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Satz von Viviani Der benannt nach dem italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani 1622 1703 ist eine einfache Aussage üb

Satz von Viviani

Der Satz von Viviani, benannt nach dem italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani (1622–1703), ist eine einfache Aussage über gleichseitige Dreiecke:

Satz von Viviani

Ist ein beliebiger Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant:

Dabei bezeichnet die Höhe des Dreiecks und den Inkreisradius.

Dies kann man sich geometrisch einfach klarmachen. Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist so groß wie die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke.

Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ABC gilt , wobei die Grundseite und die Höhe sein soll.

Die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke ist .

Also gilt:

Damit folgt die Behauptung .

Eine weitere besonders anschauliche Beweisvariante verwendet Drehungen gleichseitiger Teildreiecke. Drehzentren sind die jeweiligen Umkreismittelpunkte der betreffenden Dreiecke.

Figur 1 zeigt die Ausgangssituation vor der Drehung des blau umrandeten Dreiecks um das Drehzentrum mit dem Drehwinkel im Uhrzeigersinn (erste Drehung). Die roten Strecken haben die in der Einleitungsfigur gekennzeichneten Abstände , und .

Figur 2 stellt die Situation nach der ersten Drehung und vor der Drehung der braun umrandeten Figur um das Drehzentrum mit dem Drehwinkel im Uhrzeigersinn (zweite Drehung) dar.

Figur 3 verdeutlicht, dass nach den beiden Drehungen für die Abstandssumme der roten Strecken gilt.

Der Satz von Viviani lässt sich auf gleichseitige und sogar auf gleichwinklige Polygone verallgemeinern.

Literatur Bearbeiten

  • Heinrich Hermelink: Zur Geschichte des Satzes von der Lotsumme im Dreieck. In: Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften, Bd. 48, H. 3 (September 1964), S. 240–247 (JSTOR:20775106)
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 96 (Auszug (Google))
  • Ken-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: On Viviani’s Theorem in Three Dimensions. In: The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 515 (Jul., 2005), S. 283–287 (JSTOR:3621243)
  • Zhibo Chen, Tian Liang: The Converse of Viviani’s Theorem. In: The College Mathematics Journal, Vol. 37, No. 5 (Nov., 2006), S. 390–391 (JSTOR:27646392)
  • Elias Abboud: Viviani’s Theorem and Its Extension. In: The College Mathematics Journal, Vol. 41, No. 3 (May 2010), S. 203–211 (JSTOR:10.4169/074683410x488683)
  • Hans Samelson: Proof without Words: Viviani’s Theorem with Vectors. In: Mathematics Magazine, Vol. 76, No. 3 (Jun., 2003), S. 225 (JSTOR:3219327)

Weblinks Bearbeiten

Commons: Viviani's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 107/108
  2. Michael de Villiers: Crocodiles and Polygons. In: Mathematics in School, Vol. 34, No. 2, Mar. 2005, S. 2–4 (JSTOR:30215779)
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Viviani benannt nach dem italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani 1622 1703 ist eine einfache Aussage uber gleichseitige Dreiecke Satz von VivianiIst P displaystyle P ein beliebiger Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks so ist die Summe der Abstande dieses Punktes von den Seiten konstant s t u h 3 r displaystyle s t u h 3r Dabei bezeichnet h displaystyle h die Hohe des Dreiecks und r displaystyle r den Inkreisradius Dies kann man sich geometrisch einfach klarmachen Die Flache des gleichseitigen Dreiecks ist so gross wie die Summe der Flachen der farbig markierten Dreiecke Fur die Flache des gleichseitigen Dreiecks ABC gilt g h 2 displaystyle frac gh 2 wobei g A B B C C A displaystyle g overline AB overline BC overline CA die Grundseite und h displaystyle h die Hohe sein soll Die Summe der Flachen der farbig markierten Dreiecke ist g s 2 g t 2 g u 2 displaystyle frac gs 2 frac gt 2 frac gu 2 Also gilt g h 2 g s 2 g t 2 g u 2 displaystyle frac gh 2 frac gs 2 frac gt 2 frac gu 2 Damit folgt die Behauptung h s t u displaystyle h s t u Eine weitere besonders anschauliche Beweisvariante verwendet Drehungen gleichseitiger Teildreiecke Drehzentren sind die jeweiligen Umkreismittelpunkte der betreffenden Dreiecke Figur 1 zeigt die Ausgangssituation vor der Drehung des blau umrandeten Dreiecks um das Drehzentrum Z 1 displaystyle Z 1 mit dem Drehwinkel 120 displaystyle 120 circ im Uhrzeigersinn erste Drehung Die roten Strecken haben die in der Einleitungsfigur gekennzeichneten Abstande s displaystyle s t displaystyle t und u displaystyle u Figur 2 stellt die Situation nach der ersten Drehung und vor der Drehung der braun umrandeten Figur um das Drehzentrum Z 2 displaystyle Z 2 mit dem Drehwinkel 120 displaystyle 120 circ im Uhrzeigersinn zweite Drehung dar Figur 3 verdeutlicht dass nach den beiden Drehungen fur die Abstandssumme der roten Strecken s t u h displaystyle s t u h gilt 1 Figur 1 Figur 2 Figur 3Der Satz von Viviani lasst sich auf gleichseitige und sogar auf gleichwinklige Polygone verallgemeinern 2 Literatur BearbeitenHeinrich Hermelink Zur Geschichte des Satzes von der Lotsumme im Dreieck In Sudhoffs Archiv fur Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften Bd 48 H 3 September 1964 S 240 247 JSTOR 20775106 Claudi Alsina Roger B Nelsen Charming Proofs A Journey Into Elegant Mathematics MAA 2010 ISBN 978 0 88385 348 1 S 96 Auszug Google Ken Ichiroh Kawasaki Yoshihiro Yagi Katsuya Yanagawa On Viviani s Theorem in Three Dimensions In The Mathematical Gazette Vol 89 No 515 Jul 2005 S 283 287 JSTOR 3621243 Zhibo Chen Tian Liang The Converse of Viviani s Theorem In The College Mathematics Journal Vol 37 No 5 Nov 2006 S 390 391 JSTOR 27646392 Elias Abboud Viviani s Theorem and Its Extension In The College Mathematics Journal Vol 41 No 3 May 2010 S 203 211 JSTOR 10 4169 074683410x488683 Hans Samelson Proof without Words Viviani s Theorem with Vectors In Mathematics Magazine Vol 76 No 3 Jun 2003 S 225 JSTOR 3219327 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Viviani s theorem Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Vivianis Theorem auf cut the knot englisch Eric W Weisstein Viviani s Theorem In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Zweite korrigierte und erganzte Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63830 9 S 107 108 Michael de Villiers Crocodiles and Polygons In Mathematics in School Vol 34 No 2 Mar 2005 S 2 4 JSTOR 30215779 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Viviani amp oldid 231013931