In der Geometrie versteht man unter einem regelmäßigen Stern ein normalerweise nichtkonvexes regelmäßiges Polygon, dessen Kanten alle gleich lang sind.
Regelmäßige Sterne sind spiegelsymmetrisch und rotationssymmetrisch. Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt von Umkreis und Inkreis. Die Winkel, Längen und Flächeninhalte, die die gleiche Lage zum Symmetriezentrum haben, sind daher gleich. Unter anderem sind alle Seitenlängen und alle Innenwinkel gleich.
Die Bezeichnung Stern für ein solches ebenes Polygon wird in der kombinatorischen Geometrie weiter eingeschränkt durch die Bedingung, dass die Geraden, auf denen die Kanten des Sterns liegen, stets durch zwei konvexe äußere Ecken des Sterns verlaufen und wird dann als Sternpolygon bezeichnet. Alternativ wird daher in der kombinatorischen Geometrie das Sternpolygon definiert als ein regelmäßiges (gleichseitiges und gleichwinkliges), überschlagenes nicht-konvexes, ebenes Polygon. Überschlagen bedeutet dabei, dass sich die Seiten innerhalb des Polygons schneiden dürfen. Die Bezeichnung Sternpolygon ist erst im 20. Jahrhundert aufgekommen, als Geometer anfingen Pflasterungen kombinatorisch zu studieren. Die Konstruktion dieser sternförmigen Polygone ist viel älter, zum Beispiel das Pentagramm und das Hexagramm, das auch als Davidstern bekannt ist.
Hiervon zu unterscheiden sind die in der Topologie und Analysis betrachteten Sterngebiete, zu denen auch die konvexen Mengen gehören und die nicht polygonal zu sein brauchen.
Konstruktion Bearbeiten
Ein regelmäßiger Stern entsteht, indem man in einem ebenen regelmäßigen -Eck jeden Eckpunkt mit einem nicht benachbarten Eckpunkt durch eine gerade Strecke verbindet und dieses Verfahren fortsetzt, bis der ursprüngliche Eckpunkt wieder erreicht wird. Werden die Ecken mit Indizes durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden, deren – fortlaufende – Indizes die Differenz haben. Dabei wird der Umkreis äquidistant in Kreisbögen unterteilt.
Aus einem regelmäßigen -Eck lassen sich regelmäßige Sterne konstruieren. Diese werden als -Sterne bezeichnet, wobei das Schläfli-Symbol mit ist. Sind und teilerfremd, ist der Stern zusammenhängend und lässt sich in einem Zug zeichnen, so wird er auch Sternpolygon genannt. Ansonsten zerfällt er in so viele regelmäßige Polygone, wie der größte gemeinsame Teiler angibt. Die Anzahl der Ecken dieser Polygone ist also gleich . Wenn eine Primzahl ist, sind alle -Sterne zusammenhängend. Betrachtet man jeweils die Anzahl der zusammenhängenden Sternpolygone für eine gegebene Anzahl der Ecken, dann erhält man die Folge A055684 in OEIS. Diese Anzahl ist gleich . Dabei bezeichnet die Eulersche Phi-Funktion.
Kenngrößen Bearbeiten
Winkel Bearbeiten
Die Ecken eines regelmäßigen Sterns liegen und konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiger Stern besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius . Zudem liegen die Ecken äquidistant auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel
Daher hat ein solcher Stern auch einen Inkreis mit Inkreisradius . Der Inkreis berührt die Seiten in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein.
Verbindet man die benachbarten Ecken des regelmäßigen Sterns, dann erhält man ein regelmäßiges -Eck. Die Diagonalen, die von einer Ecke dieses Polygons ausgehen, bilden gleiche Winkel, die halb so groß sind wie die Mittelpunktswinkel und jeweils betragen.
Das kann man einsehen, indem man die gleichschenkligen Dreiecke betrachtet, die aus einer der Diagonalen und zwei Umkreisradien gebildet werden. Eine andere Möglichkeit ist es, die Diagonalen um den Winkel mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum zu drehen oder den Kreiswinkelsatz für den Umkreis anzuwenden.
Zwischen zwei benachbarten Seiten des Sterns verlaufen Diagonalen, die den Innenwinkel in gleiche Winkel der Größe teilen. Daraus folgt, dass die Innenwinkel des regelmäßigen -Sterns alle gleich
sind.
Die Seiten des Sterns bilden Schnittpunkte. Jede Seite des Sterns wird von anderen Seiten geschnitten, denn Ecken liegen auf dem kürzeren Kreisbogen über der Seite und in jeder der Ecken treffen 2 andere Seite zusammen, die diese Ecke jeweils mit einer Ecke auf dem längeren Kreisbogen über der betrachteten Seite verbinden. Jede Seite bildet mit den anderen Seiten die Schnittwinkel und , wobei ist. Jeder Schnittpunkt gehört zu 2 Seiten, also ergeben sich insgesamt Schnittpunkte. Jeder dieser Schnittwinkel kommt -mal vor, weil jeder Schnittwinkel für jede Seite aus 2 Gegenwinkeln besteht.
Für die Winkel in regelmäßigen Sternen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:
| Stern | Mittelpunktswinkel | Innenwinkel | Schnittwinkel | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Gradmaß | Bogenmaß | Gradmaß | Bogenmaß | Gradmaß | |
| {p/q}-Stern | |||||
| {5/2}-Stern | |||||
| {6/2}-Stern | |||||
| {8/2}-Stern | |||||
| {8/3}-Stern | |||||
| {10/2}-Stern | |||||
| {10/3}-Stern | |||||
| {10/4}-Stern | |||||
| {12/2}-Stern | |||||
| {12/3}-Stern | |||||
| {12/4}-Stern | |||||
| {12/5}-Stern |
Längen Bearbeiten
Die wichtigsten Kenngrößen regelmäßiger Sterne können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel , den Basiswinkeln , den Schenkeln , der Basis und der Höhe . Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge , dem
Umkreisradius und dem Inkreisradius :
Haben und einen gemeinsamen Teiler , dann ergeben sich für einen regelmäßigen -Stern dieselben Längenverhältnisse zwischen , und wie für einen regelmäßigen -Stern.
Für manche Werte von lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in den regelmäßigen Sternen angeben, zum Beispiel:
| Stern | Seitenlänge gegeben | Umkreisradius gegeben | Inkreisradius gegeben | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Umkreisradius | Inkreisradius | Seitenlänge | Inkreisradius | Seitenlänge | Umkreisradius | |
| {p/q}-Stern | ||||||
| {5/2}-Stern | ||||||
| {6/2}-Stern | ||||||
| {8/2}-Stern | ||||||
| {8/3}-Stern | ||||||
| {10/2}-Stern | ||||||
| {10/3}-Stern | ||||||
| {10/4}-Stern | ||||||
| {12/2}-Stern | ||||||
| {12/3}-Stern | ||||||
| {12/4}-Stern | ||||||
| {12/5}-Stern |
Seitenabschnitte Bearbeiten
Jede der Seiten wird von anderen Seiten geschnitten und in Abschnitte geteilt. Die Länge dieser Abschnitte kann wie folgt bestimmt werden:
Die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite bis zu einem Schnittpunkt oder dem Endpunkt der Seite bildet zusammen mit einem Inkreisradius und der Verbindungsstrecke von Inkreismittelpunkt und dem Schnittpunkt oder dem Endpunkt jeweils ein rechtwinkliges Dreieck. Diese Punkte seien ausgehend vom Mittelpunkt mit bezeichnet. Die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite bis zu einem Schnittpunkt oder Endpunkt liegt im rechtwinkligen Dreieck dem Winkel gegenüber, wobei ist. Das folgt aus der Betrachtung der halbierten Mittelpunktswinkel. Daraus ergibt sich für die Länge dieser Strecke:
Die Länge des Abschnitts zwischen den Punkten und ist dann gleich
Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand zwischen dem Punkt und dem Mittelpunkt des Sterns gleich
Dabei wurde die Beziehung zwischen Tangens und Sekans verwendet (siehe Trigonometrische Funktion - Beziehungen zwischen den Funktionen). Weil der regelmäßige Stern spiegelsymmetrisch und rotationssymmetrisch ist, ist dieser Abstand für alle Seiten jeweils gleich. Daher liegen die Punkte für gegebenes mit auf einem Kreis mit dem Radius .
Bei gegebenem Umkreisradius ergeben sich folgende Werte für die Längen der Strecken, die Längen der Abschnitte und die Radien :
| Stern | Längen der Strecken | Längen der Abschnitte | Radien | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {p/q}-Stern | |||||||||
| {5/2}-Stern | 0,224513988 | 0,951056516 | 0,224513988 | 0,726542528 | 0,381966011 | 1,000000000 | |||
| {6/2}-Stern | 0,288675135 | 0,866025404 | 0,288675135 | 0,577350269 | 0,577350269 | 1,000000000 | |||
| {7/2}-Stern | 0,300256864 | 0,781831482 | 0,300256864 | 0,481574619 | 0,692021472 | 1,000000000 | |||
| {7/3}-Stern | 0,107160434 | 0,279032425 | 0,974927912 | 0,107160434 | 0,171871992 | 0,695895487 | 0,246979604 | 0,356895868 | 1,000000000 |
| {8/2}-Stern | 0,292893219 | 0,707106781 | 0,292893219 | 0,414213562 | 0,765366865 | 1,000000000 | |||
| {8/3}-Stern | 0,158512668 | 0,382683432 | 0,923879533 | 0,158512668 | 0,224170765 | 0,541196100 | 0,414213562 | 0,541196100 | 1,000000000 |
Umfang und Flächeninhalt Bearbeiten
Der Umfang eines regelmäßigen Sterns besteht aus den jeweils zwei äußeren Abschnitte aller Seiten. Das sind die einzigen Abschnitte, die nicht im Innern des Sterns liegen. Es gibt solche Abschnitte mit der Länge . Daraus ergibt sich der Umfang:
Der Flächeninhalt, den der regelmäßige Stern überdeckt, ergibt sich aus der Differenz des Flächeninhalts des regelmäßigen Polygons, das durch Verbinden der benachbarten Ecken entsteht, und dem Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreiecke, die jeweils aus einer Seite des äußeren regelmäßigen -Ecks und zwei äußeren Abschnitten der Seiten des Sterns gebildet werden. Das äußere regelmäßige -Eck hat die Seitenlänge und den Flächeninhalt .
Die gleichschenkligen Dreiecke haben eine Grundseite der Länge , die Basiswinkel , die Höhe und den Flächeninhalt . Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßige Sterns:
Die inneren Abschnitte aller Seiten des Sterns bilden zusammen den Rand eines regelmäßigen Polygons, das sich im Innern des Sterns befindet. Das innere regelmäßige -Eck hat die Seitenlänge und den Flächeninhalt .
Bei gegebenem Umkreisradius ergeben sich folgende Werte für den Umfang und die Flächeninhalte:
| Stern | Umfang | Flächeninhalt | Flächeninhalt des äußeren regelmäßigen -Ecks | Flächeninhalt des inneren regelmäßigen -Ecks |
|---|---|---|---|---|
| {p/q}-Stern | ||||
| {5/2}-Stern | 7,265425280 | 1,122569941 | 2,377641291 | 0,346893189 |
| {6/2}-Stern | 6,928203230 | 1,732050808 | 2,598076211 | 0,866025404 |
| {7/2}-Stern | 6,742044663 | 2,101798046 | 2,736410189 | 1,310449647 |
| {7/3}-Stern | 9,742536814 | 1,083959195 | 2,736410189 | 0,166918079 |
| {8/2}-Stern | 6,627416998 | 2,343145751 | 2,828427125 | 1,656854249 |
| {8/3}-Stern | 8,659137602 | 1,656854249 | 2,828427125 | 0,485281374 |
Teilflächen Bearbeiten
Die Seiten eines regelmäßigen -Sterns zerlegen seine Fläche in Teilflächen, nämlich ein inneres regelmäßiges -Eck, gleichschenklige Dreiecke und Drachenvierecke, also Vierecke mit einer diagonalen Symmetrieachse. Das kann man erkennen, wenn man die Abschnitte aller Seiten des Sterns – ausgehend vom Mittelpunkt der Seiten – Schritt für Schritt hinzufügt. Jeweils zwei innere Abschnitte der Länge bilden die Seiten des inneren regelmäßigen Polygons. Zusammen mit den nächsten Abschnitten der Länge bilden sie die Seiten der kongruenten gleichschenkligen Dreiecke. Diese gleichschenkligen Dreiecke haben also die Seitenlängen , und . Jeweils zwei aufeinander folgende Abschnitte der Längen und bilden die Seiten von kongruenten Drachenvierecken. Diese Drachenvierecke haben also jeweils zwei benachbarte Seiten der Längen und .
Betrachtet man die Seitenabschnitte eines regelmäßigen -Sterns, dann erkennt man, dass die inneren Abschnitte aller Seiten einen regelmäßigen -Stern bilden. Für ergibt sich das innere regelmäßige -Eck. Dieser regelmäßige -Stern hat die Seitenlänge und den Umkreisradius . Daraus ergibt sich wegen (siehe Seitenabschnitte) der Flächeninhalt:
Dabei wurde das Additionstheorem für den Kosinus und die Definition für den Sekans verwendet.
Entfernt man die äußeren kongruenten Drachenvierecke mit den Seitenlängen und von der Fläche des regelmäßigen -Sterns, dann bleibt ein regelmäßiger -Stern übrig. Der gesamte Flächeninhalt dieser Drachenvierecke ist also die Differenz der Flächeninhalte des regelmäßigen -Sterns und des regelmäßigen -Sterns. Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ist dieser Differenz:
Dieser Flächeninhalt kann auch mithilfe der Längen der Diagonalen des Drachenvierecks berechnet werden. Die Länge der Diagonalen, die auf der Symmetrieachse liegt, ist die Differenz der Radien und . Die andere Diagonale verläuft orthogonal und bildet mit zwei Radien ein gleichschenkliges Dreieck. Diese Diagonale liegt im gleichschenkligen Dreieck dem Mittelpunktswinkel gegenüber, hat also die Länge . Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Drachenvierecks:
Für den Grenzfall ergibt sich der Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreiecke, die mit dem inneren regelmäßigen -Eck jeweils eine Seite gemeinsam haben. Er beträgt