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Zwölfeck Das oder Dodekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon mit zwölf Ecken und zwölf Seiten Ein reg

Zwölfeck

Das Zwölfeck oder Dodekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit zwölf Ecken und zwölf Seiten.

Ein regelmäßiges Zwölfeck

Variationen Bearbeiten

Das Zwölfeck ist darstellbar als:

  • konkaves Zwölfeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Zwölfeck kann höchstens sechs solche Winkel haben. Ein konkaves Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • konvexes Zwölfeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnenzwölfeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen (Sehnen) möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Zwölfeck, es ist bestimmt durch zwölf Punkte auf einem Umkreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Zwölfeck, es ergibt sich, wenn beim Verbinden der zwölf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Regelmäßiges Zwölfeck Bearbeiten

Bei einem regelmäßigen Zwölfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

Formeln Bearbeiten

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zwölfeck
Flächeninhalt  
 
Länge der Diagonalen
Inkreisradius
Umkreisradius
Zentriwinkel
Innenwinkel

Konstruktion Bearbeiten

Ein regelmäßiges Zwölfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar:

Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebenem Umkreis, Eckpunkte in 8 Schritten, Umkreis und Kreisbögen mit gleicher Zirkelöffnung.
Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebener Seitenlänge, Animation (Die Konstruktion ist sehr ähnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlänge.)

Zerlegung in regelmäßige Polygone Bearbeiten

Das regelmäßige Zwölfeck ist außer dem regelmäßigen Sechseck das einzige regelmäßige Polygon, das sich vollständig in regelmäßige Polygone mit einer kleineren Zahl von Ecken zerlegen lässt.

Beispiele Bearbeiten

Flächenbestimmung durch Zerlegung Bearbeiten

Mit der Zerlegung in 12 gleichseitige Dreiecke und 24 gleichschenklige Dreiecke lässt sich geometrisch veranschaulichen, dass ein regelmäßiges Zwölfeck mit dem Umkreisradius 1 die Flächenmaßzahl 3 hat.

Eine solche Zerlegung hat folgende Eigenschaften:

  • 12 kongruente gleichseitige (braune) Dreiecke mit der Seitenlänge des Zwölfecks,
  • 24 kongruente gleichschenklige (gelbe) Dreiecke, deren Grundseitenlänge 1 gleich dem Umkreisradius und deren Schenkellänge gleich der Seitenlänge des Zwölfecks ist (Figur 1).

Das dem Zwölfeck umbeschriebene Quadrat hat die Flächenmaßzahl 4 (Figur 2).

Werden dem Zwölfeck 3 der 12 gleichseitigen Dreiecke (dunkelgrau) und 6 der 24 gleichschenkligen Dreiecke (hellgrau) entnommen, so lassen sich diese lückenlos zwischen dem Zwölfeck und dem umbeschriebenen Quadrat platzieren (Figur 3).

Somit hat das Zwölfeck die Flächenmaßzahl 3 (gesamte gefärbte Fläche).

Quadratur eines regelmäßigen Zwölfecks Bearbeiten

Durch geeignete jeweilige Zerlegung in Teilflächen lässt sich sowohl ein konvexes als auch ein konkaves regelmäßiges Zwölfeck in ein flächengleiches Quadrat verwandeln.

Parkettierungen mit regelmäßigen Zwölfecken Bearbeiten

Mit regelmäßigen Zwölfecken sind eine Vielzahl von Parkettierungen möglich. Die ersten zwei sind archimedische Parkettierungen, die dritte eine demireguläre Parkettierung:

Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele Ecken die regelmäßigen Polygone haben, die jeweils an einem Punkt zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°. Diese Parkettierungen sind periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.

Ein Beispiel für eine kommerziell genutzte Parkettierung ist das Eternity-Puzzle, ein Legespiel, bei dem 209 unregelmäßige Polygonspielsteine zu einem Zwölfeck gelegt werden sollen.

Zwölfeck in der Numismatik Bearbeiten

Threepence von 1942, Rückseite

Es gibt eine Vielzahl zwölfeckiger Münzen, z. B. das britische Threepence von 1942, die ehemalige 3–Pence–Münze aus Nigeria und die australische 50-cent-Münze, die 50-¢(= Seniti)-Münze von Tonga, sowie spezielle Sammlermünzen wie z. B. die spanische 300–Euro–Münze.

Zwölfeck in der Architektur Bearbeiten

Vera-Cruz-Kirche in Segovia

Beispiele für zwölfeckige Gebäude sind:

Deutschland:

Weitere:

Zwölfeck in der Chemie Bearbeiten

Molekülmodell von Cyclododecan
Molekülmodell von Phenalen

Das Molekülmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwölfeckig. Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Moleküls ergibt sich, dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen. Außerdem befindet sich das Molekül bei höherer Temperatur in ständiger Bewegung, nämlich in Pseudorotation, d. h., es existieren eine Vielzahl von Konformationen.

Ein gleichseitiges konkaves Zwölfeck wird vom Phenalen, einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff, gebildet.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Zwölfecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Zwölfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 161
  2. Ross Honsberger: Mathematical Gems III, Mathematical Association of America, Washington 1985, S. 31
  3. Martin Gardner: Mathematische Knobeleien, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-28321-6, Seite 44
  4. Harry Lindgren: Geometric Dissections - Mathematics for everyday living series, Verlag Van Nostrand, 1964
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Veröffentlichungsdatum:
Das Zwolfeck oder Dodekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon mit zwolf Ecken und zwolf Seiten Ein regelmassiges Zwolfeck Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Zwolfeck 2 1 Formeln 2 2 Konstruktion 2 3 Zerlegung in regelmassige Polygone 2 3 1 Beispiele 2 3 2 Flachenbestimmung durch Zerlegung 2 4 Quadratur eines regelmassigen Zwolfecks 2 5 Parkettierungen mit regelmassigen Zwolfecken 3 Zwolfeck in der Numismatik 4 Zwolfeck in der Architektur 5 Zwolfeck in der Chemie 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseVariationen BearbeitenDas Zwolfeck ist darstellbar als konkaves Zwolfeck in dem mindestens ein Innenwinkel grosser als 180 ist Ein Zwolfeck kann hochstens sechs solche Winkel haben Ein konkaves Zwolfeck kann regelmassig oder unregelmassig sein konvexes Zwolfeck in dem alle Innenwinkel kleiner als 180 sind Ein konvexes Zwolfeck kann regelmassig oder unregelmassig sein Sehnenzwolfeck in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen aber die Seitenlangen Sehnen moglicherweise ungleich sind regelmassiges Zwolfeck es ist bestimmt durch zwolf Punkte auf einem Umkreis Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Seiten oder Kanten genannt verbunden regelmassiges uberschlagenes Zwolfeck es ergibt sich wenn beim Verbinden der zwolf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur einen regelmassigen Zwolfstrahlstern auch Dodekagramm genannt Die Sterne mit den Symbolen 12 2 und 12 10 sind regelmassige Sechsecke 12 3 und 12 9 Quadrate sowie 12 4 und 12 8 gleichseitige Dreiecke Beispiele fur gleichseitige und unregelmassige konkave Zwolfecke nbsp gleichseitig nbsp gleichseitig nbsp unregelmassig nbsp unregelmassigRegelmassiger Zwolfstrahlstern nbsp 12 5 12 7 displaystyle left 12 5 right left 12 7 right nbsp Regelmassiges Zwolfeck BearbeitenBei einem regelmassigen Zwolfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis Formeln Bearbeiten Mathematische Formeln zum regelmassigen ZwolfeckFlacheninhalt A 6 3 3 a 2 11 196 a 2 displaystyle A 6 3 cdot sqrt 3 cdot a 2 approx 11 196 cdot a 2 nbsp nbsp A 24 12 3 r i 2 3 215 r i 2 displaystyle A 24 12 cdot sqrt 3 cdot r i 2 approx 3 215 cdot r i 2 nbsp A 3 r u 2 displaystyle A 3 cdot r u 2 nbsp Lange der Diagonalen d 2 6 2 2 a 1 932 a displaystyle d 2 frac sqrt 6 sqrt 2 2 cdot a approx 1 932 cdot a nbsp d 3 1 3 a 2 732 a displaystyle d 3 1 sqrt 3 cdot a approx 2 732 cdot a nbsp d 4 6 3 2 2 a 3 346 a displaystyle d 4 frac sqrt 6 3 cdot sqrt 2 2 cdot a approx 3 346 cdot a nbsp d 5 2 r i 2 3 a 3 732 a displaystyle d 5 2 cdot r i 2 sqrt 3 cdot a approx 3 732 cdot a nbsp d 2 r u 6 2 a 3 864 a displaystyle d 2 cdot r u sqrt 6 sqrt 2 cdot a approx 3 864 cdot a nbsp Inkreisradius r i 2 3 2 a 1 866 a displaystyle r i frac 2 sqrt 3 2 cdot a approx 1 866 cdot a nbsp Umkreisradius r u 6 2 2 a 1 932 a displaystyle r u frac sqrt 6 sqrt 2 2 cdot a approx 1 932 cdot a nbsp Zentriwinkel a 360 12 30 displaystyle alpha frac 360 circ 12 30 circ nbsp Innenwinkel d 180 a 150 displaystyle delta 180 circ alpha 150 circ nbsp Konstruktion Bearbeiten Ein regelmassiges Zwolfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar nbsp Konstruktion eines regelmassigen Zwolfecks bei gegebenem Umkreis Eckpunkte in 8 Schritten Umkreis und Kreisbogen mit gleicher Zirkeloffnung nbsp Konstruktion eines regelmassigen Zwolfecks bei gegebener Seitenlange Animation Die Konstruktion ist sehr ahnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlange Zerlegung in regelmassige Polygone Bearbeiten Das regelmassige Zwolfeck ist ausser dem regelmassigen Sechseck das einzige regelmassige Polygon das sich vollstandig in regelmassige Polygone mit einer kleineren Zahl von Ecken zerlegen lasst Beispiele Bearbeiten nbsp Zerlegung in 6 gleichseitige Dreiecke 6 Quadrate und 1 regelmassiges Sechseck nbsp Zerlegung in 12 gleichseitige Dreiecke und 6 Quadrate nbsp Zerlegung in 12 gleichseitige Dreiecke und 24 gleichschenklige DreieckeFlachenbestimmung durch Zerlegung Bearbeiten Mit der Zerlegung in 12 gleichseitige Dreiecke und 24 gleichschenklige Dreiecke lasst sich geometrisch veranschaulichen dass ein regelmassiges Zwolfeck mit dem Umkreisradius 1 die Flachenmasszahl 3 hat 1 2 Eine solche Zerlegung hat folgende Eigenschaften 12 kongruente gleichseitige braune Dreiecke mit der Seitenlange des Zwolfecks 24 kongruente gleichschenklige gelbe Dreiecke deren Grundseitenlange 1 gleich dem Umkreisradius und deren Schenkellange gleich der Seitenlange des Zwolfecks ist Figur 1 Das dem Zwolfeck umbeschriebene Quadrat hat die Flachenmasszahl 4 Figur 2 Werden dem Zwolfeck 3 der 12 gleichseitigen Dreiecke dunkelgrau und 6 der 24 gleichschenkligen Dreiecke hellgrau entnommen so lassen sich diese luckenlos zwischen dem Zwolfeck und dem umbeschriebenen Quadrat platzieren Figur 3 Somit hat das Zwolfeck die Flachenmasszahl 3 gesamte gefarbte Flache nbsp Figur 1 nbsp Figur 2 nbsp Figur 3Quadratur eines regelmassigen Zwolfecks Bearbeiten Durch geeignete jeweilige Zerlegung in Teilflachen lasst sich sowohl ein konvexes als auch ein konkaves regelmassiges Zwolfeck in ein flachengleiches Quadrat verwandeln 3 4 nbsp Verwandlung eines konvexen regelmassigen Zwolfecks in ein flachengleiches Quadrat nbsp Verwandlung eines konkaven regelmassigen Zwolfecks in ein flachengleiches QuadratParkettierungen mit regelmassigen Zwolfecken Bearbeiten Mit regelmassigen Zwolfecken sind eine Vielzahl von Parkettierungen moglich Die ersten zwei sind archimedische Parkettierungen die dritte eine demiregulare Parkettierung nbsp 3 12 12 nbsp 4 6 12 nbsp 3 3 4 12 und 3 3 3 3 3 3Die Zahlen unter den Abbildungen geben an wie viele Ecken die regelmassigen Polygone haben die jeweils an einem Punkt zusammenstossen Die Innenwinkel ergeben zusammen 360 Diese Parkettierungen sind periodisch drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthalt ausschliesslich regelmassige Polygone Ein Beispiel fur eine kommerziell genutzte Parkettierung ist das Eternity Puzzle ein Legespiel bei dem 209 unregelmassige Polygonspielsteine zu einem Zwolfeck gelegt werden sollen Zwolfeck in der Numismatik Bearbeiten nbsp Threepence von 1942 RuckseiteEs gibt eine Vielzahl zwolfeckiger Munzen z B das britische Threepence von 1942 die ehemalige 3 Pence Munze aus Nigeria und die australische 50 cent Munze die 50 Seniti Munze von Tonga sowie spezielle Sammlermunzen wie z B die spanische 300 Euro Munze Zwolfeck in der Architektur Bearbeiten nbsp Vera Cruz Kirche in SegoviaBeispiele fur zwolfeckige Gebaude sind Deutschland das Panorama Kreuzigung Christi Altotting die Neue Synagoge Berlin Centrum Judaicum Berlin das Zwolfeckhaus in Ottendorf Okrilla bei Dresden das Mausoleum des Hauses Pfalz Neuburg in Dusseldorf Apostelkirche Greding das Schloss Grosssachsenheim viele der Hamburger Fahrradhauschen das Planetarium Leipzig der Dianatempel ein zwolfeckiger Pavillon in Munchen Zwolf Apostel Kirche Mannheim Reformations Gedachtnis Kirche Nurnberg der Wasserturm Schifferstadt Wasserkunst Wismar die Gertrudenkapelle in Wolgast Mecklenburg Vorpommern Weitere die Vera Cruz Kirche in Segovia Spanien der Pavillon des Letna Karussells in Prag Tschechien der glaserne Kiosk der Tankstelle Auto Palace Niederlande die Pagode des Songyue Tempels der Stadt Dengfeng China das Chorhaupt von St Pierre et St Paul de Maguelone Grundriss aus halbiertem Zwolfeck Musikpavillon Baden bei Wien halbiertes Zwolfeck die Jeruzalemkapel in Gouda Provinz Sudholland NiederlandeZwolfeck in der Chemie Bearbeiten nbsp Molekulmodell von Cyclododecan nbsp Molekulmodell von PhenalenDas Molekulmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwolfeckig Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Molekuls ergibt sich dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen Ausserdem befindet sich das Molekul bei hoherer Temperatur in standiger Bewegung namlich in Pseudorotation d h es existieren eine Vielzahl von Konformationen Ein gleichseitiges konkaves Zwolfeck wird vom Phenalen einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff gebildet Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Zwolfecke Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Zwolfeck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Dodecagon In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 161 Ross Honsberger Mathematical Gems III Mathematical Association of America Washington 1985 S 31 Martin Gardner Mathematische Knobeleien Friedr Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig 1984 ISBN 978 3 528 28321 6 Seite 44 Harry Lindgren Geometric Dissections Mathematics for everyday living series Verlag Van Nostrand 1964 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zwolfeck amp oldid 238124424