften Eigenschaften BearbeitenDie Taylorreihe T f x a displaystyle Tf x a nbsp zur Funktion f displaystyle f nbsp ist eine Potenzreihe mit den Ableitungen T f k x a d d x k 1 n 0 d d x f n a n x a n d d x k 1 n 1 f n a n n x a n 1 d d x k 1 n 0 f n 1 a n x a n T f k 1 x a displaystyle begin aligned left Tf right k x a amp left frac mathrm d mathrm d x right k 1 sum n 0 infty frac mathrm d mathrm d x left frac f n a n x a n right left frac mathrm d mathrm d x right k 1 sum n 1 infty frac f n a n n x a n 1 amp left frac mathrm d mathrm d x right k 1 sum n 0 infty frac f n 1 a n x a n left Tf right k 1 x a end aligned nbsp und somit folgt durch vollstandige Induktion T f k x a T f k x a displaystyle left Tf right k x a left Tf k right x a nbsp Ubereinstimmung an der Entwicklungsstelle Bearbeiten Wegen T f a a n 0 f n a n a a n f 0 a 0 a a 0 f a displaystyle left Tf right a a sum n 0 infty frac f n a n a a n frac f 0 a 0 a a 0 f a nbsp stimmen an der Entwicklungsstelle a displaystyle a nbsp die Taylorreihe T f displaystyle Tf nbsp und ihre Ableitungen mit der Funktion f displaystyle f nbsp und deren Ableitungen uberein T f k a a T f k a a f k a displaystyle left Tf right k a a left Tf k right a a f k a nbsp Gleichheit mit der Funktion Bearbeiten Im Fall einer analytischen Funktion f x n 0 a n x a n displaystyle f x sum n 0 infty a n x a n nbsp stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe uberein denn es gilt f k x n k a n n n k x a n k f k a k a k displaystyle begin aligned f k x amp sum n k infty a n frac n n k x a n k frac f k a k amp a k end aligned nbsp und somit T f x a f x displaystyle Tf x a f x nbsp Wichtige Taylorreihen BearbeitenExponentialfunktionen und Logarithmen Bearbeiten nbsp Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x 0Die naturliche Exponentialfunktion wird auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 fur alle x R displaystyle mathrm e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 dotsb quad text fur alle x in mathbb R nbsp Beim naturlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1 d h fur 0 lt x 2 displaystyle 0 lt x leq 2 nbsp wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt vgl Abb oben ln x n 1 1 n 1 n x 1 n x 1 x 1 2 2 x 1 3 3 fur 0 lt x 2 displaystyle ln x sum n 1 infty frac 1 n 1 n x 1 n x 1 frac x 1 2 2 frac x 1 3 3 dotsb quad text fur 0 lt x leq 2 nbsp Schneller konvergiert die Reihe ln 1 x 1 x 2 k 0 x 2 k 1 2 k 1 2 x 2 3 x 3 2 5 x 5 fur 1 lt x lt 1 displaystyle ln left frac 1 x 1 x right 2 sum k 0 infty frac x 2k 1 2k 1 2x frac 2 3 x 3 frac 2 5 x 5 dotsb qquad text fur 1 lt x lt 1 nbsp und daher ist sie geeigneter fur praktische Anwendungen Wahlt man x y 1 y 1 displaystyle x frac y 1 y 1 nbsp fur ein y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp so ist 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 nbsp und ln 1 x 1 x ln y displaystyle ln left frac 1 x 1 x right ln y nbsp Trigonometrische Funktionen Bearbeiten nbsp Approximation von sin x durch Taylorpolynome T vom Grad 1 3 5 und 7 nbsp Animation Die Kosinusfunktion um die Stelle 0 entwickelt in sukzessiver NaherungFur die Entwicklungsstelle a 0 displaystyle a 0 nbsp Maclaurin Reihen gilt sin x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 fur alle x x x 3 6 x 5 120 cos x n 0 1 n x 2 n 2 n fur alle x 1 x 2 2 x 4 24 tan x n 1 B 2 n 4 n 1 4 n 2 n x 2 n 1 fur x lt p 2 x x 3 3 2 x 5 15 sec x n 0 1 n E 2 n 2 n x 2 n fur x lt p 2 1 x 2 2 5 x 4 24 displaystyle begin aligned sin x amp sum n 0 infty 1 n frac x 2n 1 2n 1 amp text fur alle x amp x frac x 3 6 frac x 5 120 dotsb cos x amp sum n 0 infty 1 n frac x 2n 2n amp text fur alle x amp 1 frac x 2 2 frac x 4 24 dotsb tan x amp sum n 1 infty frac B 2n 4 n 1 4 n 2n x 2n 1 amp text fur x lt frac pi 2 amp x frac x 3 3 frac 2x 5 15 dotsb sec x amp sum n 0 infty 1 n frac E 2n 2n x 2n amp text fur x lt frac pi 2 amp 1 frac x 2 2 frac 5x 4 24 dotsb end aligned nbsp Hierbei ist B 2 n displaystyle B 2n nbsp die 2 n displaystyle 2n nbsp te Bernoulli Zahl und E 2 n displaystyle E 2n nbsp die 2 n displaystyle 2n nbsp te Eulersche Zahl arcsin x n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 fur x lt 1 arccos x p 2 arcsin x fur x 1 arctan x n 0 1 n 1 2 n 1 x 2 n 1 fur x 1 displaystyle begin aligned arcsin x amp sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad amp text fur left x right lt 1 arccos x amp frac pi 2 arcsin x amp text fur left x right leq 1 arctan x amp sum n 0 infty 1 n frac 1 2n 1 x 2n 1 amp text fur left x right leq 1 end aligned nbsp Produkt von Taylorreihen BearbeitenDie Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp kann berechnet werden wenn die Ableitungen dieser Funktionen an derselben Entwicklungsstelle a displaystyle a nbsp bekannt sind f n a u n g n a v n displaystyle f n a u n qquad g n a v n nbsp Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann f g n a k 0 n n k u k v n k displaystyle f cdot g n a sum k 0 n binom n k u k v n k nbsp Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben T f x a n 0 a n x a n T g x a n 0 b n x a n displaystyle Tf x a sum n 0 infty alpha n x a n qquad Tg x a sum n 0 infty beta n x a n nbsp so gilt T f g x a n 0 g n x a n displaystyle T f cdot g x a sum n 0 infty gamma n x a n nbsp mit g n f g n a n 1 n k 0 n n k n k k a k n k b n k k 0 n a k b n k displaystyle gamma n frac f cdot g n a n frac 1 n sum k 0 n frac n k n k k alpha k n k beta n k sum k 0 n alpha k beta n k nbsp Dies entspricht der Cauchy Produktformel der beiden Potenzreihen Beispiel Bearbeiten Seien f x exp x displaystyle f x exp x nbsp g x 1 x displaystyle g x 1 x nbsp und a 0 displaystyle a 0 nbsp Dann gilt a n 1 n b n 1 fur n 0 1 0 fur n gt 1 displaystyle alpha n frac 1 n qquad beta n begin cases 1 amp text fur n in 0 1 0 amp text fur n gt 1 end cases nbsp und wir erhalten g 0 a 0 1 fur n 0 g n a n a n 1 fur n gt 0 displaystyle gamma 0 alpha 0 1 text fur n 0 qquad gamma n alpha n alpha n 1 text fur n gt 0 nbsp in beiden Fallen also g n 1 n n displaystyle gamma n frac 1 n n nbsp und somit T f g x 0 n 0 1 n n x n displaystyle T f cdot g x 0 sum n 0 infty frac 1 n n x n nbsp Diese Taylorentwicklung ware allerdings auch direkt uber die Berechnung der Ableitungen von exp x 1 x displaystyle exp x cdot 1 x nbsp moglich exp x 1 x n x exp x 1 n x exp x 1 x n 0 1 n displaystyle begin aligned exp x cdot 1 x n x amp exp x cdot 1 n x exp x cdot 1 x n 0 amp 1 n end aligned nbsp Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen BearbeitenDass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle a displaystyle a nbsp einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit f displaystyle f nbsp ubereinstimmt gilt nicht fur jede beliebig oft differenzierbare Funktion Aber auch in den folgenden Fallen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehorige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet Konvergenzradius 0 Bearbeiten Die Funktion f x 0 e t 1 x 2 t d t displaystyle f x int 0 infty frac mathrm e t 1 x 2 t mathrm d t nbsp ist auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp beliebig oft differenzierbar aber ihre Taylorreihe in a 0 displaystyle a 0 nbsp ist T f x 0 1 x 2 2 x 4 3 x 6 4 x 8 displaystyle Tf x 0 1 x 2 2 x 4 3 x 6 4 x 8 mp dotsb nbsp und somit nur fur x 0 displaystyle x 0 nbsp konvergent namlich gegen bzw gleich 1 1 Eine Funktion die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann Bearbeiten Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle a 0 displaystyle a 0 nbsp mit der Ausgangsfunktion uberein f x 0 fur x 0 e 1 x 2 fur x gt 0 displaystyle f x begin cases 0 amp text fur x leq 0 mathrm e 1 x 2 amp text fur x gt 0 end cases nbsp Als reelle Funktion ist f displaystyle f nbsp beliebig oft stetig differenzierbar wobei die Ableitungen in jedem Punkt x 0 displaystyle x leq 0 nbsp insbesondere fur x 0 displaystyle x 0 nbsp ausnahmslos 0 sind Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f displaystyle f nbsp uberein Daher ist f displaystyle f nbsp nicht analytisch Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp konvergiert zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und 2 a displaystyle 2a nbsp gegen f displaystyle f nbsp Auch mit einer Laurentreihe lasst sich diese Funktion nicht approximieren weil die Laurentreihe die die Funktion fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp korrekt wiedergibt fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp nicht konstant 0 ergibt Mehrdimensionale Taylorreihe BearbeitenSiehe auch Taylor Formel im Mehrdimensionalen im Artikel Taylor Formel Sei nun im Folgenden f R d R displaystyle f colon mathbb R d to mathbb R nbsp eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion mit Entwicklungsstelle a R d displaystyle a in mathbb R d nbsp Dann kann man zur Funktionsauswertung f x displaystyle f x nbsp eine mit x displaystyle x nbsp und a displaystyle a nbsp parametrisierte Familie von Funktionen F x a t R R displaystyle F x a t colon mathbb R to mathbb R nbsp einfuhren die man so definiert F x a t f a t x a displaystyle F x a t f a t cdot x a nbsp F x a 1 displaystyle F x a 1 nbsp ist dann wie man durch Einsetzen von t 1 displaystyle t 1 nbsp feststellt gleich f x displaystyle f x nbsp Berechnet man nun von F x a displaystyle F x a nbsp die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt t 0 0 displaystyle t 0 0 nbsp und wertet sie bei t 1 displaystyle t 1 nbsp aus so erhalt man die mehrdimensionale Taylorentwicklung von f displaystyle f nbsp T f x a T F x a 1 0 n 0 F x a n 0 n displaystyle Tf x a TF x a 1 0 sum n 0 infty frac F x a n 0 n nbsp Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex Notationen fur a a 1 a d N 0 d displaystyle alpha alpha 1 dotsc alpha d in mathbb N 0 d nbsp D a a x 1 a 1 x d a d n a n i 1 d a i displaystyle D alpha frac partial alpha partial x 1 alpha 1 cdots partial x d alpha d qquad binom n alpha frac n prod i 1 d alpha i nbsp erhalt man ferner F x a n t a n n a x a a D a f a t x a displaystyle F x a n t sum alpha n binom n alpha x a alpha D alpha f a t x a nbsp Mit der Schreibweise a i 1 d a i displaystyle alpha prod i 1 d alpha i nbsp erhalt man fur die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl des Entwicklungspunktes a displaystyle a nbsp T f x a a 0 x a a a D a f a displaystyle Tf x a sum alpha geq 0 frac x a alpha alpha D alpha f a nbsp in Ubereinstimmung zum eindimensionalen Fall falls man die Multiindex Notation verwendet Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus T f x a n 1 0 n d 0 i 1 d x i a i n i i 1 d n i i 1 d n i f x 1 n 1 x d n d a f a j 1 d f a x j x j a j 1 2 j 1 d k 1 d 2 f a x j x k x j a j x k a k 1 6 j 1 d k 1 d l 1 d 3 f a x j x k x l x j a j x k a k x l a l displaystyle begin aligned Tf x a amp sum n 1 0 infty cdots sum n d 0 infty frac prod i 1 d x i a i n i prod i 1 d n i left frac partial sum i 1 d n i f partial x 1 n 1 cdots partial x d n d right a amp f a sum j 1 d frac partial f a partial x j x j a j frac 1 2 sum j 1 d sum k 1 d frac partial 2 f a partial x j partial x k x j a j x k a k amp frac 1 6 sum j 1 d sum k 1 d sum l 1 d frac partial 3 f a partial x j partial x k partial x l x j a j x k a k x l a l dotsb end aligned nbsp Beispiel Bearbeiten Zum Beispiel gilt nach dem Satz von Schwarz fur die Taylorreihe einer Funktion g R 2 R displaystyle g colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp die von x x 1 x 2 displaystyle x x 1 x 2 nbsp abhangt an der Entwicklungsstelle a a 1 a 2 displaystyle a a 1 a 2 nbsp T g x a g a g x 1 a x 1 a 1 g x 2 a x 2 a 2 1 2 x 1 a 1 2 g x 1 x 1 a 2 x 1 a 1 x 2 a 2 g x 1 x 2 a x 2 a 2 2 g x 2 x 2 a displaystyle begin aligned Tg x a amp g a g x 1 a cdot x 1 a 1 g x 2 a cdot x 2 a 2 amp frac 1 2 left x 1 a 1 2 g x 1 x 1 a 2 x 1 a 1 x 2 a 2 g x 1 x 2 a x 2 a 2 2 g x 2 x 2 a right dotsb end aligned nbsp Operatorform BearbeitenDie Taylorreihe lasst sich auch in der Form e x a D f a displaystyle mathrm e x a D f a nbsp darstellen wobei mit D displaystyle D nbsp der gewohnliche Ableitungsoperator gemeint ist Der Operator T h displaystyle T h nbsp mit T h f x f x h displaystyle T h f x f x h nbsp wird als Translationsoperator bezeichnet Beschrankt man sich auf Funktionen die global durch ihre Taylorreihe darstellbar sind so gilt T h e h D displaystyle T h mathrm e hD nbsp In diesem Fall gilt also f x h e h D f x k 0 h k k D k f x displaystyle f x h mathrm e hD f x sum k 0 infty frac h k k D k f x nbsp Fur Funktionen von mehreren Variablen lasst sich h D displaystyle hD nbsp durch die Richtungsableitung D h h displaystyle D h langle h nabla rangle nbsp austauschen Es ergibt sich f x h e h f x k 0 h k k f x a 0 h a a D a f x displaystyle f x h mathrm e langle h nabla rangle f x sum k 0 infty frac langle h nabla rangle k k f x sum alpha geq 0 frac h alpha alpha D alpha f x nbsp Man gelangt von links nach rechts indem man zunachst die Exponentialreihe einsetzt dann den Gradienten in kartesischen Koordinaten sowie das Standardskalarprodukt und schliesslich das Multinomialtheorem verwendet Fur die Taylorreihe lasst sich auch ein diskretes Analogon finden Man definiert dazu den Differenzenoperator D a displaystyle Delta a nbsp durch D a f x f x a f x displaystyle Delta a f x f x a f x nbsp Offensichtlich gilt nun T a I D a displaystyle T a I Delta a nbsp wobei mit I displaystyle I nbsp der Identitatsoperator gemeint ist Potenziert man nun auf beiden Seiten mit h displaystyle h nbsp und verwendet die binomische Reihe so ergibt sich T a h I D a h k 0 h k D a k displaystyle T ah I Delta a h sum k 0 infty binom h k Delta a k nbsp Man gelangt zur Formel f x a h k 0 h k D a k f x k 0 h k k D a k f x displaystyle f x ah sum k 0 infty binom h k Delta a k f x sum k 0 infty frac h underline k k Delta a k f x nbsp wobei mit h k displaystyle h underline k nbsp die absteigende Faktorielle gemeint ist Diese Formel ist als newtonsche Formel zur Polynominterpolation bei aquidistanten Stutzstellen bekannt Sie stimmt fur alle Polynomfunktionen braucht aber fur andere Funktionen nicht unbedingt korrekt zu sein Siehe auch BearbeitenLinearisierung mittels Naherungswerten AusgleichsrechnungWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Taylorreihe mit Konvergenzradius Null Lern und Lehrmaterialien Eric W Weisstein Taylor Series In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Taylor Reihe mit Konvergenzradius Null Wikibooks Normdaten Sachbegriff GND 4184548 1 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Taylorreihe amp oldid 238459330
