Die fallende bzw steigende Faktorielle fallende bzw steigende Fakultat bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ahnlich der Exponentiation bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw steigen d h um Eins reduziert bzw erhoht werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Kombinatorische Interpretation 3 Verallgemeinerung 4 Eigenschaften 4 1 Rechenregeln 4 2 Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen 4 3 Vorkommen in der Analysis 5 LiteraturDefinition BearbeitenFur naturliche Zahlen n displaystyle n nbsp und k displaystyle k nbsp mit n k 0 displaystyle n geq k geq 0 nbsp wird die k displaystyle k nbsp te fallende bzw steigende Faktorielle fallende bzw steigende Fakultat als n k displaystyle n underline k nbsp bzw n k displaystyle n overline k nbsp notiert und ist wie folgt definiert n k n n 1 n 2 n k 1 n n k displaystyle n underline k n n 1 n 2 cdots n k 1 frac n n k nbsp n k n n 1 n 2 n k 1 n k 1 n 1 displaystyle n overline k n n 1 n 2 cdots n k 1 frac n k 1 n 1 nbsp Man liest die Terme als n displaystyle n nbsp hoch k displaystyle k nbsp fallend bzw n displaystyle n nbsp hoch k displaystyle k nbsp steigend In manchen Lehrbuchern wird auch n k displaystyle n k nbsp bzw n k displaystyle n k nbsp verwendet Kombinatorische Interpretation BearbeitenIm Urnenmodell lasst sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Moglichkeiten interpretieren aus einer Urne mit n displaystyle n nbsp verschiedenen Kugeln k displaystyle k nbsp Kugeln zu entnehmen ohne Zurucklegen mit Beachtung der Reihenfolge Fur die erste Kugel gibt es n displaystyle n nbsp Kandidaten fur die zweite n 1 displaystyle n 1 nbsp und schliesslich fur die letzte Kugel noch n k 1 displaystyle n k 1 nbsp Fur die Gesamtauswahl gibt es daher n n 1 n k 1 n k displaystyle n n 1 cdots n k 1 n underline k nbsp Moglichkeiten Allgemein ist n k displaystyle n underline k nbsp die Anzahl der k displaystyle k nbsp Permutationen einer n displaystyle n nbsp Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer k displaystyle k nbsp Menge in eine n displaystyle n nbsp Menge Verallgemeinerung BearbeitenDie Definition erfolgt analog fur eine komplexe Zahl x displaystyle x nbsp und eine naturliche Zahl k displaystyle k nbsp x k x x 1 x 2 x k 1 displaystyle x underline k x x 1 x 2 cdots x k 1 nbsp x k x x 1 x 2 x k 1 displaystyle x overline k x x 1 x 2 cdots x k 1 nbsp Man kann x k displaystyle x underline k nbsp und x k displaystyle x overline k nbsp dann als komplexe Polynome in x displaystyle x nbsp auffassen Fur x C displaystyle x in mathbb C nbsp stimmt die steigende Faktorielle x k displaystyle x overline k nbsp mit dem Pochhammer Symbol x k displaystyle x k nbsp uberein Eigenschaften BearbeitenRechenregeln Bearbeiten Es gelten folgende Rechenregeln x 1 x 1 x displaystyle x underline 1 x overline 1 x nbsp x 0 x 0 1 displaystyle x underline 0 x overline 0 1 nbsp x k 1 k x k displaystyle x overline k 1 k x underline k nbsp x k x k 0 displaystyle x underline k x overline k 0 nbsp fur 0 x lt k displaystyle 0 leq x lt k nbsp und x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen Bearbeiten Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren x k 1 k x k displaystyle binom x k frac 1 k x underline k nbsp Es gelten ausserdem folgende Gleichungen wobei n k displaystyle displaystyle left n atop k right nbsp und n k displaystyle displaystyle left n atop k right nbsp die vorzeichenlosen Stirling Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen x k j k j x j displaystyle displaystyle x k sum j infty infty left k atop j right cdot x underline j nbsp x k j 1 k j k j x j displaystyle displaystyle x k sum j infty infty 1 k j left k atop j right cdot x overline j nbsp x k j k j x j displaystyle displaystyle x overline k sum j infty infty left k atop j right cdot x j nbsp x k j 1 k j k j x j displaystyle displaystyle x underline k sum j infty infty 1 k j left k atop j right cdot x j nbsp Vorkommen in der Analysis Bearbeiten d j d x j x k k j x k j displaystyle operatorname d j over operatorname d x j x k k underline j x k j nbsp Literatur BearbeitenMartin Aigner Diskrete Mathematik Vieweg Teubner Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0084 8 Volker Diekert Manfred Kufleitner Gerhard Rosenberger Elemente der diskreten Mathematik Zahlen und Zahlen Graphen und Verbande De Gruyter Berlin 2013 ISBN 978 3 11 027767 8 Ronald L Graham Donald E Knuth Oren Patashnik Concrete mathematics A foundation for computer science Second edition Addison Wesley 1994 ISBN 978 0 201 55802 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fallende und steigende Faktorielle amp oldid 232518322
