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Äquidistanz Geometrie Äquidistanz bezeichnet in der Geometrie die Eigenschaft von Punkten der Ebene oder des Raums die v

Äquidistanz (Geometrie)

Äquidistanz bezeichnet in der Geometrie die Eigenschaft von Punkten (der Ebene oder des Raums), die von zwei vorgegebenen geometrischen Objekten wie Punkten, Kurven oder Flächen den gleichen Abstand besitzen.

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Parabel als Äquidistanz-Kurven
Ellipse und Hyperbel als Äquidistanz-Kurven
Äquidistanz-Kurven zweier Bezierkurven

Dabei gilt:

Beispiele:
a) Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke besitzt den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke.
b) Jeder Punkt der Winkelhalbierenden zweier sich schneidenden Geraden hat den gleichen Abstand zu den beiden Geraden.
c) Jeder Punkt einer Parabel hat den gleichen Abstand zum Brennpunkt und zur Leitlinie.
d) Jeder Punkt einer Ellipse hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.
e) Jeder Punkt einer Hyperbel hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.

In der englischen Literatur werden Äquidistanz-Kurven/Flächen als bisector curves/surfaces bezeichnet.

Äquidistanz-Kurven und -Flächen sollte man nicht verwechseln mit Parallelkurven/-Flächen. Bei letzteren haben alle Punkte den gleichen Abstand zu einer Kurve/Fläche.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Die nächstliegende Beschreibung einer Äquidistanz-Kurve verwendet die Distanzfunktion. In den obigen Beispielen ist die Distanzfunktion einfach:
1) Abstand zweier Punkte im : .
2) Abstand eines Punktes von einer Gerade: s. HESSE-Normalform.
3) Abstand eines Punktes von einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius : .

In allen anderen Fällen kann man keine einfache Beschreibung der Distanzfunktion und damit der Äquidistanz-Kurven/-Flächen angeben. In der Literatur werden Sonderfälle untersucht, bei denen die Äquidistanz-Kurven wenigstens durch rationale Funktionen beschrieben werden können. Wenn man auf numerische Verfahren angewiesen ist, ist es am Einfachsten eine Äquidistanz-Kurve als implizite Kurve bzw. implizite Fläche mit Hilfe von Distanzfunktionen zu beschreiben. Dabei verwendet man gegebenenfalls auch orientierte Distanzfunktionen, die die Seiten einer Kurve (in der Ebene) oder Fläche mit Hilfe des Vorzeichens unterscheiden.

Ebenes Beispiel: Es seien die Distanzfunktionen zweier Bézierkurven . Ein Punkt der zugehörigen Äquidistanz-Kurve genügt dann der Gleichung . Also ist

eine implizite Darstellung der Äquidistanz-Kurve. Um Punkte dieser impliziten Kurve berechnen zu können, muss man die Distanzfunktionen numerisch auswerten können. Geeignete Algorithmen hierfür werden in der Literatur zur Verfügung gestellt.

In analoger Weise beschreibt man auch im Raum Äquidistanz-Flächen. Die daran beteiligten Objekte können sowohl Punkte als auch Kurven und Flächen sein.

Äquidistanz-Flächen zu 1) zwei windschiefen Geraden (links) und 2) einer Gerade und einer Helix
Äquidistanz-Fläche zu einer Bezierkurve und einer Bezierfläche

Beispiele im Raum:
1) Für die windschiefen Geraden ergibt sich als implizite Darstellung der Äquidistanz-Fläche zunächst . Nach Beseitigen der Wurzeln lässt sich die Fläche durch die Gleichung

beschreiben. Sie ist also ein hyperbolisches Paraboloid (s. Bild).
2) Das nächste Bild zeigt die Äquidistanz-Fläche zu der Gerade und der Helix (Schraublinie) .
3) Das letzte Bild zeigt die Äquidistanzfläche zu einer Bezierkurve und einer Bezierfläche.

Literatur Bearbeiten

  1. M. Peternell: Geometric Properties of Bisector Surfaces, Graphical Models 62, 202–236 (2000)
  2. G. Elber, Myung-Soo Kim: Bisector Curves of Planar Rational Curves http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/papers/bisect2d.pdf
  3. G. Elber, M-S Kim: The Bisector surfaces of rational space curves, ACM Trans Graph 17, p. 32-49
  4. E. Hartmann: The normalform of a space curve and its application to surface design, The Visual Computer 2001, pp 445-456
  5. G. Elber, M-S Kim: A computational model for nonrational bisector surfaces: curve-surface and surface-surface bisector surfaces, Proceedings of Geometric Modeling and Processing 2000, Hongkong, IEEE,pp 364-372
  6. Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4, S. 252

Weblinks Bearbeiten

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Aquidistanz bezeichnet in der Geometrie die Eigenschaft von Punkten der Ebene oder des Raums die von zwei vorgegebenen geometrischen Objekten wie Punkten Kurven oder Flachen den gleichen Abstand besitzen Mittelsenkrechte Winkelhalbierende und Parabel als Aquidistanz KurvenEllipse und Hyperbel als Aquidistanz KurvenAquidistanz Kurven zweier BezierkurvenDabei gilt PP Der Abstand eines Punktes P p displaystyle P vec p zu einem Punkt Q q displaystyle Q vec q ist der euklidische Abstand d P Q p q displaystyle d P Q vec p vec q PC Der Abstand d P c displaystyle d P c eines Punktes P displaystyle P zu einer Kurve c displaystyle c ist der kurzeste euklidische Abstand von P displaystyle P zu Punkten der Kurve c displaystyle c Bei glatten Kurven ist dies die Lange des kurzesten Lotes von P displaystyle P auf die Kurve oder der Abstand zu einem Randpunkt Analog ist der Abstand zu einer Flache definiert Beispiele a Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke besitzt den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke b Jeder Punkt der Winkelhalbierenden zweier sich schneidenden Geraden hat den gleichen Abstand zu den beiden Geraden c Jeder Punkt einer Parabel hat den gleichen Abstand zum Brennpunkt und zur Leitlinie d Jeder Punkt einer Ellipse hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis e Jeder Punkt einer Hyperbel hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis In der englischen Literatur werden Aquidistanz Kurven Flachen als bisector curves surfaces bezeichnet 1 2 Aquidistanz Kurven und Flachen sollte man nicht verwechseln mit Parallelkurven Flachen Bei letzteren haben alle Punkte den gleichen Abstand zu einer Kurve Flache Mathematische Beschreibung BearbeitenDie nachstliegende Beschreibung einer Aquidistanz Kurve verwendet die Distanzfunktion In den obigen Beispielen ist die Distanzfunktion einfach 1 Abstand zweier Punkte im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp d x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 displaystyle d sqrt x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 nbsp 2 Abstand eines Punktes von einer Gerade s HESSE Normalform 3 Abstand eines Punktes x y displaystyle x y nbsp von einem Kreis mit Mittelpunkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp und Radius r displaystyle r nbsp d x x 0 2 y y 0 2 r displaystyle d sqrt x x 0 2 y y 0 2 r nbsp In allen anderen Fallen kann man keine einfache Beschreibung der Distanzfunktion und damit der Aquidistanz Kurven Flachen angeben In der Literatur 3 werden Sonderfalle untersucht bei denen die Aquidistanz Kurven wenigstens durch rationale Funktionen beschrieben werden konnen Wenn man auf numerische Verfahren angewiesen ist ist es am Einfachsten eine Aquidistanz Kurve als implizite Kurve bzw implizite Flache mit Hilfe von Distanzfunktionen zu beschreiben Dabei verwendet man gegebenenfalls auch orientierte Distanzfunktionen die die Seiten einer Kurve in der Ebene oder Flache mit Hilfe des Vorzeichens unterscheiden Ebenes Beispiel Es seien d x y c 1 d x y c 2 displaystyle d x y c 1 d x y c 2 nbsp die Distanzfunktionen zweier Bezierkurven c 1 c 2 displaystyle c 1 c 2 nbsp Ein Punkt x y displaystyle x y nbsp der zugehorigen Aquidistanz Kurve genugt dann der Gleichung d x y c 1 d x y c 2 displaystyle d x y c 1 d x y c 2 nbsp Also ist d x y c 1 d x y c 2 0 displaystyle d x y c 1 d x y c 2 0 nbsp eine implizite Darstellung der Aquidistanz Kurve Um Punkte dieser impliziten Kurve berechnen zu konnen muss man die Distanzfunktionen numerisch auswerten konnen Geeignete Algorithmen hierfur werden in der Literatur 4 5 zur Verfugung gestellt In analoger Weise beschreibt man auch im Raum Aquidistanz Flachen Die daran beteiligten Objekte konnen sowohl Punkte als auch Kurven und Flachen sein nbsp Aquidistanz Flachen zu 1 zwei windschiefen Geraden links und 2 einer Gerade und einer Helix nbsp Aquidistanz Flache zu einer Bezierkurve und einer BezierflacheBeispiele im Raum 1 Fur die windschiefen Geraden g 1 y 2 z 2 0 g 2 x 2 z 1 2 0 displaystyle g 1 y 2 z 2 0 g 2 x 2 z 1 2 0 nbsp ergibt sich als implizite Darstellung der Aquidistanz Flache zunachst y 2 z 2 x 2 z 1 2 0 displaystyle sqrt y 2 z 2 sqrt x 2 z 1 2 0 nbsp Nach Beseitigen der Wurzeln lasst sich die Flache durch die Gleichung z x 2 y 2 1 2 displaystyle z x 2 y 2 1 2 nbsp beschreiben Sie ist also ein hyperbolisches Paraboloid s Bild 2 Das nachste Bild zeigt die Aquidistanz Flache zu der Gerade x 2 y 2 0 displaystyle x 2 y 2 0 nbsp und der Helix Schraublinie cos t sin t 0 5 t displaystyle cos t sin t 0 5t nbsp 3 Das letzte Bild zeigt die Aquidistanzflache zu einer Bezierkurve und einer Bezierflache 6 Literatur Bearbeiten M Peternell Geometric Properties of Bisector Surfaces Graphical Models 62 202 236 2000 G Elber Myung Soo Kim Bisector Curves of Planar Rational Curves http www cs technion ac il gershon papers bisect2d pdf G Elber M S Kim The Bisector surfaces of rational space curves ACM Trans Graph 17 p 32 49 E Hartmann The normalform of a space curve and its application to surface design The Visual Computer 2001 pp 445 456 G Elber M S Kim A computational model for nonrational bisector surfaces curve surface and surface surface bisector surfaces Proceedings of Geometric Modeling and Processing 2000 Hongkong IEEE pp 364 372 Gerald Farin Curves and Surfaces for CAGD A practical guide 5 Aufl Academic Press San Diego 2002 ISBN 1 55860 737 4 S 252Weblinks BearbeitenE Hartmann Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN S 45 62 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aquidistanz Geometrie amp oldid 200710519