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Umlaufzahl Mathematik Die Umlaufzahl auch Windungszahl oder Index genannt ist eine topologische Invariante die eine ents

Umlaufzahl (Mathematik)

Die Umlaufzahl (auch Windungszahl oder Index genannt) ist eine topologische Invariante, die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt.

Vorbetrachtung Bearbeiten

Die Umlaufzahl einer Kurve in Bezug auf einen Punkt stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt die negative Windungszahl −1.

Windungszahl
1 −1 0 1 2

Definition Bearbeiten

Ist eine geschlossene Kurve in und ist ferner ein Punkt in der nicht auf liegt, dann ist die Umlaufzahl von in Bezug auf so definiert:

Die Umlaufzahl (nach dem englischen index) wird in der Literatur oft auch mit oder bezeichnet. Die Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve ist unabhängig vom Bezugspunkt immer eine ganze Zahl.

Berechnung Bearbeiten

Windungs­zahl = 2
Windungs­zahl = 0

Intuitiv lässt sich die Windungszahl mittels

berechnen. Die Berechnung über die Definition ist oft nicht ohne Weiteres möglich. Als Beispiel wählen wir den Einheitskreis

als Kurve. Nach der intuitiven Regel ist für alle Punkte in seinem Inneren und für alle Punkte außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe . Letzteres folgt sofort aus dem Integralsatz von Cauchy und der Definition. Sei nun

Es gilt

Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ergibt sich

und weil eine Stammfunktion des Integranden ist, ist Weil zusammenhängend ist, ist also für alle

Anwendung in der Funktionentheorie Bearbeiten

Die Umlaufzahl wird vor allem bei der Berechnung von Kurvenintegralen in der komplexen Zahlenebene verwendet. Sei

eine meromorphe Funktion mit Singularitäten dann kann man nach dem Residuensatz das Integral von über eine (durch keine der Singularitäten verlaufende) Kurve durch

berechnen.

Algorithmus Bearbeiten

Windungszahl der Flächen eines nichttrivialen Polygons: Die Windungszahl für die Fläche, in der sich der Punkt befindet, ist −1, d. h., dieser liegt innerhalb des Polygons (der grauen Fläche). Jede Fläche hat eine feste Windungszahl.

In der algorithmischen Geometrie wird die Umlaufzahl verwendet, um zu bestimmen, ob ein Punkt außerhalb oder innerhalb eines nichteinfachen Polygons (eines Polygons, dessen Kanten sich überschneiden) liegt. Für einfache Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur Even-Odd-Regel.

Für Polygone (geschlossene Kantenzüge) verwendet man zur Berechnung der Umlaufzahl folgenden Algorithmus:

  1. Suche eine Halbgerade (beginnend beim zu untersuchenden Punkt nach außen), die keine Eckpunkte des Polygons enthält.
  2. Setze
  3. Für alle Schnittpunkte der Halbgerade mit dem Polygonzug:
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von rechts nach links“ orientiert ist (wenn der Punkt auf der linken Seite der Kante liegt), erhöhe um 1.
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von links nach rechts“ orientiert ist (wenn der Punkt auf der rechten Seite der Kante liegt), verkleinere um 1.
  4. ist nun die Umlaufzahl des Punktes.

Ist die Umlaufzahl 0, so liegt der Punkt außerhalb des Polygons, sonst innerhalb.

In nebenstehendem Beispiel ist die Halbgerade, mit der gestartet wird, der senkrechte Pfeil. Er schneidet drei Kanten des Polygons. Bezüglich der roten Kante liegt der Punkt rechts Bezüglich der nächsten Kante liegt der Punkt auch rechts und bzgl. der letzten Kante liegt der Punkt links Der Punkt liegt innerhalb des Polygons. Die Polygonfläche ist grau hinterlegt.

Ein analoger Algorithmus ergibt auch für nicht geradlinig verlaufende (geschlossene) Kurven die Umlaufzahl um einen Punkt, allerdings ist da das Überprüfen der Schnittpunkte nicht so einfach zu implementieren.

Verallgemeinerung für n-dimensionale Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung für -dimensionale Mannigfaltigkeiten stammt von Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow: Unter Benutzung des allgemeinen Stokes’schen Satzes für kann man

schreiben. ist die Einheitskugel im ist die betrachtete -dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit, auf der integriert werden soll.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Umlaufzahl auch Windungszahl oder Index genannt ist eine topologische Invariante die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt Inhaltsverzeichnis 1 Vorbetrachtung 2 Definition 3 Berechnung 4 Anwendung in der Funktionentheorie 5 Algorithmus 6 Verallgemeinerung fur n dimensionale Mannigfaltigkeiten 7 Siehe auch 8 LiteraturVorbetrachtung BearbeitenDie Umlaufzahl einer Kurve g displaystyle gamma nbsp in Bezug auf einen Punkt z 0 displaystyle z 0 nbsp stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um z 0 displaystyle z 0 nbsp dar wenn man dem Verlauf der Kurve folgt Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt die negative Windungszahl 1 Windungszahl 1 1 0 1 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Definition BearbeitenIst g displaystyle gamma nbsp eine geschlossene Kurve in C displaystyle mathbb C nbsp und ist ferner z 0 displaystyle z 0 nbsp ein Punkt in C displaystyle mathbb C nbsp der nicht auf g displaystyle gamma nbsp liegt dann ist die Umlaufzahl von g displaystyle gamma nbsp in Bezug auf z 0 displaystyle z 0 nbsp so definiert ind g z 0 n g z 0 1 2 p i g d z z z 0 displaystyle operatorname ind gamma z 0 n gamma z 0 frac 1 2 pi mathrm i int gamma frac mathrm d zeta zeta z 0 nbsp Die Umlaufzahl ind displaystyle operatorname ind nbsp nach dem englischen index wird in der Literatur oft auch mit I displaystyle I nbsp oder x displaystyle chi nbsp bezeichnet Die Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve ist unabhangig vom Bezugspunkt immer eine ganze Zahl Berechnung Bearbeiten nbsp Windungs zahl 2 nbsp Windungs zahl 0Intuitiv lasst sich die Windungszahl mittels ind g z 0 displaystyle operatorname ind gamma z 0 nbsp Anzahl der Umlaufe von g displaystyle gamma nbsp um z 0 displaystyle z 0 nbsp entgegen dem Uhrzeigersinn Anzahl der Umlaufe von g displaystyle gamma nbsp um z 0 displaystyle z 0 nbsp im Uhrzeigersinnberechnen Die Berechnung uber die Definition ist oft nicht ohne Weiteres moglich Als Beispiel wahlen wir den Einheitskreis g 0 2 p C t e i t displaystyle gamma colon 0 2 pi to mathbb C t mapsto e mathrm i t nbsp als Kurve Nach der intuitiven Regel ist ind g z 1 displaystyle operatorname ind gamma z 1 nbsp fur alle Punkte z E displaystyle z in mathbb E nbsp in seinem Inneren E displaystyle mathbb E nbsp und ind g z 0 displaystyle operatorname ind gamma z 0 nbsp fur alle Punkte z C E displaystyle z in mathbb C setminus bar mathbb E nbsp ausserhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe E displaystyle bar mathbb E nbsp Letzteres folgt sofort aus dem Integralsatz von Cauchy und der Definition Sei nun f E C z ind g z displaystyle f colon mathbb E to mathbb C z mapsto operatorname ind gamma z nbsp Es gilt ind g 0 f 0 1 2 p i g d z z 1 2 p i 0 2 p i e i t e i t d t 1 displaystyle operatorname ind gamma 0 f 0 frac 1 2 pi mathrm i int gamma frac mathrm d zeta zeta frac 1 2 pi mathrm i int limits 0 2 pi frac mathrm i e mathrm i t e mathrm i t mathrm d t 1 nbsp Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ergibt sich f z 1 2 p i g d z z z 2 displaystyle f z frac 1 2 pi mathrm i int gamma frac mathrm d zeta left zeta z right 2 nbsp und weil z 1 z z displaystyle zeta mapsto frac 1 zeta z nbsp eine Stammfunktion des Integranden ist ist f 0 displaystyle f equiv 0 nbsp Weil E displaystyle mathbb E nbsp zusammenhangend ist ist also f z ind g z 1 displaystyle f z operatorname ind gamma z 1 nbsp fur alle z E displaystyle z in mathbb E nbsp Anwendung in der Funktionentheorie BearbeitenDie Umlaufzahl wird vor allem bei der Berechnung von Kurvenintegralen in der komplexen Zahlenebene verwendet Sei f C a 1 a n C displaystyle f colon mathbb C setminus left a 1 dotsc a n right to mathbb C nbsp eine meromorphe Funktion mit Singularitaten a 1 a n displaystyle a 1 dotsc a n nbsp dann kann man nach dem Residuensatz das Integral von f displaystyle f nbsp uber eine durch keine der Singularitaten verlaufende Kurve g displaystyle gamma nbsp durch g f d z 2 p i k 1 n ind g a k Res a k f displaystyle int gamma f mathrm d z 2 pi mathrm i sum k 1 n operatorname ind gamma a k operatorname Res a k f nbsp berechnen Algorithmus Bearbeiten nbsp Windungszahl der Flachen eines nichttrivialen Polygons Die Windungszahl fur die Flache in der sich der Punkt befindet ist 1 d h dieser liegt innerhalb des Polygons der grauen Flache Jede Flache hat eine feste Windungszahl In der algorithmischen Geometrie wird die Umlaufzahl verwendet um zu bestimmen ob ein Punkt ausserhalb oder innerhalb eines nichteinfachen Polygons eines Polygons dessen Kanten sich uberschneiden liegt Fur einfache Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur Even Odd Regel Fur Polygone geschlossene Kantenzuge verwendet man zur Berechnung der Umlaufzahl folgenden Algorithmus Suche eine Halbgerade beginnend beim zu untersuchenden Punkt nach aussen die keine Eckpunkte des Polygons enthalt Setze w 0 displaystyle w 0 nbsp Fur alle Schnittpunkte der Halbgerade mit dem Polygonzug Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante die von rechts nach links orientiert ist wenn der Punkt auf der linken Seite der Kante liegt erhohe w displaystyle w nbsp um 1 Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante die von links nach rechts orientiert ist wenn der Punkt auf der rechten Seite der Kante liegt verkleinere w displaystyle w nbsp um 1 w displaystyle w nbsp ist nun die Umlaufzahl des Punktes Ist die Umlaufzahl 0 so liegt der Punkt ausserhalb des Polygons sonst innerhalb In nebenstehendem Beispiel ist die Halbgerade mit der gestartet wird der senkrechte Pfeil Er schneidet drei Kanten des Polygons Bezuglich der roten Kante liegt der Punkt rechts w 1 displaystyle left w 1 right nbsp Bezuglich der nachsten Kante liegt der Punkt auch rechts w 2 displaystyle left w 2 right nbsp und bzgl der letzten Kante liegt der Punkt links w 1 displaystyle left w 1 right nbsp Der Punkt liegt innerhalb des Polygons Die Polygonflache ist grau hinterlegt Ein analoger Algorithmus ergibt auch fur nicht geradlinig verlaufende geschlossene Kurven die Umlaufzahl um einen Punkt allerdings ist da das Uberprufen der Schnittpunkte nicht so einfach zu implementieren Verallgemeinerung fur n dimensionale Mannigfaltigkeiten BearbeitenEine Verallgemeinerung fur n displaystyle n nbsp dimensionale Mannigfaltigkeiten stammt von Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow Unter Benutzung des allgemeinen Stokes schen Satzes fur z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp kann man i n d g 0 1 n V o l B g x d S x n displaystyle mathrm ind gamma 0 frac 1 n mathrm Vol B oint gamma frac vec x cdot mathrm d vec S x n nbsp schreiben B displaystyle B nbsp ist die Einheitskugel im R n displaystyle mathbb R n nbsp g displaystyle gamma nbsp ist die betrachtete n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit auf der integriert werden soll Siehe auch BearbeitenCauchysche Integralformel Residuensatz KurvenintegralLiteratur BearbeitenEberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 Springer Verlag Berlin ISBN 3 540 67641 4 Normdaten Sachbegriff GND 1115667890 lobid OGND AKS Abgerufen von https de 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