Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwachte Variante eines Betrags Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 3 1 Polynomringe mit Pseudobetrag 3 2 Matrizenringe mit PseudobetragDefinition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein unitarer Ring Eine Abbildung R R 0 displaystyle cdot colon R to mathbb R geq 0 nbsp in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt wenn fur alle a b R displaystyle a b in R nbsp folgende Eigenschaften gelten 1 a 0 a 0 displaystyle a 0 Leftrightarrow a 0 nbsp Definitheit 2 a b a b displaystyle a b leq a b nbsp 3 a b a b displaystyle a cdot b leq a cdot b nbsp Submultiplikativitat Wird 3 verscharft zu 3a a b a b displaystyle a cdot b a cdot b nbsp Multiplikativitat so ist displaystyle cdot nbsp ein Betrag Der Pseudobetrag displaystyle cdot nbsp heisst nicht archimedisch wenn 4 a b max a b displaystyle a b leq max a b nbsp gilt Eigenschaften BearbeitenFur einen Pseudobetrag gelten stets a a displaystyle a a nbsp dd und a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Dreiecksungleichung dd Fur einen Pseudobetrag gilt stets 1 1 displaystyle 1 geq 1 nbsp fur einen Betrag gilt sogar 1 1 displaystyle 1 1 nbsp Jeder unitare Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritatsring durch die Multiplikativitat vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring Die Funktiond R R R 0 d a b a b displaystyle begin array llll d colon amp R times R amp to mathbb R geq 0 amp d a b amp mapsto a b end array nbsp dd definiert die vom Pseudobetrag displaystyle cdot nbsp induzierte Metrik Sie ist eine Ultrametrik wenn jener nicht archimedisch ist Beispiele BearbeitenSei R displaystyle R cdot nbsp ein unitarer Ring mit Pseudobetrag Polynomringe mit Pseudobetrag Bearbeiten Dann sind die Polynomalgebren R X displaystyle R X nbsp in einer bzw R X 1 X n displaystyle R X 1 ldots X n nbsp in mehreren Veranderlichen selbst wiederum unitare Ringe mit der Polynommultiplikation Die 1 Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag Matrizenringe mit Pseudobetrag Bearbeiten Analog sind die Matrizenalgebren R n n displaystyle R n times n nbsp wiederum unitare Ringe hier mit der Matrizenmultiplikation Hier ist sogar die p Pseudonorm fur jedes reelle p mit 1 p 2 displaystyle 1 leq p leq 2 nbsp ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pseudobetrag amp oldid 186800532
