Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenahert Die Linearisierung wird angewandt da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden konnen und die Theorie umfangreicher als fur nichtlineare Systeme ausgebaut ist Inhaltsverzeichnis 1 Tangente 2 Anwendungen 2 1 Linearisierung der Multiplikation 2 1 1 Beispiel 2 2 Linearisierung der Division 3 Linearisieren gewohnlicher Differentialgleichungen 4 Tangentialebene 5 Siehe auch 6 WeblinksTangente Bearbeiten nbsp Tangenten an f x sin x displaystyle f x sin x nbsp blau x 0 0 displaystyle x 0 0 nbsp grun x 0 3 p 4 displaystyle x 0 tfrac 3 cdot pi 4 nbsp Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen Daraufhin konnen die Parameter der Tangente abgelesen werden und die resultierende lineare Funktion Punktsteigungsform der Geraden y t f x 0 d f d x x 0 x x 0 displaystyle y t f x 0 frac mathrm d f mathrm d x bigg x 0 cdot x x 0 nbsp approximiert die Originalfunktion um den Punkt x 0 displaystyle x 0 nbsp Dabei ist d f d x x 0 displaystyle tfrac mathrm d f mathrm d x bigg x 0 nbsp der Anstieg im Punkt x 0 displaystyle x 0 nbsp Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden Der relative Fehler der Approximation ist F x f x y t x f x displaystyle F x bigg frac f x y t x f x bigg nbsp Fur die Funktion f x sin x displaystyle f x sin x nbsp gilt beispielsweise y x sin x 0 cos x 0 x x 0 displaystyle y x sin x 0 cos x 0 cdot x x 0 nbsp Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion Anwendungen BearbeitenAnwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur naherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umstanden ein nichtlineares Gleichungssystem Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem uberfuhrt werden Nicht die einzige aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt kurz AP Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben Linearisierung der Multiplikation BearbeitenIn einem Signalflussplan lassen sich komplexe Systeme durch ein Blockbild darstellen das zur qualitativen Visualisierung von mathematischen Modellen dient nbsp Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition D y D x 1 x 2 AP D x 2 x 1 AP displaystyle Delta y Delta x 1 cdot x 2 text AP Delta x 2 cdot x 1 text AP nbsp Arbeitspunkte x 1 AP displaystyle x 1 text AP nbsp x 2 AP displaystyle x 2 text AP nbsp und y AP displaystyle y text AP nbsp wurden zur ubersichtlicheren Darstellung weggelassen Befindet sich in diesem Signalflussplan eine Multiplikationsstelle so lasst sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln Im Folgenden bezeichnen wir mit y displaystyle y nbsp das Produkt zweier Zahlen x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp y x 1 x 2 displaystyle y x 1 cdot x 2 nbsp Im Arbeitspunkt konnen wir die Multiplikation linearisieren indem wir x 1 displaystyle x 1 nbsp als Summe des Arbeitspunkts und der Differenz D x 1 x 1 x 1 AP displaystyle Delta x 1 x 1 x 1 text AP nbsp schreiben y x 1 AP D x 1 x 2 AP D x 2 displaystyle y x 1 text AP Delta x 1 cdot x 2 text AP Delta x 2 nbsp Wir konnen dieses Produkt nach dem Distributivgesetz ausmultiplizieren Es ergibt sich die Summe y x 1 AP x 2 AP x 1 AP D x 2 x 2 AP D x 1 D x 1 D x 2 displaystyle y x 1 text AP cdot x 2 text AP x 1 text AP cdot Delta x 2 x 2 text AP cdot Delta x 1 Delta x 1 cdot Delta x 2 nbsp Wir nehmen nun an dass das Verhaltnis der Abweichungen vom Arbeitspunkt D x i displaystyle Delta x i nbsp und dem Arbeitspunkt selber klein ist D x i x i AP x i AP displaystyle frac Delta x i x i text AP ll x i text AP nbsp und somit auch das Produkt e y D x 1 D x 2 displaystyle e y Delta x 1 cdot Delta x 2 nbsp klein ist Die linearisierte Multiplikation lautet also y x 1 AP x 2 AP x 1 AP D x 2 x 2 AP D x 1 displaystyle y approx x 1 text AP cdot x 2 text AP x 1 text AP cdot Delta x 2 x 2 text AP cdot Delta x 1 nbsp Beispiel Bearbeiten Wahle die Zahlen x 1 2 4 x 2 110 y x 1 x 2 264 displaystyle x 1 2 4 x 2 110 Rightarrow y x 1 cdot x 2 264 nbsp Nun stellt sich die Frage wie die Arbeitspunkte zu wahlen sind Um die Rechnung zu vereinfachen runden wir 2 4 displaystyle 2 4 nbsp auf 2 displaystyle 2 nbsp ab und 110 displaystyle 110 nbsp auf 100 displaystyle 100 nbsp ab Wahle also x 1 AP 2 x 2 AP 100 D x 1 0 4 D x 2 10 displaystyle x 1 text AP 2 x 2 text AP 100 Rightarrow Delta x 1 0 4 Delta x 2 10 nbsp Das linearisierte Produkt ist also y 2 100 2 10 100 0 4 260 displaystyle Rightarrow y approx 2 cdot 100 2 cdot 10 100 cdot 0 4 260 nbsp mit dem Fehler e y 0 4 10 4 displaystyle e y 0 4 cdot 10 4 nbsp Linearisierung der Division Bearbeiten nbsp Linearisierung einer Division dargestellt im SignalflussplanWir betrachten nun den Quotienten y displaystyle y nbsp zweier Zahlen x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp y x 1 x 2 displaystyle y frac x 1 x 2 nbsp Analog wie zur Multiplikation entwickeln wir x i x i AP D x i displaystyle x i x i text AP Delta x i nbsp um den Arbeitspunkt x AP displaystyle x text AP nbsp Damit konnen wir den Quotienten wie folgt schreiben y x 1 AP D x 1 x 2 AP D x 2 displaystyle y frac x 1 text AP Delta x 1 x 2 text AP Delta x 2 nbsp Ausklammern der Arbeitspunkte liefert fur Division y x 1 AP x 2 AP 1 D x 1 x 1 AP 1 D x 2 x 2 AP displaystyle y frac x 1 text AP x 2 text AP cdot frac 1 frac Delta x 1 x 1 text AP 1 frac Delta x 2 x 2 text AP nbsp Wir wollen nun den Zahler und den Nenner des Bruches linearisieren Dazu verwenden wir die geometrische Reihe Fur eine Nullfolge q k displaystyle q k nbsp gilt k 0 n q k 1 q n 1 1 q displaystyle sum k 0 n q k frac 1 q n 1 1 q nbsp Hierbei ist entsprechend q D x 2 x 2 AP displaystyle q tfrac Delta x 2 x 2 text AP nbsp mit q 1 displaystyle vert q vert ll 1 nbsp zu wahlen Einsetzen liefert die Linearisierung 1 1 D x 2 x 2 AP 1 D x 2 x 2 AP displaystyle frac 1 1 frac Delta x 2 x 2 text AP approx 1 frac Delta x 2 x 2 text AP nbsp Analog lasst sich der Nenner des obigen Bruchs linearisieren Die linearisierte Division lasst sich schreiben durch y x 1 AP x 2 AP 1 D x 1 x 1 AP D x 2 x 2 AP displaystyle y approx frac x 1 text AP x 2 text AP cdot left 1 frac Delta x 1 x 1 text AP frac Delta x 2 x 2 text AP right nbsp Linearisieren gewohnlicher Differentialgleichungen BearbeitenEin bekanntes Beispiel fur die Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung ist das Pendel Die Gleichung lautet y t D y t w 2 sin y t 0 displaystyle ddot y t D cdot dot y t omega 2 sin y t 0 nbsp Der nichtlineare Teil ist sin y displaystyle sin y nbsp Dieser wird fur kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt y 0 displaystyle y 0 nbsp approximiert durch sin y sin y 0 cos y 0 y y 0 displaystyle sin y approx sin y 0 cos y 0 cdot y y 0 nbsp Mit dem Arbeitspunkt y 0 0 displaystyle y 0 0 nbsp gilt sin y y displaystyle sin y approx y nbsp und damit die linearisierte Differenzialgleichung y t D y t w 2 y t 0 displaystyle ddot y t D cdot dot y t omega 2 cdot y t 0 nbsp Diese linearisierten Differentialgleichungen sind meist deutlich einfacher zu losen Fur ein mathematisches Pendel wahle D 0 displaystyle D 0 nbsp lasst die Gleichung durch einfache Exponentialfunktionen losen wobei die nicht linearisierte nicht analytisch losbar ist Weitere Details uber das Linearisieren von Differentialgleichungen sind in dem Artikel uber die Zustandsraumdarstellung beschrieben Tangentialebene Bearbeiten nbsp Darstellung als SignalflussplanSoll eine gegebene Funktion f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp in einem Punkt x 10 x 20 displaystyle x 10 x 20 nbsp linearisiert werden wird sich der Taylor Formel bedient Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt Fur die Funktion f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp gilt in der Umgebung des Punktes x 10 x 20 displaystyle x 10 x 20 nbsp y f x 10 x 20 const f x 1 x 2 x 1 x 10 x 20 x 1 x 10 f x 1 x 2 x 2 x 10 x 20 x 2 x 20 D y displaystyle y underbrace f x 10 x 20 text const underbrace frac partial f x 1 x 2 partial x 1 bigg x 10 x 20 cdot x 1 x 10 frac partial f x 1 x 2 partial x 2 bigg x 10 x 20 cdot x 2 x 20 Delta y nbsp Beispiel f x 1 x 2 x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 x 1 cdot x 2 nbsp ergibt die Tangentialebene y x 10 x 20 const x 20 x 1 x 10 x 10 x 2 x 20 D y displaystyle y underbrace x 10 cdot x 20 text const underbrace x 20 cdot x 1 x 10 x 10 cdot x 2 x 20 Delta y nbsp Siehe auch BearbeitenTaylor Reihe Methode der globalen LinearisierungWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Linearisierung von resistiven Sensoren Lern und Lehrmaterialien Skript der TU Wien Memento vom 23 Juli 2006 im Internet Archive Skript der ETH ZurichNormdaten Sachbegriff GND 4199872 8 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Linearisierung amp oldid 213756497
