Das Lemma von Jordan nach Marie Ennemond Camille Jordan ist ein Hilfsmittel der Funktionentheorie Es wird zusammen mit dem Residuensatz verwendet um Integrale aus der reellen Analysis zu berechnen Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Anwendung 3 Beispiele 3 1 1 Beispiel 3 2 2 Beispiel 4 Beweis des Lemmas von Jordan 5 LiteraturAussage BearbeitenIst a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp und konvergiert in der oberen Halbebene g displaystyle g nbsp gleichmassig gegen Null fur alle z displaystyle z to infty nbsp dann gilt K R g z e i a z d z 0 displaystyle int K R g z e i alpha z dz to 0 nbsp fur R displaystyle R to infty nbsp Dies gilt auch wenn a 0 displaystyle alpha 0 nbsp ist und zusatzlich z g z displaystyle z cdot g z nbsp in der oberen Halbebene gleichmassig gegen Null strebt Vollig analog lasst sich das Lemma fur die untere Halbebene formulieren Anwendung Bearbeiten nbsp Integrationsweg g R displaystyle gamma R nbsp als halbkreisformige Kurve K R displaystyle K R nbsp die durch das reelle Intervall R R geschlossen wirdViele uneigentliche Integrale der Form f z d z displaystyle textstyle int infty infty f z dz nbsp lassen sich falls sie existieren in der folgenden Weise berechnen Man integriert f displaystyle f nbsp auf einer geschlossenen halbkreisformigen Kurve g R displaystyle gamma R nbsp die entsteht wenn zuerst auf der reellen Achse von R displaystyle R nbsp nach R displaystyle R nbsp und von dort im Halbkreisbogen K R displaystyle K R nbsp zuruck nach R displaystyle R nbsp integriert Man stellt fest dass fur R displaystyle R to infty nbsp das Integral K R f d z displaystyle textstyle int K R f dz nbsp verschwindet und somit g R f d z R R f d z K R f d z R R f d z displaystyle oint gamma R fdz int R R f dz int K R f dz xrightarrow R to infty int mathbb R f dz nbsp gilt Nach dem Residuensatz ist dann R f d z lim R g R f d z 2 p i I m z gt 0 R e s f z displaystyle int mathbb R f dz lim R to infty oint gamma R fdz 2 pi i sum mathrm Im z gt 0 mathrm Res f z nbsp Um dabei immer wiederkehrende Abschatzungen fur Integrale der Form K R g z e i a z d z displaystyle textstyle int K R g z e i alpha z dz nbsp zu vermeiden benutzt man das Lemma von Jordan Beispiele Bearbeiten1 Beispiel Bearbeiten Es sei g z 1 1 z 2 displaystyle g z tfrac 1 1 z 2 nbsp und f z g z e i a z displaystyle f z g z e i alpha z nbsp Hier ist das Jordan Lemma anwendbar und es gilt lim R K R f z d z 0 displaystyle lim R to infty int K R f z dz 0 nbsp Also gilt fur das Integral uber die reelle Achse R f z d z 2 p i R e s f i p e a displaystyle int mathbb R f z dz 2 pi i mathrm Res f i pi e alpha nbsp Spaltet man e i a z displaystyle e i alpha z nbsp mit Hilfe der Eulerschen Identitat in Real und Imaginarteil auf so erhalt man die Gleichheit cos a x 1 x 2 d x p e a displaystyle int infty infty frac cos alpha x 1 x 2 dx pi e alpha nbsp 2 Beispiel Bearbeiten Es sei g z z 1 z 2 displaystyle g z tfrac z 1 z 2 nbsp Analog zum 1 Beispiel ist R f z d z 2 p i R e s f i i p e a displaystyle textstyle int mathbb R f z dz 2 pi i mathrm Res f i i pi e alpha nbsp und somit x sin a x 1 x 2 d x p e a displaystyle int infty infty frac x sin alpha x 1 x 2 dx pi e alpha nbsp Beweis des Lemmas von Jordan BearbeitenDas Integral I R K R g z e i a z d z displaystyle textstyle I R int K R g z e i alpha z dz nbsp lasst sich nach Substitution z R e i f displaystyle z R e i varphi nbsp schreiben als 0 p g R e i f e i a R e i f R e i f i d f displaystyle textstyle int 0 pi g left Re i varphi right e i alpha Re i varphi R e i varphi i d varphi nbsp Abschatzung des Betrages nach oben ergibt I R R e R 0 p e a R sin f d f displaystyle I R leq R varepsilon R int 0 pi e alpha R sin varphi d varphi nbsp mit e R max z K R g z displaystyle textstyle varepsilon R max z in K R g z nbsp Daraus folgt I R 2 R e R 0 p 2 e a R sin f d f displaystyle I R leq 2R varepsilon R int 0 frac pi 2 e alpha R sin varphi d varphi nbsp da der Integrand e a R sin f displaystyle e alpha R sin varphi nbsp bezuglich f p 2 displaystyle varphi tfrac pi 2 nbsp achsensymmetrisch ist Nach der Jordanschen Ungleichung ist sin f 2 p f displaystyle sin varphi geq tfrac 2 pi varphi nbsp fur alle f 0 p 2 displaystyle varphi in left 0 tfrac pi 2 right nbsp und daher I R 2 R e R 0 p 2 e a R 2 p f d f p e R a 1 e a R p e R a 0 displaystyle I R leq 2R varepsilon R int 0 frac pi 2 e alpha R frac 2 pi varphi d varphi frac pi varepsilon R alpha left 1 e alpha R right leq frac pi varepsilon R alpha to 0 nbsp fur R displaystyle R to infty nbsp Literatur BearbeitenE D Solomentsev Jordan Lemma In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Jordan amp oldid 226150594
